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Cas où la droite est définie par deux points A (5;3) et B(-1;6)
METHODE N°1:
Déterminer par le calcul une équation cartésienne de la droite (AB) où A(5;3) et B(-1;6) .
Il s’agit de déterminer une relation du type ax+by+c=0 vérifiée par les coordonnées (x;y) d’un point quelconque de la droite (AB) que l’on va nommer M . La figure géométrique suivante traduit la situation qui nous intéresse.
Pour caractériser la situation géométrique ci-dessus, nous allons utiliser trois langages différents : le langage des points et des droites, le langage des vecteurs et celui des coordonnées.
Langage des points et des droites
Langage des vecteurs
Langage des coordonnées
Les trois points A, B , M sont alignés.
Les vecteurs \overrightarrow {AB} et \overrightarrow {AM} sont colinéaires.
ou
Les vecteurs \overrightarrow {BA} et \overrightarrow {BM} sont colinéaires.
ou
Les vecteurs \overrightarrow {MA} et \overrightarrow {MB} sont colinéaires.
Les coordonnées des vecteurs \overrightarrow {AB} et \overrightarrow {AM} sont proportionnelles c’est-à-dire que det(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AM}) =0
ou
Les coordonnées des vecteurs \overrightarrow {BA} et \overrightarrow {BM} sont proportionnelles c’est-à-dire que det(\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BM}) =0
ou
Les coordonnées des vecteurs \overrightarrow {MA} et \overrightarrow {MB} sont proportionnelles c’est-à-dire que det(\overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB}) =0 .
1)On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB}
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et B ainsi
\hspace{0.6cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.6cm} x_{B} y_{B}
\hspace{0.2cm} A(5;3) \hspace{0.4cm} B(-1;6)
On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB} (x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A})
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
\hspace{4.5cm}\overrightarrow{AB} ((-1)-5;6-3) \hspace{4.5cm}\overrightarrow{AB} (-6;3)2) On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AM}
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et M ainsi
\hspace{0.6cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.6cm} x_{M} y_{M}
\hspace{0.2cm} A(5;3) \hspace{0.4cm} M(x;y)
On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AM} (x_{M}-x_{A};y_{M}-y_{A})
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
\hspace{4.5cm}\overrightarrow{AM} (x-5;y-3)3) Je calcule le déterminant des deux vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AM}
J’utilise la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition pour développer les deux produits.
det(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AM}) =-6y+18-3x+15Je réduis la somme en ajoutant 18 et 15
det(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AM}) =-6y-3x+334) J’écris une équation cartésienne de la droite (AB)
Comme le déterminant des deux vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AM} est nul alors -6y-3x+33=0. On prend soin de réécrire l’égalité en placant les x avant les y.
la droite (AB) admet -3x-6y+33=0 pour équation cartésienne.
METHODE N°2 :
Déterminer par le calcul une équation cartésienne de la droite D qui passe par A (5;3) et B (-1;6) .
Il s’agit de déterminer une relation du type ax+by+c=0.
On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB}
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et B ainsi
\hspace{0.6cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.6cm} x_{B} y_{B}
\hspace{0.2cm} A(5;3) \hspace{0.4cm} B(-1;6)
On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB} (x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A})
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
\hspace{4.5cm}\overrightarrow{AB} ((-1)-5;6-3) \hspace{4.5cm}\overrightarrow{AB} (-6;3)le vecteur \overrightarrow{AB} (-6;3) est un vecteur directeur de D .
On sait , d’après le cours , que le vecteur de coordonnées (-b;a) est un vecteur directeur de la droite D d’équation ax+by+c=0 .
Donc ici -b=-6 et a=3.
Ou encore b=6 et a=3.
Donc une équation cartésienne de D est de la forme 3x+6y+c=0.
Pour déterminer c, il suffit de remplacer x et y par les coordonnées du point A c’est-à-dire 5 et 3.
{3}\times{5}+{6}\times{3}+c=0On résout l’équation dont l’inconnue est c.
15+18+c=0\\33+c=0\\c=-33Une équation de la droite D est 3x+6y-33=0.
Remarque avec la méthode n°1, on obtient –3x-6y+33=0. Il s’agit bien sûr de la même droite D qui possède plusieurs équations cartésiennes qui se déduisent toutes les unes des autres en multipliant par un nombre ici -1.
Vérification à l’aide de Géogébra.
Placer le point A
Cliquer sur le deuxième onglet en haut à droite et sélectionner Point dans le menu déroulant. Cliquer dans le repère sur le point de coordonnées (5;3).
