2.Résoudre une inéquation du premier degré

Sommaire

Exemples de résolution d’inéquations du premier degré à une inconnue

exemple n°1

résoudre dans R , l’inéquation 5x-2<3

Pour résoudre l’inéquation du premier degré à une inconnue suivante

5x-2<3

Il faut remettre à leur place les membres qui ne sont pas à leur place en sachant que la résolution sera finie lorsqu’il ne restera que x à gauche.

-2 n’est pas à sa place, j’ajoute 2 de chaque côté. Le sens de l’inégalité ne change pas.

5x<3+2\\5x<5

5 n’est pas à sa place, je divise par 5 de chaque côté. Le sens de l’inégalité  ne change pas car on divise par un nombre positif.

x<\frac{5}{5}\\x<1

Je matérialise l’ensemble-solution à l’aide de la droite réelle. Comme les solutions sont plus petites que 1 je trace la demi-droite rouge située à gauche de 1. Comme x<1 , cela signifie que x ne peut pas être égal à 1 . Pour exclure la valeur 1 de l’ensemble – solution, il faut que le crochet de l’intervalle soit ouvert c’est-à-dire que le crochet soit tourné vers l’extérieur. Du côté de l’infini, le crochet est toujours ouvert, c’est-à-dire tourné vers l’extérieur.

S=]-\infty:1[

exemple n°2

 résoudre dans R , l’inéquation -3x+1\leq6

Pour résoudre l’inéquation du premier degré à une inconnue suivante

-3x+1\leq6

Il faut remettre à leur place les membres qui ne sont pas à leur place en sachant que la résolution sera finie lorsqu’il ne restera que x à gauche.

1 n’est pas à sa place, j’enlève 1 de chaque côté. Le sens de l’inégalité ne change pas.

-3x\leq6-1\\-3x\leq5

-3 n’est pas à sa place, je divise par -3 de chaque côté. Le sens de l’inégalité  change car on divise par un nombre négatif.

x\geq-\frac{5}{3}

Je matérialise l’ensemble-solution à l’aide de la droite réelle. Comme les solutions sont plus grandes que -\frac{5}{3} je trace la demi-droite rouge située à droite de -\frac{5}{3}. Comme x\geq-\frac{5}{3} , cela signifie que x peut être égal à -\frac{5}{3} . Pour enfermer la valeur -\frac{5}{3} dans l’ensemble – solution, il faut que le crochet de l’intervalle soit fermé c’est-à-dire que le crochet soit tourné vers l’intérieur de l’intervalle. Du côté de l’infini, le crochet est toujours ouvert, c’est-à-dire tourné vers l’extérieur de l’intervalle.

S=[-\frac{5}{3};+\infty[

exemple n°3

 résoudre dans R , l’inéquation 2x+1\geq4x+4

Pour résoudre l’inéquation du premier degré à une inconnue suivante

2x+1\geq4x+4

Il faut remettre à leur place les membres qui ne sont pas à leur place en sachant que la résolution sera finie lorsqu’il ne restera que x à gauche.

1 n’est pas à sa place, j’enlève 1 de chaque côté. Le sens de l’inégalité ne change pas.

2x\geq4x+4-1\\2x\geq4x+3

4x n’est pas à sa place, j’enlève 4x de chaque côté. Le sens de l’inégalité ne change pas.

2x-4x\geq3\\-2x\geq3

-2 n’est pas à sa place, je divise par -2 de chaque côté. Le sens de l’inégalité  change car on divise par un nombre négatif.

x\leq-\frac{3}{2}

Je matérialise l’ensemble-solution à l’aide de la droite réelle. Comme les solutions sont plus petites que -\frac{3}{2} je trace la demi-droite rouge située à gauche de -\frac{3}{2}. Comme x\leq-\frac{3}{2} , cela signifie que x peut-être égal à -\frac{3}{2} . Pour enfermer la valeur -\frac{3}{2} dans l’ensemble -solution, j’utilise un crochet fermé ( il est tourné vers l’intérieur de l’intervalle.)

S=]-\infty;-\frac{3}{2}]

exemple n°4

 résoudre dans R , l’inéquation 4(2x-1)>2

Pour résoudre l’inéquation du premier degré à une inconnue suivante

4(2x-1)>2

Ici, il faut d’abord développer 4(2x-1) avant tout.

