Soit ABC un triangle tel que AB=c, AC=b et BC=a.
H est le projeté orthogonal de B sur (AC).
Le but du problème est d’établir l’égalité suivante : c^2=a^2+b^2-2abcos\widehat{ACB}
- On se place dans le triangle rectangle BHC.
a. Compléter les pointillés dans l’égalité cos{\widehat{ACB}}=\frac{…}{…} et dans l’égalité sin{\widehat{ACB}}=\frac{…}{…}.
b. En déduire que CH={a}\times {cos{\widehat{ACB}}} et que BH={a}\times {sin{\widehat{ACB}}}.
2. On remarque que AH=AC-CH, en utilisant l’énoncé et les résultats de la question précédente, exprimer AH en fonction de b, de a et de cos\widehat{ACB}.
3. Appliquer le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle AHB et en déduire l’égalité suivante :
c^2=(b-acos\widehat{ACB})^2+(asin\widehat{ACB})^2
4. En déduire l’égalité cherchée :c^2=a^2+b^2-2abcos\widehat{ACB}