Placer le point B
Cliquer sur le deuxième onglet en haut à droite et sélectionner Point dans le menu déroulant. Cliquer dans le repère sur le point de coordonnées (-1;6).
Tracer la droite (AB)
Cliquer sur le troisième onglet en haut à droite et sélectionner Droite dans le menu déroulant. Cliquer dans le repère sur les points A et B. Une équation de la droite (AB) apparaît dans la colonne de gauche, cliquer droit sur l’équation et choisir l’équation ax+by+c=0.
Cas où la droite D passe par un point A (3;1) et admet \overrightarrow{u}(2;1) pour vecteur directeur.
METHODE N°1:
Déterminer par le calcul une équation cartésienne de la droite D passant par un point A (3;1) et admettant \overrightarrow{u}(2;1) pour vecteur directeur.
Il s’agit de déterminer une relation du type ax+by+c=0 vérifiée par les coordonnées (x;y) d’un point quelconque de la droite D que l’on va nommer M . La figure géométrique suivante traduit la situation qui nous intéresse.
Langage des points et des droites
Langage des vecteurs
Langage des coordonnées
M est situé sur la droite D
Les vecteurs \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{u} sont colinéaires.
1) On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AM}
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et M ainsi
\hspace{0.6cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.6cm} x_{M} y_{M}
\hspace{0.2cm} A(3;1) \hspace{0.4cm} M(x;y)
On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AM} (x_{M}-x_{A};y_{M}-y_{A})
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
\hspace{4.5cm}\overrightarrow{AM} (x-3;y-1)2) Je calcule le déterminant des deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{AM}
J’utilise la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition pour développer les deux produits.
det(\overrightarrow{u};\overrightarrow{AM}) =2y-2-x+3
Je réduis la somme en ajoutant -2 et 3
det(\overrightarrow{u};\overrightarrow{AM}) =2y-x+1
3) J’écris une équation cartésienne de la droite D
Comme le déterminant des deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{AM} est nul alors 2y-x+1=0. On prend soin de réécrire l’égalité en placant les x avant les y.
la droite D admet -x+2y+1=0 pour équation cartésienne.
METHODE N°2:
Déterminer par le calcul une équation cartésienne de la droite D qui passe par un point A (3;1) et qui admet \overrightarrow{u}(2;1) pour vecteur directeur.
Il s’agit de déterminer une relation du type ax+by+c=0 .
Comme \overrightarrow{u}(2;1) est un vecteur directeur de D ,l’équation de D est de la forme
On sait , d’après le cours , que le vecteur de coordonnées (-b;a) est un vecteur directeur de la droite D d’équation ax+by+c=0 .
Donc ici -b=2 et a=1.
Ou encore b=-2 et a=1.
L’équation de D est de la forme : x-2y+c=0.
Pour déterminer c, il suffit de remplacer x et y par les coordonnées du point A c’est-à-dire 3 et 1.
3-{2}\times{1}+c=0On résout l’équation dont l’inconnue est c.
3-2+c=0\\1+c=0\\c=-1Une équation de la droite D est x-2y-1=0.
Remarque avec la méthode n°1, on obtient –x+2y+1=0. Il s’agit bien sûr de la même droite D qui possède plusieurs équations cartésiennes qui se déduisent toutes les unes des autres en multipliant par un nombre ici -1.
Cas où la droite D passe par A (3;5) et est parallèle à la droite d’ d’équation 2x-4y+1=0 .
METHODE N°1 :
Déterminer par le calcul une équation cartésienne de la droite D passe par un point A (3;5) et est parallèle à la droite d’ d’équation 2x-4y+1=0 .
Il s’agit de déterminer une relation du type ax+by+c=0 vérifiée par les coordonnées (x;y) d’un point quelconque de la droite D que l’on va nommer M . La figure géométrique suivante traduit la situation qui nous intéresse.
Langage des points et des droites
Langage des vecteurs
Langage des coordonnées
M est situé sur la droite D
Le vecteur \overrightarrow{AM} et un vecteur directeur \overrightarrow{u} de d’sont colinéaires.
1) On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AM}
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et M ainsi
\hspace{0.6cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.6cm} x_{M} y_{M}
\hspace{0.2cm} A(3;5) \hspace{0.4cm} M(x;y)
On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AM} (x_{M}-x_{A};y_{M}-y_{A})
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
\hspace{4.5cm}\overrightarrow{AM} (x-3;y-5)2) Je détermine les coordonnées du vecteur \overrightarrow{u} qui est un vecteur directeur de la droite d’ en utilisant la propriété suivante :
Si D admet pour équation cartésienne ax+by+c=0 alors elle admet pour vecteur directeur le vecteur de coordonnées (-b;a)
d’ a pour équation cartésienne 2x-4y+1=0 donc son vecteur directeur a pour coordonnées (4;2).
