Exercice n°3 ( Amérique du nord session 2021 )
On considère le cube ABCDEFGH de côté 1. Le point I est le milieu du segment [EF], le point J est le milieu du segment [BC] et le point K est le milieu du segment [AE].
1. Les droites (AI) et (KH) sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.
Dans la suite, on se place dans le repère orthonormé (A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AE})
2. a. Donner les coordonnées des points A, B, C, D, E, F et G.
Pour afficher les coordonnées du point H, par exemple, cliquer droit sur le point H de la fenêtre active Géogébra ci-dessus. Apparaît alors Point H(0;1;1).
2. b. Calculer les coordonnées des points Iet J.
Lors de leurs constructions respectives dans la fenêtre Géogébra ci-dessus, leurs coordonnées sont apparues dans la colonne Algèbre située à gauche.
2. c. Montrer que les vecteurs \overrightarrow{IJ}, \overrightarrow{AE} et \overrightarrow{AC} sont coplanaires.
Lors de leurs constructions respectives dans la fenêtre Géogébra ci-dessus, leurs coordonnées sont apparues dans la colonne Algèbre située à gauche.
On considère le plan P d’équation x+3y-2z=0 ainsi que les droites d_1 et d_2.
représentation paramétrique de d_1

représentation paramétrique de d_2

3. Les droites d_1 et d_2 sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.
4. Montrer que la droite d_2 est parallèle au plan P .
5. Montrer que le point L(4;0;3)est le projeté orthogonal du point M(5;3;1) sur le plan P.