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2.Résoudre une équation du premier degré(cours)

« Dans tous les exercices, il faudra déterminer la ou les valeurs de x qui convienne(nt) »

Al-KHAWARIZMI a vécu au 8ème siècle. Il est à l’origine d’un mode de résolution des équations du premier degré. C’est de son nom que vient le mot algorithme. Nous utilisons parfois de façon abusive l’expression  faire passer de l’autre côté  là où Al-Khawarizmi utilise trois mots :

Al-jabr ( a donné algebra , qui est devenu algèbre) : action d’éliminer un terme négatif en ajoutant son opposé de chaque côté de l’égalité.

Exemple n°1 : Dans l’équation 2x-9=5, le terme  -9 du membre de gauche n’est pas à sa place.C’est un terme dans une somme.

Pour s’en débarrasser on ajoute 9 de chaque côté et on obtient 2x=5+9

Al-muqabala : action d’enlever un terme positif de chaque côté.

Exemple n°2 : Dans l’équation 3x+3=18, le terme  3 du membre de gauche n’est pas à sa place. C’est un terme dans une somme.

Pour s’en débarrasser on enlève 3 de chaque côté et on obtient 3x=18-3

Al-hatt: action de  diviser chacun des deux termes de l’équation par un même nombre.

Exemple n°3 : Dans l’équation 2x=14, le 2 du membre de gauche n’est pas à sa place.L’écriture 2x représente un produit. Le contraire de multiplier par 2 est diviser par 2.

Pour s’en débarrasser on divise par 2 de chaque côté et on obtient x=\frac{14}{2}

Remarque : il n’existe pas de mot pour désigner l’action de multiplier par un nombre de chaque côté.

Exemple n°4 : Dans l’équation \frac{x}{3}=4, le 3 du membre de gauche n’est pas à sa place. L’écriture \frac{x}{3} représente un quotient. Le contraire de diviser par 3 est multiplier par 3.

Pour s’en débarrasser on multiplie par 3 de chaque côté et on obtient x={4}\times{3}

Exercice n°1 :

résoudre les équations suivantes en utilisant le vocabulaire de Al -Khawarizmi quand c’est possible.

1) x+9=12

conjecture avec la TI-83 PYTHON
correction

2) x-10=6

conjecture avec la TI-83 PYTHON
correction

3) 2x+8=3

conjecture avec la TI-83 PYTHON
correction

4) -3x+5=7

conjecture avec la TI-83 PYTHON
correction

5) 6x-3=4x+2

conjecture avec la TI-83 PYTHON
correction

6) -2x+5=3x-10

conjecture avec la TI-83 PYTHON
correction

7) \frac{x}{2}+4=6

conjecture avec la TI-83 PYTHON
correction

Pour valider les réponses aux questions posées, utiliser la fenêtre Géogébra ci-dessous. Pour ce faire saisir par exemple

  3x-4=2 sur la ligne 1 puis cliquer en haut sur le septième onglet en partant de la gauche. S’affiche sur la ligne suivante Résoudre \{x=2\}

Exercice n°2 :

résoudre les équations suivantes en utilisant le vocabulaire de Al -Khawarizmi quand c’est possible

1) \frac{2+x}{2}=-3

conjecture avec la TI-83 PYTHON
correction

2) \frac{x+8}{3}=\frac{2}{5}

conjecture avec la TI-83 PYTHON
correction

3) 3(x-3)=12

conjecture avec la TI-83 PYTHON
correction

4) 2(x+6)=x+2

conjecture avec la TI-83 PYTHON
correction

5) 2(x+6)=4x+2

conjecture avec la TI-83 PYTHON
correction

Pour valider les réponses aux questions posées, utiliser la fenêtre Géogébra ci-dessous. Pour ce faire saisir par exemple

  \frac{2+x}{2}=-3 sur la ligne 1 puis cliquer en haut sur le septième onglet en partant de la gauche. S’affiche sur la ligne suivante Résoudre \{x=-8\}

©2020 – Math’O karé SAS

On veut résoudre x+9=12 c’est-à-dire parvenir à x=…

Dans l’équation x+9=12, le terme 9 n’est pas à sa place. Je dois donc enlever 9 de chaque côté.

Par al-muqabala x=12-9\\\hspace{2cm}x=3

 

Donc S = \left\{3\right\}

On veut résoudre x-10=6 c’est-à-dire parvenir à x=…

Dans l’équation x-10=6, le terme -10 n’est pas à sa place. Je dois donc ajouter 10 de chaque côté.

Par al-jabr x=6+10\\\hspace{1.3cm}x=16

Donc S = \left\{16\right\}

Remarque: pour vérifier que votre solution est exacte, on remplace  x par 16 dans l’équation x-10=6

16-10=6​​

L’égalité est vérifiée donc la solution trouvée convient.