Comme les droites D et d’ sont parallèles, elles ont même vecteur directeur, donc \overrightarrow{u}(4;2) est un vecteur directeur de D
3) je calcule le déterminant des deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{AM}
J’utilise la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition pour développer les deux produits.
det(\overrightarrow{u};\overrightarrow{AM}) =4y-20-2x+6
Je réduis la somme en ajoutant -20 et 6
det(\overrightarrow{u};\overrightarrow{AM}) =4y-2x-14
3) J’écris une équation cartésienne de la droite D
Comme le déterminant des deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{AM} est nul alors 4y-2x+14=0. On prend soin de réécrire l’égalité en placant les x avant les y.
la droite D admet -2x+4y+14=0 pour équation cartésienne.
METHODE N°2 :
Déterminer par le calcul une équation cartésienne de la droite D qui passe par un point A (3;5) et qui est parallèle à la droite d’ d’équation 2x-4y+1 =0.
Il s’agit de déterminer une relation du type ax+by+c=0 .
Comme D et d’ sont parallèles , elles ont même vecteur directeur. Ainsi l’équation de D débute comme celle de d’.
L’équation de D est de la forme : 2x-4y+c=0.
Pour déterminer c, il suffit de remplacer x et y par les coordonnées du point A c’est-à-dire 3 et 5.
{2}\times{3}-{4}\times{5}+c=0On résout l’équation dont l’inconnue est c.
6-20+c=0\\-14+c=0\\c=14Une équation de la droite D est 2x-4y+14=0.
Remarque avec la méthode n°1, on obtient -2x+4y-14=0. Il s’agit bien sûr de la même droite D qui possède plusieurs équations cartésiennes qui se déduisent toutes les unes des autres en multipliant par un nombre ici -1.
Déterminer une équation cartésienne de la droite D dans chaque cas. Vous pourrez conjecturer ou vérifier vos résultats à l’aide de la page Géogébra située après l’exercice.
1) La droite D passe par A (2;0) et par B (-3;1)
2) La droite D passe par A (-1;0) et par C (-2;2)
3) La droite D passe par B (2;5) et par C (2;3)
4) La droite D passe par A (0;4) et par B (-1;4)
5) La droite D passe par un point A (2;-1) et admet \overrightarrow{u}(1;1) pour vecteur directeur.
6) La droite D passe par un point A (\frac{2}{5};1) et admet \overrightarrow{u}(\frac{1}{2};3) pour vecteur directeur.
7) La droite D passe par un point B(-1;3) et admet \overrightarrow{u}(3;-2) pour vecteur directeur.
8) D passe par un point A (-2;5) et est parallèle à la droite d’ d’équation 3x-2y+1=0 .
9) D passe par un point A (4;\frac{2}{3}) et est parallèle à la droite d’ d’équation 4x+y-2=0
Remarque : quand vous avez tracé la droite, cliquez droit sur droite(B,A) dans la colonne de gauche et sélectionner dans le menu déroulant Equation ax+by +c=0
Compléter les pointillés avant de commencer.
Langage des points et des droites
Langage des vecteurs
Langage des coordonnées
Les trois points …, …, … sont alignés.
Les vecteurs \overrightarrow {…} et \overrightarrow {…} sont colinéaires.
det( \overrightarrow {…}; \overrightarrow {…})=0
Déterminer une équation cartésienne de la droite (AB) avec A(2;0) et B(-3;1)
1)On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB}
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et B ainsi
\hspace{0.6cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.6cm} x_{B} y_{B}
\hspace{0.5cm} A(2;0) \hspace{0.4cm} B(-3;1)
On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB} (x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A})
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
\hspace{4.5cm}\overrightarrow{AB} ((-3)-2;1-0) \hspace{4.5cm}\overrightarrow{AB} (-5;1)2) On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AM}
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et M ainsi
\hspace{0.6cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.6cm} x_{M} y_{M}
\hspace{0.5cm} A(2;0) \hspace{0.4cm} M(x;y)
On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AM} (x_{M}-x_{A};y_{M}-y_{A})
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
\hspace{4.5cm}\overrightarrow{AM} (x-2;y-0) \hspace{4.5cm}\overrightarrow{AM} (x-2;y)3) Je calcule le déterminant des deux vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AM}
J’utilise la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition pour développer les deux produits.
det(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AM}) =-5y-x+2
4) J’écris une équation cartésienne de la droite (AB)
Comme le déterminant des deux vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AM} est nul alors -5y-x+2=0. On prend soin de réécrire l’égalité en placant les x avant les y.
la droite (AB) admet -x–5y+2=0 pour équation cartésienne.
