2. équations du 2nd degré.Exercices.

Sommaire

Exercice n°1 

 Résoudre dans \mathbf{R} les équations du second degré suivantes. Vous validerez vos réponses en utilisant la fenêtre de calcul formel située à la fin de l’exercice.

  1. (2x-10)(-3x+5)=0

2. (2x+5)(13x-15)=0

3. (\frac{1}{2}x-4)(x+8)=0

4. (\frac{2}{3}x+7)(-2x+1)=0

Exercice n°2 

Résoudre dans \mathbf{R} les équations du second degré suivantes. Vous validerez vos réponses en utilisant la fenêtre de calcul formel située à la fin de l’exercice.

  1. (2x-1)^2=16

2. (2x-2)^2=64

3. (x-1)^2=\frac{1}{4}

4. (3x-1)^2=2

Exercice n°3 

Résoudre dans \mathbf{R} les équations du second degré suivantes. Vous validerez vos réponses en utilisant la fenêtre de calcul formel située à la fin de l’exercice.

  1. 2(x-2)^2-1=1

2. 5(2x-2)^2-1=44

3. 3(1-3x)^2-2=10

4. 7(x-1)^2-48=1

(2x-10)(-3x+5)=0 est une équation du second degré car si on développait le produit nous obtiendrions un terme en x^{2}

Il n’est pas nécessaire de faire apparaître  le zéro à droite, il y est déjà.

Il n’est pas nécessaire de factoriser le membre de gauche, c’est déjà un produit de facteurs du premier degré.

J’applique la règle du produit nul. Un produit est nul si le premier facteur est nul ou si le second facteur est nul.

2x-10=0 ou -3x+5=0

Ce sont des équations du premier degré, il faut mettre à leur place les membres qui ne sont pas à leur place.

Dans la première équation  -10 n’est pas à sa place, j’ajoute 10 de  chaque côté.

Dans la seconde équation  5 n’est pas à sa place, j’enlève 5 de chaque côté.

2x=10 ou -3x=-5

Dans la première équation le facteur 2 n’est pas à sa place, je divise par 2 de chaque côté 

Dans la seconde équation le facteur  -3 n’est pas à sa place, je divise par -3 de chaque côté.

x=\frac{10}{2} ou x=\frac{-5}{-3}\\x=5 ou x=\frac{5}{3}\\S=\{\frac{5}{3};5\}

(2x+5)(13x-15)=0 est une équation du second degré car si on développait le produit nous obtiendrions un terme en x^{2}

Il n’est pas nécessaire de faire apparaître  le zéro à droite, il y est déjà.

Il n’est pas nécessaire de factoriser le membre de gauche, c’est déjà un produit de facteurs du premier degré.

J’applique la règle du produit nul. Un produit est nul si le premier facteur est nul ou si le second facteur est nul.

2x+5=0 ou 13x-15=0

Ce sont des équations du premier degré, il faut mettre à leur place les membres qui ne sont pas à leur place.

Dans la première équation  5 n’est pas à sa place, j’enlève 5 de  chaque côté.

Dans la seconde équation  -15 n’est pas à sa place, j’ajoute 15 de chaque côté.

2x=0-5 ou 13x=0+15\\2x=-5 ou 13x=15

Dans la première équation le facteur 2 n’est pas à sa place, je divise par 2 de chaque côté 

Dans la seconde équation le facteur  13 n’est pas à sa place, je divise par 13 de chaque côté.

x=-\frac{5}{2} ou x=\frac{15}{13}\\S=\{-\frac{5}{2};\frac{15}{13}\}

(\frac{1}{2}x-4)(x+8)=0 est une équation du second degré car si on développait le produit nous obtiendrions un terme en x^{2}

Il n’est pas nécessaire de faire apparaître  le zéro à droite, il y est déjà.

Il n’est pas nécessaire de factoriser le membre de gauche, c’est déjà un produit de facteurs du premier degré.

J’applique la règle du produit nul. Un produit est nul si le premier facteur est nul ou si le second facteur est nul.

\frac{1}{2}x-4=0 ou x+8=0

Ce sont des équations du premier degré, il faut mettre à leur place les membres qui ne sont pas à leur place.

Dans la première équation  -4 n’est pas à sa place, j’ajoute 4 de  chaque côté.

Dans la seconde équation  8 n’est pas à sa place, j’enlève 8 de chaque côté.

