Sommaire
Base de l’espace
Définition
Une base de l’espace est formée d’un triplet de vecteurs (\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j},\overrightarrow{k}) non coplanaires.
Exercice n°1
On considère le cube ABCDEFGH ci-contre. Parmi les triplets suivants lequel n’est pas une base ?
a. (\overrightarrow{DA}, \overrightarrow{DB},\overrightarrow{DC})
b. (\overrightarrow{DA}, \overrightarrow{DC},\overrightarrow{DH})
Propriété et définition
Soit (\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j},\overrightarrow{k}) une base de l’espace.
Pour tout vecteur \overrightarrow{u} de l’espace, il existe un unique triplet (x ; y ; z) tel que \overrightarrow{u}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}.
(x ; y ; z) sont les coordonnées de \overrightarrow{u} dans cette base. On note \overrightarrow{u}(x ; y ; z)
Exercice n°2
On considère le cube ABCDEFGH
Déterminer les coordonnées des vecteurs suivants dans la base (\overrightarrow{DA}, \overrightarrow{DC},\overrightarrow{DH}).
a. \overrightarrow{AC}
b. \overrightarrow{EC}
c. \overrightarrow{DG}
Repère de l’espace
Définition
Un repère de l’espace est formé d’un point O et d’une base (\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j},\overrightarrow{k})
On note (O;\overrightarrow{i}; \overrightarrow{j};\overrightarrow{k}) un tel repère, O est l’origine du repère.
Remarque
L’origine du repère O a pour coordonnées (0;0;0)..
Propriété et définition
Soit (O;\overrightarrow{i}; \overrightarrow{j};\overrightarrow{k}) un repère de l’espace.
Pour tout point M de l’espace, il existe un unique triplet (x ; y ; z) tel que \overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}.
(x ; y ; z) sont les coordonnées du point M dans ce repère.
x est l’abscisse de M.
y est l’ordonnée de M.
z est la cote de M.
Exercice n°3
On considère le cube OBCDEFGH
Déterminer les coordonnées des points suivants dans le repère (O;\overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ},\overrightarrow{OK}).
a. B
b. C
c. I
d. D
e. G
f. H
g. K
h. F
Propriétés
Soit (O;\overrightarrow{i}; \overrightarrow{j};\overrightarrow{k}) un repère de l’espace.
Soient \overrightarrow{u}(x;y;z) et \overrightarrow{v}(x';y';z') deux vecteurs de l’espace, k est un réel et A(x_A;y_A;z_A) et B(x_B;y_B;z_B) deux points de l’espace.
- Le milieu du segment [AB] a pour coordonnées \frac{x_A+x_B}{2} ; \frac{y_A+y_B}{2}; \frac{z_A+z_B}{2}.
- Dans la base (\overrightarrow{i}; \overrightarrow{j};\overrightarrow{k}):
\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}(x+x';y+y';z+z') k\overrightarrow{u}(kx;ky;kz) \overrightarrow{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)
- \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles..
Exercice n°4
ABCDEFGH est un cube.
Les points I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [AE].
On choisit le repère A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AE}
1. Lire graphiquement les coordonnées des points C,E,F,G,H.
2. Déterminer par le calcul les coordonnées des points I et J.
3. a. Calculer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{IJ}.
3. b. Calculer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{HC}.
3.c. Montrer que les vecteurs \overrightarrow{HC} et \overrightarrow{IJ} sont colinéaires.