Déterminer par le calcul une équation cartésienne de la droite D qui passe par A (2;0) et B (-3;1) .
Il s’agit de déterminer une relation du type ax+by+c=0.
On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB}
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et B ainsi
\hspace{0.6cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.6cm} x_{B} y_{B}
\hspace{0.2cm} A(2;0) \hspace{0.4cm} B(-3;1)
On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB} (x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A})
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
\hspace{4.5cm}\overrightarrow{AB} ((-3)-2;1-0) \hspace{4.5cm}\overrightarrow{AB} (-5;1)le vecteur \overrightarrow{AB} (-5;1) est un vecteur directeur de D .
On sait , d’après le cours , que le vecteur de coordonnées (-b;a) est un vecteur directeur de la droite D d’équation ax+by+c=0 .
Donc ici -b=-5 et a=1.
Ou encore b=5 et a=1.
Donc l’équation cartésienne de D est de la forme x+5y+c=0.
Pour déterminer c, il suffit de remplacer x et y par les coordonnées du point A c’est-à-dire 2 et 0.
2+{5}\times{0}+c=0On résout l’équation dont l’inconnue est c.
2+c=0\\c=-2Une équation de la droite D est x+5y-2=0.
Déterminer une équation cartésienne de la droite (AC) avec A(-1;0) et C(-2;2)
1)On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AC}
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et C ainsi
\hspace{0.6cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.6cm} x_{C} y_{C}
\hspace{0.2cm} A(-1;0) \hspace{0.4cm} C(-2;2)
On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AC} (x_{C}-x_{A};y_{C}-y_{A})
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
\hspace{4.5cm}\overrightarrow{AC} ((-2)-(-1);2-0) \hspace{4.5cm}\overrightarrow{AC} (-2+1;2) \hspace{4.5cm}\overrightarrow{AC} (-1;2)2) On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AM}
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et M ainsi
\hspace{0.6cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.6cm} x_{M} y_{M}
\hspace{0.2cm} A(-1;0) \hspace{0.4cm} M(x;y)
On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AM} (x_{M}-x_{A};y_{M}-y_{A})
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
\hspace{4.5cm}\overrightarrow{AM} (x-(-1);y-0)\\\hspace{4.5cm}\overrightarrow{AM} (x+1;y)3) Je calcule le déterminant des deux vecteurs \overrightarrow{AC} et \overrightarrow{AM}
J’utilise la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition pour développer les deux produits.
det(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AM}) =-y-2x-2
4) J’écris une équation cartésienne de la droite (AC)
Comme le déterminant des deux vecteurs \overrightarrow{AC} et \overrightarrow{AM} est nul alors -y-2x-2=0. On prend soin de réécrire l’égalité en placant les x avant les y.
la droite (AC) admet -2x-y-2=0 pour équation cartésienne.
Déterminer par le calcul une équation cartésienne de la droite D qui passe par A (-1;0) et C (-2;2) .
Il s’agit de déterminer une relation du type ax+by+c=0.
On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AC}
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et C ainsi
\hspace{0.6cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.6cm} x_{C} y_{C}
\hspace{0.2cm} A(-1;0) \hspace{0.4cm} C(-2;2)
On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AC} (x_{C}-x_{A};y_{C}-y_{A})
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
\hspace{4.5cm}\overrightarrow{AC} ((-2)-(-1);2-0) \hspace{4.5cm}\overrightarrow{AC} (-1;2)le vecteur \overrightarrow{AC} (-1;2) est un vecteur directeur de D .
On sait , d’après le cours , que le vecteur de coordonnées (-b;a) est un vecteur directeur de la droite D d’équation ax+by+c=0 .
Donc ici -b=-1 et a=2.
Ou encore b=1 et a=2.
Donc l’équation cartésienne de D est de la forme 2x+y+c=0.
Pour déterminer c, il suffit de remplacer x et y par les coordonnées du point A c’est-à-dire -1 et 0.
{2}\times{(-1)}+0+c=0On résout l’équation dont l’inconnue est c.
-2+c=0\\c=2Une équation de la droite D est 2x+y+2=0.