\frac{1}{2}x=4 ou x=-8

Dans la première équation le facteur \frac{1}{2} n’est pas à sa place, je divise par \frac{1}{2} de chaque côté, ce qui revient à multiplier par son inverse 2. 

x=4 \times 2 ou x=-8.

x=8 ou x=-8.

S=\{-8;8\}

(\frac{2}{3}x+7)(-2x+1)=0 est une équation du second degré car si on développait le produit nous obtiendrions un terme en x^{2}

Il n’est pas nécessaire de faire apparaître  le zéro à droite, il y est déjà.

Il n’est pas nécessaire de factoriser le membre de gauche, c’est déjà un produit de facteurs du premier degré.

J’applique la règle du produit nul. Un produit est nul si le premier facteur est nul ou si le second facteur est nul.

\frac{2}{3}x+7=0 ou -2x+1=0

Ce sont des équations du premier degré, il faut mettre à leur place les membres qui ne sont pas à leur place.

Dans la première équation  7 n’est pas à sa place, j’enlève 7 de  chaque côté.

Dans la seconde équation  1 n’est pas à sa place, j’enlève 1 de chaque côté.

\frac{2}{3}x=-7 ou -2x=-1

Dans la première équation le facteur \frac{2}{3} n’est pas à sa place, je divise par \frac{2}{3} de chaque côté, ce qui revient à multiplier par son inverse \frac{3}{2}.

Dans la seconde équation le facteur -2 n’est pas à sa place, je divise par -2 de chaque côté.

x=-7 \times {\frac{3}{2}} ou x=\frac{-1}{-2}.

x=-\frac{21}{2} ou x=\frac{1}{2}.

S=\{-\frac{21}{2};\frac{1}{2}\}

 

 

L’équation à résoudre (2x-1)^{2}=16 est du 2nd degré car en développant (2x-1)^{2} le plus grand exposant de  x est 2.

La méthode proposée concerne les équations du second degré.

(2x-1)^{2}=16

1.Je fais tout passer à gauche, zéro apparaît à droite.

le 16 à droite du signe égal n’est pas à sa place, j’enlève 16 de chaque côté.

(2x-1)^{2}-16=0

2. Je factorise le membre de gauche.

a. Il n’y a pas de facteur commun.

b. J’utilise l’identité remarquable

a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)

pour factoriser (2x-1)^{2}-16

a^{2}=(2x-1)^{2};a=(2x-1)

b^{2}=16;b=4

Je remplace a et b par (2x-1) et 4 dans a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)

((2x-1)-4)((2x-1)+4)=0

Je réduis à l’intérieur des parenthèses

(2x-5)(2x+3)=0

3. J’applique la règle du produit nul : un produit de facteurs est nul si l’un de ses facteurs est nul.

Ici il y a deux facteurs (2x-5) ;  (2x+3). Le premier facteur est nul ou le second facteur est nul.

2x-5=0 ou 2x+3=0

Dans l’équation 2x-5=0 le -5 n’est pas à sa place, j’ajoute 5de chaque côté.

Dans l’équation (2x+3)=0 le 3 n’est pas à sa place, j’enlève 3 de chaque côté.

2x=5 ou 2x=-3

Dans l’équation 2x=5 le  2 n’est pas à sa place, je divise par 2 de chaque côté.

Dans l’équation 2x=-3 le  2 n’est pas à sa place, je divise par 2 de chaque côté.

x=\frac{5}{2} ou x=-\frac{3}{2}\\S=\{-\frac{3}{2};\frac{5}{2}\}

L’équation à résoudre (2x-2)^{2}=64 est du 2nd degré car en développant (2x-2)^{2} le plus grand exposant de  x est 2.

La méthode proposée concerne les équations du second degré.

(2x-2)^{2}=64

1.Je fais tout passer à gauche, zéro apparaît à droite.

le 64 à droite du signe égal n’est pas à sa place, j’enlève 64 de chaque côté.

(2x-2)^{2}-64=0

2. Je factorise le membre de gauche.

a. Il n’y a pas de facteur commun.

b. J’utilise l’identité remarquable

a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)

pour factoriser (2x-2)^{2}-64

a^{2}=(2x-2)^{2};a=(2x-2)

b^{2}=64;b=8

Je remplace a et b par (2x-2) et 8 dans a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)

((2x-2)-8)((2x-2)+8)=0

Je réduis à l’intérieur des parenthèses

(2x-10)(2x+6)=0

3. J’applique la règle du produit nul : un produit de facteurs est nul si l’un de ses facteurs est nul.

Ici il y a deux facteurs (2x-10) ;  (2x+6). Le premier facteur est nul ou le second facteur est nul.