On veut résoudre 2x+8=3 c’est-à-dire parvenir à x=…

Dans l’équation 2x+8=3, le terme 8 n’est pas à sa place. Je dois donc enlever 8 de chaque côté.

Par al-muqabala 2x=3-8\\\hspace{2cm}2x=-5

 

Dans l’équation 2x=-5, le facteur 2 n’est pas à sa place. Je dois donc diviser par 2 de chaque côté.

Par al-hatt  x=-\frac{5}{2}

Donc S = \left\{-\frac{5}{2}\right\}

Remarque: pour vérifier que votre solution est exacte, on remplace  x par -\frac{5}{2} dans l’équation 2x+8=3

{2}\times{(-\frac{5}{2})}+8=-5+8=3​

 

L’égalité est vérifiée donc la solution trouvée convient.

On veut résoudre -3x+5=7 c’est-à-dire parvenir à x=…

Dans l’équation -3x+5=7, le terme 5 n’est pas à sa place. Je dois donc enlever 5 de chaque côté.

Par al-muqabala -3x=7-5\\\hspace{1.3cm}-3x=2

Dans l’équation -3x=2, le facteur -3 n’est pas à sa place. Je dois donc diviser par -3 de chaque côté.

Par al-hatt  x=-\frac{2}{3}

Donc S = \left\{-\frac{2}{3}\right\}

Remarque: pour vérifier que votre solution est exacte, on remplace  x par -\frac{2}{3} dans l’équation -3x+5=7

{-3}\times{(-\frac{2}{3})}+5=2+5=7​

L’égalité est vérifiée donc la solution trouvée convient.

On veut résoudre 6x-3=4x+2 c’est-à-dire parvenir à x=…

Dans l’équation 6x-3=4x+2, le terme -3 n’est pas à sa place. Je dois donc ajouter 3 de chaque côté.

Par al-jabr 6x=4x+2+3\\\hspace{1.3cm}6x=4x+5

Dans l’équation 6x=4x+5, le terme 4x n’est pas à sa place. Je dois donc enlever 4x de chaque côté.

Par al-muqabala 6x-4x=5\\\hspace{2.7cm}2x=5

Dans l’équation 2x=5, le facteur 2 n’est pas à sa place. Je dois donc diviser par 2 de chaque côté.

Par al-hatt  x=\frac{5}{2}

Donc S = \left\{\frac{5}{2}\right\}

On veut résoudre -2x+5=3x-10 c’est-à-dire parvenir à x=…

Dans l’équation -2x+5=3x-10 , le terme 5 n’est pas à sa place. Je dois donc enlever 5 de chaque côté.

Par al-muqabala -2x=3x-10-5\\\hspace{2cm}-2x=3x-15

Dans l’équation -2x=3x-15, le terme 3x n’est pas à sa place. Je dois donc enlever 3x de chaque côté.

Par al-muqabala -2x-3x=-15\\\hspace{2.7cm}-5x=-15

Dans l’équation -5x=-15, le facteur -5 n’est pas à sa place. Je dois donc diviser par -5 de chaque côté.

Par al-hatt  x=\frac{-15}{-5}\\\hspace{1.4cm}x=3

Donc S = \left\{3\right\}

Remarque: pour vérifier que votre solution est exacte, on remplace  x par 3 dans l’équation -2x+5=3x-10

{-2}\times{3}+5=-6+5=-1​

{3}\times{3}-10=9-10=-1​​​

L’égalité est vérifiée donc la solution trouvée convient.

On veut résoudre \frac{x}{2}+4=6 c’est-à-dire parvenir à x=…

Dans l’équation \frac{x}{2}+4=6, le terme 4 n’est pas à sa place. Je dois donc enlever 4 de chaque côté.

Par al-muqabala \frac{x}{2}=6-4

\hspace{1.3cm}\frac{x}{2}=2

Dans l’équation \frac{x}{2}=2, le dénominateur 2 n’est pas à sa place. Je dois donc multiplier par 2 de chaque côté.

x={2}\times{2}

Donc S = \left\{4\right\}

Remarque: pour vérifier que votre solution est exacte, on remplace  x par 4 dans l’équation \frac{x}{2}+4=6

\frac{4}{2}+4=2+4=6​

L’égalité est vérifiée donc la solution trouvée convient.

On veut résoudre \frac{2+x}{2}=-3 c’est-à-dire parvenir à x=…

Le plus simple est d’écrire : \frac{2+x}{2}=\frac{-3}{1} et de faire le produit en croix.

{(2+x)}\times{1}={2}\times{(-3)}

2+x=-6

Dans l’équation 2+x=-6, le terme 2 n’est pas à sa place. Je dois donc enlever 2 de chaque côté.