Déterminer une équation cartésienne de la droite (BC) avec B(2;5) et C(2;3)
1)On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{BC}
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points B et C ainsi
\hspace{0.6cm} x_{B} y_{B} \hspace{0.6cm} x_{C} y_{C}
\hspace{0.2cm} B(2;5) \hspace{0.4cm} C(2;3)
On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{BC} (x_{C}-x_{B};y_{C}-y_{B})
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
\hspace{4.5cm}\overrightarrow{BC} (2-2;3-5) \hspace{4.5cm}\overrightarrow{BC} (0;-2)2) On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{BM}
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points B et M ainsi
\hspace{0.6cm} x_{B} y_{B} \hspace{0.6cm} x_{M} y_{M}
\hspace{0.2cm} B(2;5) \hspace{0.4cm} M(x;y)
On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{BM} (x_{M}-x_{B};y_{M}-y_{B})
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
\hspace{4.5cm}\overrightarrow{BM} (x-2;y-5)3) Je calcule le déterminant des deux vecteurs \overrightarrow{BC} et \overrightarrow{BM}
J’utilise la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition pour développer le produit.
det(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AM}) =2x-4
4) J’écris une équation cartésienne de la droite (BC)
Comme le déterminant des deux vecteurs \overrightarrow{BC} et \overrightarrow{BM} est nul alors -2x-4=0. On prend soin de réécrire l’égalité en placant les x avant les y.
la droite (BC) admet 2x-4=0 pour équation cartésienne.
Déterminer par le calcul une équation cartésienne de la droite D qui passe par B (2;5) et C (2;3) .
Il s’agit de déterminer une relation du type ax+by+c=0.
On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{BC}
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points B et C ainsi
\hspace{0.6cm} x_{B} y_{B} \hspace{0.6cm} x_{C} y_{C}
\hspace{0.2cm} B(2;5) \hspace{0.4cm} C(2;3)
On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{BC} (x_{C}-x_{B};y_{C}-y_{B})
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
\hspace{4.5cm}\overrightarrow{BC} (2-2;3-5) \hspace{4.5cm}\overrightarrow{BC} (0;-2)le vecteur \overrightarrow{BC} (0;-2) est un vecteur directeur de D .
On sait , d’après le cours , que le vecteur de coordonnées (-b;a) est un vecteur directeur de la droite D d’équation ax+by+c=0 .
Donc ici -b=0 et a=-2.
Ou encore b=0 et a=-2.
Donc l’équation cartésienne de D est de la forme -2x+c=0.
Pour déterminer c, il suffit de remplacer x et y par les coordonnées du point B c’est-à-dire 2 et 5.
-{2}\times{2}+c=0On résout l’équation dont l’inconnue est c.
-4+c=0\\c=4Une équation de la droite D est -2x+4=0.
Déterminer une équation cartésienne de la droite (AB) avec A(0;4) et B(-1;4)
1)On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB}
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et B ainsi
\hspace{0.6cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.6cm} x_{B} y_{B}
\hspace{0.2cm} A(0;4) \hspace{0.4cm} B(-1;4)
On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB} (x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A})
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
\hspace{4.5cm}\overrightarrow{AB} ((-1)-0;4-4) \hspace{4.5cm}\overrightarrow{AB} (-1;0)2) On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AM}
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et M ainsi
\hspace{0.6cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.6cm} x_{M} y_{M}
\hspace{0.2cm} A(0;4) \hspace{0.4cm} M(x;y)
On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AM} (x_{M}-x_{A};y_{M}-y_{A})
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
\hspace{4.5cm}\overrightarrow{AM} (x-0;y-4) \hspace{4.5cm}\overrightarrow{AM} (x;y-4)3) Je calcule le déterminant des deux vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AM}
J’utilise la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition pour développer le produit.
det(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AM}) =-y+4
4) J’écris une équation cartésienne de la droite (AB)
Comme le déterminant des deux vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AM} est nul alors –y+4=0.
la droite (AB) admet –y+4=0 pour équation cartésienne.
Déterminer par le calcul une équation cartésienne de la droite D qui passe par A (0;4) et B (-1;4) .
Il s’agit de déterminer une relation du type ax+by+c=0.
On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB}
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et B ainsi
\hspace{0.6cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.6cm} x_{B} y_{B}
\hspace{0.2cm} A(0;4) \hspace{0.4cm} B(-1;4)
On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB} (x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A})
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
\hspace{4.5cm}\overrightarrow{AB} ((-1)-0;4-4) \hspace{4.5cm}\overrightarrow{AB} (-1;0)le vecteur \overrightarrow{AB} (-1;0) est un vecteur directeur de D .
