AVERTISSEMENT : Tout ce qui est fait dans l’activité permet de donner du sens aux deux façons de générer des suites : par récurrence et par formule explicite. En aucun cas, on ne vous donnera des exercices de ce type en devoir.
Sommaire
Activité d’approche
Dans chaque cas, déterminer le dernier terme et faire une phrase en français pour expliquer comment on l’a trouvé.
Suite n°1
0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , …
Suite n°2
-1 , -3 , -5 , -7 , -9 , -11 , -13 , …
Suite n°3
1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , …
Suite n°4
1 , 0.1 , 0.01 , 0.001 , 0.0001 , 0.00001 , 0.000001 , …
Suite n°5
1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , 49 , …
Suite n°6
1 , \frac{1}{2} , \frac{1}{3} , \frac{1}{4} , \frac{1}{5} , \frac{1}{6} , \frac{1}{7} , …
Suite n°7
0 , \frac{1}{2} , \frac{4}{5} , \frac{9}{10} , \frac{16}{17} , \frac{25}{26} , …
Suite n°8
0 , 2 , 8 , 18 , 32 , 50 , 72 , …
Suite n°9
-12 , -7 , -2 , 3 , 8 , 13 , 18 , …
Suite définie par récurrence
Poursuite de l’activité d’approche :
On se propose de remplacer terme précédent par u_{n} et terme suivant par u_{n+1} dans les phrases obtenues dans l’activité d’approche. Puis on demande d’identifier le premier terme de la suite qu’on désignera dans la plupart des cas par la notation u_{0} .
Compléter les pointillés dans chaque cas.
Suite n°1
u_{0}= … \u_{n+1}= …
Suite n°2
u_{0}= … \u_{n+1}= …
Suite n°3
u_{0}= … \u_{n+1}= …
Suite n°4
u_{0}= … \u_{n+1}= …
Suite n°9
u_{0}= … \u_{n+1}= …
Définition :
On dit qu’une suite (u_n) est définie par récurrence lorsqu’on connaît le premier terme par exemple u_0 et lorsqu’on connaît une relation qui exprime le terme suivant en fonction du précédent c’est-à-dire une relation du type u_{n+1 }= f(u_n).
Suite définie par formule explicite
Poursuite de l’activité d’approche :
On se propose d’exprimer u_{n} en fonction de n.
Intéressons-nous à la suite n°1. Voici un tableau avec sur la première ligne les rangs ou les indices des termes de la suite et sur la deuxième ligne les termes de la suite correspondants.
| n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| u_n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Puis on exprime les nombres du bas en fonction des nombres du haut.
D’abord en langue française :
Ici les nombres du bas sont égaux aux nombres du haut .
Puis avec une égalité mathématique avecu_n à gauche et une expression en fonction de n à droite:
u_n=n
Faire pour les suites suivantes ce qu’on a fait pour la suite n°1.
Suite n°2
n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| u_n | -1 | -3 | -5 | -7 | -9 | -11 | -13 |
u_{n}= …
Suite n°3
n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| u_n | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
u_{n}= …
Suite n°4
n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| u_n | 1 | 0.1 | 0.01 | 0.001 | 0.0001 | 0.00001 | 0.000001 |
u_{n}= …
Suite n°5
n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
u_n | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 |
u_{n}= …
Suite n°6
n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| u_n | 1 | \frac{1}{2} | \frac{1}{3} | \frac{1}{4} | \frac{1}{5} | \frac{1}{6} | \frac{1}{7} |
u_{n}= …
Suite n°7
| n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
u_n | 0 | \frac{1}{2} | \frac{4}{5} | \frac{9}{10} | \frac{16}{17} | \frac{25}{26} | \frac{36}{37} |
u_{n}= …
Suite n°8
n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
u_n | 0 | 2 | 8 | 18 | 32 | 50 | 72 |
u_{n}= …
Suite n°9
n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
u_n | -12 | -7 | -2 | 3 | 8 | 13 | 18 |
u_{n}= …
Définition :
On dit qu’une suite (u_n) est définie par formule explicite lorsqu’on connaît une relation qui exprime le terme de la suite (u_n) en fonction de son rang ou de son indice n c’est-à-dire une relation du type u_n= f(n).