8x-4>2

Il faut remettre à leur place les membres qui ne sont pas à leur place en sachant que la résolution sera finie lorsqu’il ne restera que x à gauche.

-4 n’est pas à sa place, j’ajoute  4 de chaque côté. Le sens de l’inégalité ne change pas.

8x>2+4

8x>6

8 n’est pas à sa place, je divise par 8 de chaque côté. Le sens de l’inégalité  ne change pas car on divise par un nombre positif.

x>\frac{6}{8}

Je peux mettre la fraction \frac{6}{8} sous forme irréductible en simplifiant en haut et en bas par 2

x>\frac{3}{4}

Je matérialise l’ensemble-solution à l’aide de la droite réelle. Comme les solutions sont plus grandes que \frac{3}{4} je trace la demi-droite rouge située à droite de \frac{3}{4}. Comme x>\frac{3}{4} , cela signifie que x ne peut pas être égal à \frac{3}{4} . Pour exclure \frac{3}{4} de l’ensemble – solution, il faut que le crochet de l’intervalle soit ouvert c’est-à-dire que le crochet soit tourné vers l’extérieur. Du côté de l’infini, le crochet est toujours ouvert, c’est-à-dire tourné vers l’extérieur.

S=]\frac{3}{4};+\infty[

Exercice

 dans chaque cas, résoudre dans R , les inéquations suivantes.

a)  résoudre dans R , l’inéquation 3x-4>2 

b)  résoudre dans R , l’inéquation -4x+2\leq 6 

c)  résoudre dans R , l’inéquation 5x-5\geq -8 

d)  résoudre dans R , l’inéquation -6x+1>-2-4x 

e)  résoudre dans R , l’inéquation 7(x-3)<2(x-5) 

Après avoir répondu aux différentes questions, valider les réponses avec la fenêtre Géogébra ci-dessous. Pour ce faire saisir par exemple 3x-4>2 sur la ligne 1 puis cliquer sur le septième onglet en haut en partant de la gauche. Sur la ligne suivante apparaît Résoudre \{x>2\}.

Pour saisir \geq taper sur > puis sur =

Pour résoudre l’inéquation du premier degré à une inconnue suivante

3x-4>2

Il faut remettre à leur place les membres qui ne sont pas à leur place en sachant que la résolution sera finie lorsqu’il ne restera que x à gauche.

-4 n’est pas à sa place, j’ajoute 4 de chaque côté. Le sens de l’inégalité ne change pas.

3x>2+4\\3x>6

3 n’est pas à sa place, je divise par 3 de chaque côté. Le sens de l’inégalité  ne change pas car on divise par un nombre positif.

x>\frac{6}{3}\\x>2

Je matérialise l’ensemble-solution à l’aide de la droite réelle. Comme les solutions sont plus grandes que 2 je trace la demi-droite rouge située à droite de 2. Comme x>2 , cela signifie que x ne peut pas être égal à 2 . Pour exclure la valeur 2 de l’ensemble – solution, il faut que le crochet de l’intervalle soit ouvert c’est-à-dire que le crochet soit tourné vers l’extérieur. Du côté de l’infini, le crochet est toujours ouvert, c’est-à-dire tourné vers l’extérieur.

S=]2;+\infty[

Pour résoudre l’inéquation du premier degré à une inconnue suivante

-4x+2\leq6

Il faut remettre à leur place les membres qui ne sont pas à leur place en sachant que la résolution sera finie lorsqu’il ne restera que x à gauche.

2 n’est pas à sa place, j’enlève 2 de chaque côté. Le sens de l’inégalité ne change pas.

-4x\leq6-2\\-4x\leq4

-4 n’est pas à sa place, je divise par -4 de chaque côté. Le sens de l’inégalité  change car on divise par un nombre négatif.

x\geq-\frac{4}{4}\\x\geq-1

Je matérialise l’ensemble-solution à l’aide de la droite réelle. Comme les solutions sont plus grandes que -1 je trace la demi-droite rouge située à droite de -1. Comme x\geq-1 , cela signifie que x peut être égal à -1 . Pour enfermer la valeur -1 dans l’ensemble – solution, il faut que le crochet de l’intervalle soit fermé c’est-à-dire que le crochet soit tourné vers l’intérieur. Du côté de l’infini, le crochet est toujours ouvert, c’est-à-dire tourné vers l’extérieur.