On sait , d’après le cours , que le vecteur de coordonnées (-b;a) est un vecteur directeur de la droite D d’équation ax+by+c=0 .
Donc ici -b=-1 et a=0.
Ou encore b=1 et a=0.
Donc l’équation cartésienne de D est de la forme {0}\times{x}+{1}\times{y}+c=0.
Ou plus simplement y+c=0.
Pour déterminer c, il suffit de remplacer x et y par les coordonnées du point A c’est-à-dire 0 et 4.
4+c=0\\c=-4Une équation de la droite D est y-4=0.
Compléter les pointillés avant de commencer.
Langage des points et des droites
Langage des vecteurs
Langage des coordonnées
Le point … est sur la droite…
Les vecteurs \overrightarrow {…} et \overrightarrow {…} sont colinéaires.
det( \overrightarrow {…}; \overrightarrow {…})=0
1) On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AM}
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et M ainsi
\hspace{0.6cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.6cm} x_{M} y_{M}
\hspace{0.2cm} A(2;-1) \hspace{0.4cm} M(x;y)
On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AM} (x_{M}-x_{A};y_{M}-y_{A})
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
\hspace{4.5cm}\overrightarrow{AM} (x-2;y-(-1)) \hspace{4.5cm}\overrightarrow{AM} (x-2;y+1)2) Je calcule le déterminant des deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{AM}
J’utilise la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition pour développer les deux produits.
det(\overrightarrow{u};\overrightarrow{AM}) =y+1-x+2
Je réduis la somme en ajoutant 1 et 2
det(\overrightarrow{u};\overrightarrow{AM}) =y-x+3
3) J’écris une équation cartésienne de la droite D
Comme le déterminant des deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{AM} est nul alors y-x+3=0. On prend soin de réécrire l’égalité en placant les x avant les y.
la droite D admet -x+y+3=0 pour équation cartésienne.
Déterminer par le calcul une équation cartésienne de la droite D qui passe par un point A (2;-1) et qui admet \overrightarrow{u}(1;1) pour vecteur directeur.
Il s’agit de déterminer une relation du type ax+by+c=0 .
Comme \overrightarrow{u}(1;1) est un vecteur directeur de D .
On sait , d’après le cours , que le vecteur de coordonnées (-b;a) est un vecteur directeur de la droite D d’équation ax+by+c=0 .
Donc ici -b=1 et a=1.
Ou encore b=-1 et a=1.
L’équation de D est de la forme : x-y+c=0.
Pour déterminer c, il suffit de remplacer x et y par les coordonnées du point A c’est-à-dire 2 et -1.
2-(-1)+c=0On résout l’équation dont l’inconnue est c.
2+1+c=0\\3+c=0\\c=-3Une équation de la droite D est x-y-3=0.
1) On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AM}
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et M ainsi
\hspace{0.6cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.6cm} x_{M} y_{M}
\hspace{0.2cm} A(\frac{2}{5};1) \hspace{0.4cm} M(x;y)
On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AM} (x_{M}-x_{A};y_{M}-y_{A})
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
\hspace{4.5cm}\overrightarrow{AM} (x-\frac{2}{5};y-1)
2) Je calcule le déterminant des deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{AM}
J’utilise la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition pour développer les deux produits.
det(\overrightarrow{u};\overrightarrow{AM}) ={\frac{1}{2}}\times{y}-{\frac{1}{2}}\times{1}-3x+{3}\times{\frac{2}{5}}
det(\overrightarrow{u};\overrightarrow{AM}) =\frac{y}{2}-\frac{1}{2}-3x+\frac{6}{5}
Je réduis la somme -\frac{1}{2}+\frac{6}{5} en mettant au même dénominateur, ici 10. Je multiplie le premier terme par \frac{5}{5} et le second terme par \frac{2}{2}
det(\overrightarrow{u};\overrightarrow{AM}) =\frac{y}{2}-3x-\frac{5}{10}+\frac{12}{10}
det(\overrightarrow{u};\overrightarrow{AM}) =\frac{y}{2}-3x+\frac{7}{10}
3) J’écris une équation cartésienne de la droite D
Comme le déterminant des deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{AM} est nul alors \frac{y}{2}-3x+\frac{7}{10}=0. On prend soin de réécrire l’égalité en placant les x avant les y.
la droite D admet -3x+\frac{y}{2}+\frac{7}{10}=0 pour équation cartésienne.