Par al-muqabala x=-6-2\\\hspace{2cm}x=-8

Donc S = \left\{-8\right\}

Remarque: pour vérifier que votre solution est exacte, on remplace  x par -8 dans l’équation \frac{2+x}{2}=-3

\frac{2-8}{2}=-\frac{6}{2}=-3​​​

L’égalité est vérifiée donc la solution trouvée convient.

On veut résoudre \frac{x+8}{3}=\frac{2}{5} c’est-à-dire parvenir à x=…

Pour résoudre \frac{x+8}{3}=\frac{2}{5}, nous allons faire le produit en croix:

{5}\times{(x+8)}={2}\times{3}

Ensuite on développe le produit à gauche en utilisant la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition.

{5}\times{x}+{5}\times{8}=6\\5x+40=6

le terme 40 n’est pas à sa place. Je dois donc enlever 40 de chaque côté.

Par al-muqabala 5x=6-40\\\hspace{2cm}5x=-34

Dans l’équation 5x=-34, le facteur 5 n’est pas à sa place. Je dois donc diviser par 5 de chaque côté.

Par al-hatt  x=-\frac{34}{5}

Donc S = \left\{-\frac{34}{5}\right\}

Remarque: pour vérifier que votre solution est exacte, on remplace  x par -\frac{34}{5} dans l’équation \frac{x+8}{3}=\frac{2}{5}

\frac{-\frac{34}{5}+8}{3}=\frac{-\frac{34}{5}+{8}\times{\frac{5}{5}}}{3}={\frac{-34+40}{5}}\times{\frac{1}{3}}={\frac{6}{5}}\times{\frac{1}{3}}=\frac{2}{5}

L’égalité est vérifiée donc la solution trouvée convient.

On veut résoudre 3(x-3)=12 c’est-à-dire parvenir à x=…

Tout d’abord, il faut développer le produit 3(x-3) en utilisant la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition.

{3}\times{x}-{3}\times{3}=12

3x-9=12

Dans l’équation 3x-9=12, le terme -9 n’est pas à sa place. Je dois donc ajouter 9 de chaque côté.

Par al-jabr 3x=12+9\\\hspace{1.4cm}3x=21

Dans l’équation 3x=21, le facteur 3 n’est pas à sa place. Je dois donc diviser par 3 de chaque côté.

Par al-hatt  x=\frac{21}{3}\\x=7

Donc S = \left\{7\right\}

Remarque: pour vérifier que votre solution est exacte, on remplace  x par 7 dans l’équation 3(x-3)=12

3(7-3)=3\times 4=12

L’égalité est vérifiée donc la solution trouvée convient.

On veut résoudre 2(x+6)=x+2 c’est-à-dire parvenir à x=…

On doit d’abord développer le produit 2(x+6) en utilisant la distributivité de la multiplication par rapport ‘à l’addition.

{2}\times{x}+{2}\times{6}=x+2

2x+12=x+2

Dans l’équation 2x+12=x+2, le terme 12 n’est pas à sa place. Je dois donc enlever 12 de chaque côté.

Par al-muqabala 2x=x+2-12

\hspace{2cm}2x=x-10

Dans l’équation 2x=x-10, le terme x n’est pas à sa place. Je dois donc enlever x de chaque côté.

Par al-muqabala 2x-x=-10

\hspace{2.7cm}x=-10

Donc S = \left\{-10\right\}

Remarque: pour vérifier que votre solution est exacte, on remplace  x par -10 dans l’équation 2(x+6)=x+2

2((-10)+6)={2}\times{-4}=-8

(-10)+2=-8

L’égalité est vérifiée donc la solution trouvée convient.

On veut résoudre 2(x+6)=4x+2 c’est-à-dire parvenir à x=…

On va tout d’abord développer le produit 2(x+6) en utilisant la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition.

{2}\times{x}+{2}\times{6}=4x+2

          2x+12=4x+2

 

Dans l’équation 2x+12=4x+2, le terme 12 n’est pas à sa place. Je dois donc enlever 12 de chaque côté.

Par al-muqabala 2x=4x+2-12

\hspace{1.3cm}2x=4x-10

Dans l’équation 2x=4x-10, le terme 4x n’est pas à sa place. Je dois donc enlever 4x de chaque côté.

Par al-muqabala 2x-4x=-10\\\hspace{2.7cm}-2x=-10

Dans l’équation -2x=-10, le facteur -2 n’est pas à sa place. Je dois donc diviser par -2 de chaque côté.

Par al-hatt  x=\frac{-10}{-2}

x=5

Donc S = \left\{5\right\}

Remarque: pour vérifier que votre solution est exacte, on remplace  x par 5 dans l’équation 2(x+6)=4x+2

2(5+6)={2}\times{11}=22

{4}\times{5}+2=20+2=22​​​

L’égalité est vérifiée donc la solution trouvée convient.

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.