S=[-1:+\infty[

Pour résoudre l’inéquation du premier degré à une inconnue suivante

5x-5\geq-8

Il faut remettre à leur place les membres qui ne sont pas à leur place en sachant que la résolution sera finie lorsqu’il ne restera que x à gauche.

-5 n’est pas à sa place, j’ajoute  5 de chaque côté. Le sens de l’inégalité ne change pas.

5x\geq-8+5\\5x\geq-3

5 n’est pas à sa place, je divise par 5 de chaque côté. Le sens de l’inégalité  ne change pas car on divise par un nombre positif.

x\geq-\frac{3}{5}

Je matérialise l’ensemble-solution à l’aide de la droite réelle. Comme les solutions sont plus grandes que -\frac{3}{5} je trace la demi-droite rouge située à droite de -\frac{3}{5}. Comme x\geq-\frac{3}{5} , cela signifie que x peut être égal à -\frac{3}{5} . Pour enfermer la valeur -\frac{3}{5} dans l’ensemble – solution, il faut que le crochet de l’intervalle soit fermé c’est-à-dire que le crochet soit tourné vers l’intérieur. Du côté de l’infini, le crochet est toujours ouvert, c’est-à-dire tourné vers l’extérieur.

S=[-\frac{3}{5};+\infty[

Pour résoudre l’inéquation du premier degré à une inconnue suivante

-6x+1>-2-4x

Il faut remettre à leur place les membres qui ne sont pas à leur place en sachant que la résolution sera finie lorsqu’il ne restera que x à gauche.

1 n’est pas à sa place, j’enlève 1 de chaque côté. Le sens de l’inégalité ne change pas.

-6x>-2-4x-1\\-6x>-4x-3

-4x n’est pas à sa place, j’ajoute 4x de chaque côté. Le sens de l’inégalité ne change pas.

-6x+4x>-3\\-2x>-3

-2 n’est pas à sa place, je divise par -2 de chaque côté. Le sens de l’inégalité  change car on divise par un nombre négatif.

x<\frac{3}{2}

Je matérialise l’ensemble-solution à l’aide de la droite réelle. Comme les solutions sont plus petites que \frac{3}{2} je trace la demi-droite rouge située à gauche de \frac{3}{2}. Comme x<\frac{3}{2} , cela signifie que x ne peut pas être égal à \frac{3}{2} . Pour exclure la valeur \frac{3}{2} de l’ensemble – solution, il faut que le crochet de l’intervalle soit ouvert c’est-à-dire que le crochet soit tourné vers l’extérieur. Du côté de l’infini, le crochet est toujours ouvert, c’est-à-dire tourné vers l’extérieur.

S=]-\infty;\frac{3}{2}[

Pour résoudre l’inéquation du premier degré à une inconnue suivante

7(x-3)<2(x-5)

Il faut tout d’abord développer les deux produits 7(x-3) et 2(x-5)

7x-{7}\times{3}<2x-{2}\times{5}\\7x-21<2x-10

Il faut remettre à leur place les membres qui ne sont pas à leur place en sachant que la résolution sera finie lorsqu’il ne restera que x à gauche.

-21 n’est pas à sa place, j’ajoute  21 de chaque côté. Le sens de l’inégalité ne change pas.

7x<2x-10+21\\7x<2x+11

2x n’est pas à sa place, j’enlève 2x de chaque côté. Le sens de l’inégalité ne change pas.

7x-2x<11\\5x<11

5 n’est pas à sa place, je divise par 5 de chaque côté. Le sens de l’inégalité  ne change pas car on divise par un nombre positif.

x<\frac{11}{5}

Je matérialise l’ensemble-solution à l’aide de la droite réelle. Comme les solutions sont plus petites que \frac{11}{5} je trace la demi-droite rouge située à gauche de \frac{11}{5}. Comme x<\frac{11}{5} , cela signifie que x ne peut pas être égal à \frac{11}{5} . Pour exclure la valeur \frac{11}{5} de l’ensemble – solution, il faut que le crochet de l’intervalle soit ouvert c’est-à-dire que le crochet soit tourné vers l’extérieur. Du côté de l’infini, le crochet est toujours ouvert, c’est-à-dire tourné vers l’extérieur.

S=]-\infty;\frac{11}{5}[

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.