Déterminer par le calcul une équation cartésienne de la droite D qui passe par un point A (\frac{2}{5};1) et qui admet \overrightarrow{u}(\frac{1}{2};3) pour vecteur directeur.
Il s’agit de déterminer une relation du type ax+by+c=0 .
\overrightarrow{u}(\frac{1}{2};3) est un vecteur directeur de D.
On sait , d’après le cours , que le vecteur de coordonnées (-b;a) est un vecteur directeur de la droite D d’équation ax+by+c=0 .
Donc ici -b=\frac{1}{2} et a=3.
Ou encore b=-\frac{1}{2} et a=3.
L’équation de D est de la forme : 3x-\frac{1}{2}y+c=0.
Pour déterminer c, il suffit de remplacer x et y par les coordonnées du point A c’est-à-dire \frac{2}{5} et 1.
{3}\times{\frac{2}{5}}-{\frac{1}{2}}\times{1}+c=0.
On résout l’équation dont l’inconnue est c.
\frac{6}{5}-\frac{1}{2}+c=0.
Pour faire la différence \frac{6}{5}-\frac{1}{2} il faut mettre au même dénominateur , ici 10.
{\frac{6}{5}}\times{\frac{2}{2}}-{\frac{1}{2}}\times{\frac{5}{5}}+c=0.
\frac{12}{10}-\frac{5}{10}+c=0.
\frac{7}{10}+c=0\\c=-\frac{7}{10}L’équation de D est 3x-\frac{1}{2}y-\frac{7}{10}=0.
1) On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{BM}
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points B et M ainsi
\hspace{0.6cm} x_{B} y_{B} \hspace{0.6cm} x_{M} y_{M}
\hspace{0.2cm} B(-1;3) \hspace{0.4cm} M(x;y)
On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{BM} (x_{M}-x_{B};y_{M}-y_{B})
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
\hspace{4.5cm}\overrightarrow{BM} (x-(-1));y-3) \hspace{4.5cm}\overrightarrow{BM} (x+1;y-3)2) Je calcule le déterminant des deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{BM}
J’utilise la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition pour développer les deux produits.
det(\overrightarrow{u};\overrightarrow{BM}) =3y-9+2x+2
Je réduis la somme en ajoutant -9 et 2
det(\overrightarrow{u};\overrightarrow{BM}) =3y+2x-7
3) J’écris une équation cartésienne de la droite D
Comme le déterminant des deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{BM} est nul alors 3y+2x-7=0. On prend soin de réécrire l’égalité en placant les x avant les y.
la droite D admet 2x+3y-7=0 pour équation cartésienne.
Déterminer par le calcul une équation cartésienne de la droite D qui passe par un point B(-1;3) et qui admet \overrightarrow{u}(3;-2) pour vecteur directeur.
Il s’agit de déterminer une relation du type ax+by+c=0 .
\overrightarrow{u}(3;-2) est un vecteur directeur de D .
On sait , d’après le cours , que le vecteur de coordonnées (-b;a) est un vecteur directeur de la droite D d’équation ax+by+c=0 .
Donc ici -b=3 et a=-2.
Ou encore b=-3 et a=-2.
L’équation de D est de la forme : -2x-3y+c=0.
Pour déterminer c, il suffit de remplacer x et y par les coordonnées du point B c’est-à-dire -1 et 3.
{-2}\times{-1}-{3}\times{3}+c=0On résout l’équation dont l’inconnue est c.
2-9+c=0\\-7+c=0\\c=7Une équation de la droite D est -2x-3y+7=0.
1) On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AM}
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et M ainsi
\hspace{0.6cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.6cm} x_{M} y_{M}
\hspace{0.2cm} A(2;-5) \hspace{0.4cm} M(x;y)
On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AM} (x_{M}-x_{A};y_{M}-y_{A})
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
\hspace{4.5cm}\overrightarrow{AM} (x-2;y-(-5))\\\hspace{4.5cm}\overrightarrow{AM} (x-2;y+5)2) Je détermine les coordonnées du vecteur \overrightarrow{u} qui est un vecteur directeur de la droite d’ en utilisant la propriété suivante :
Si D admet pour équation cartésienne ax+by+c=0 alors elle admet pour vecteur directeur le vecteur de coordonnées (-b;a)
d’ a pour équation cartésienne 3x-2y+1=0 donc son vecteur directeur a pour coordonnées (2;3).
Comme les droites D et d’ sont parallèles, elles ont même vecteur directeur, donc \overrightarrow{u}(2;3) est un vecteur directeur de D
3) je calcule le déterminant des deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{AM}
J’utilise la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition pour développer les deux produits.
det(\overrightarrow{u};\overrightarrow{AM}) =2y+10-3x+6
Je réduis la somme en ajoutant 10 et 6
det(\overrightarrow{u};\overrightarrow{AM}) =2y-3x+16
3) J’écris une équation cartésienne de la droite D
Comme le déterminant des deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{AM} est nul alors 2y-3x+16=0. On prend soin de réécrire l’égalité en placant les x avant les y.
la droite D admet -3x+2y+16=0 pour équation cartésienne.
Déterminer par le calcul une équation cartésienne de la droite D qui passe par un point A (2;-5) et qui est parallèle à la droite d’ d’équation 3x-2y+1=0.
Il s’agit de déterminer une relation du type ax+by+c=0 .
Comme D et d’ sont parallèles , elles ont même vecteur directeur. Ainsi l’équation de D débute comme celle de d’.
L’équation de D est de la forme : 3x-2y+c=0.
Pour déterminer c, il suffit de remplacer x et y par les coordonnées du point A c’est-à-dire 2 et -5.
{3}\times{2}-{2}\times{(-5)}+c=0\\6+10+c=0On résout l’équation dont l’inconnue est c.
16+c=0\\c=-16Une équation de la droite D est 3x-2y-16=0.
1) On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AM}
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et M ainsi
\hspace{0.6cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.6cm} x_{M} y_{M}
\hspace{0.2cm} A(4;\frac{2}{3}) \hspace{0.4cm} M(x;y)
On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AM} (x_{M}-x_{A};y_{M}-y_{A})
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
\hspace{4.5cm}\overrightarrow{AM} (x-4;y-\frac{2}{3})2) Je détermine les coordonnées du vecteur \overrightarrow{u} qui est un vecteur directeur de la droite d’ en utilisant la propriété suivante :
Si D admet pour équation cartésienne ax+by+c=0 alors elle admet pour vecteur directeur le vecteur de coordonnées (-b;a)
d’ a pour équation cartésienne 4x+y-2=0 donc son vecteur directeur a pour coordonnées (-1;4).
Comme les droites D et d’ sont parallèles, elles ont même vecteur directeur, donc \overrightarrow{u}(-1;4) est un vecteur directeur de D
3) je calcule le déterminant des deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{AM}
J’utilise la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition pour développer les deux produits.
det(\overrightarrow{u};\overrightarrow{AM}) =-y+\frac{2}{3}-4x+16
Je réduis la somme en ajoutant \frac{2}{3} et 16. Pour cela, on met les deux fractions au même dénominateur ici, 3.
det(\overrightarrow{u};\overrightarrow{AM}) =-y+\frac{2}{3}-4x+{16}\times{\frac{3}{3}}
det(\overrightarrow{u};\overrightarrow{AM}) =-y+\frac{2}{3}-4x+\frac{48}{3}
det(\overrightarrow{u};\overrightarrow{AM}) =-y-4x+\frac{50}{3}
3) J’écris une équation cartésienne de la droite D
Comme le déterminant des deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{AM} est nul alors -y-4x+\frac{50}{3}=0. On prend soin de réécrire l’égalité en placant les x avant les y.
la droite D admet -4x-y+\frac{50}{3}=0 pour équation cartésienne.
Déterminer par le calcul une équation cartésienne de la droite D qui passe par un point A (4;\frac{2}{3}) et qui est parallèle à la droite d’ d’équation 4x+y-2 =0.
Il s’agit de déterminer une relation du type ax+by+c=0 .
Comme D et d’ sont parallèles , elles ont même vecteur directeur. Ainsi l’équation de D débute comme celle de d’.
L’équation de D est de la forme : 4x+y+c=0.
Pour déterminer c, il suffit de remplacer x et y par les coordonnées du point A c’est-à-dire 4 et \frac{2}{3}.
{4}\times{4}+\frac{2}{3}+c=0On résout l’équation dont l’inconnue est c.
16+\frac{2}{3}+c=0On calcule 16+\frac{2}{3} en mettant au même dénominateur, ici 3.
{16}\times{\frac{3}{3}}+\frac{2}{3}+c=0\\\frac{48}{3}+\frac{2}{3}+c=0\\\frac{50}{3}+c=0\\c=-\frac{50}{3}Une équation cartésienne de la droite D est 4x+y-\frac{50}{3}=0.
Réponse:
\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.
Résoudre graphiquement f(x)=1
C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.
Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.
Les antécédents sont -2 et 2.
Donc S=\{-2;2\}
Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.