2x-10=0 ou 2x+6=0

Dans l’équation 2x-10=0 le -10 n’est pas à sa place, j’ajoute 10de chaque côté.

Dans l’équation (2x+6)=0 le 6 n’est pas à sa place, j’enlève 6 de chaque côté.

2x=10 ou 2x=-6

Dans l’équation 2x=10 le  2 n’est pas à sa place, je divise par 2 de chaque côté.

Dans l’équation 2x=-6 le  2 n’est pas à sa place, je divise par 2 de chaque côté.

x=\frac{10}{2} ou x=-\frac{6}{2}\\x=5 ou x=-3\\S=\{-3;5\}

 

 

L’équation à résoudre (x-1)^{2}=\frac{1}{4} est du 2nd degré car en développant (x-1)^{2} le plus grand exposant de  x est 2.

La méthode proposée concerne les équations du second degré.

(x-1)^{2}=\frac{1}{4}

1.Je fais tout passer à gauche, zéro apparaît à droite.

le \frac{1}{4} à droite du signe égal n’est pas à sa place, j’enlève \frac{1}{4} de chaque côté.

(x-1)^{2}-\frac{1}{4}=0

2. Je factorise le membre de gauche.

a. Il n’y a pas de facteur commun.

b. J’utilise l’identité remarquable

a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)

pour factoriser (x-1)^{2}-\frac{1}{4}

a^{2}=(x-1)^{2};a=(x-1)

b^{2}=\frac{1}{4};b=\frac{1}{2}

Je remplace a et b par (x-1) et \frac{1}{2} dans a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)

((x-1)-\frac{1}{2})((x-1)+\frac{1}{2})=0

Pour réduire -1-\frac{1}{2} dans la première parenthèse il faut mettre au même dénominateur, ici 2.

Pour réduire -1+\frac{1}{2} dans la première parenthèse il faut mettre au même dénominateur, ici 2.

(x-1\times {\frac{2}{2}}-\frac{1}{2})(x-1\times {\frac{2}{2}}+\frac{1}{2})=0

(x-\frac{2}{2}-\frac{1}{2})(x-\frac{2}{2}+\frac{1}{2})=0

(x-\frac{3}{2})(x-\frac{1}{2})=0

3. J’applique la règle du produit nul : un produit de facteurs est nul si l’un de ses facteurs est nul.

Ici il y a deux facteurs (x-\frac{3}{2}) ;  (x-\frac{1}{2}). Le premier facteur est nul ou le second facteur est nul.

x-\frac{3}{2}=0 ou x-\frac{1}{2}=0

Dans l’équation x-\frac{3}{2}=0 le -\frac{3}{2} n’est pas à sa place, j’ajoute \frac{3}{2}de chaque côté.

Dans l’équation x-\frac{1}{2}=0le -\frac{1}{2} n’est pas à sa place, j’ajoute \frac{1}{2} de chaque côté.

x=\frac{3}{2} ou x=\frac{1}{2}

S=\{\frac{1}{2};\frac{3}{2}\}

 

 

L’équation à résoudre (3x-1)^{2}=2 est du 2nd degré car en développant (3x-1)^{2} le plus grand exposant de  x est 2.

La méthode proposée concerne les équations du second degré.

(3x-1)^{2}=2

1.Je fais tout passer à gauche, zéro apparaît à droite.

le 2 à droite du signe égal n’est pas à sa place, j’enlève 2 de chaque côté.

(3x-1)^{2}-2=0

2. Je factorise le membre de gauche.

a. Il n’y a pas de facteur commun.

b. J’utilise l’identité remarquable

a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)

pour factoriser (3x-1)^{2}-2

a^{2}=(3x-1)^{2};a=(3x-1)

b^{2}=2 ;b=\sqrt{2}

Je remplace a et b par (3x-1) et \sqrt{2} dans a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)

((3x-1)-\sqrt{2})((3x-1)+\sqrt{2})=0\\(3x-1-\sqrt{2})(3x-1+\sqrt{2})=0

3. J’applique la règle du produit nul : un produit de facteurs est nul si l’un de ses facteurs est nul.

Ici il y a deux facteurs (3x-1-\sqrt{2}) ;  ((3x-1+\sqrt{2})). Le premier facteur est nul ou le second facteur est nul.

3x-1-\sqrt{2}=0 ou 3x-1+\sqrt{2}=0

Dans l’équation 3x-1-\sqrt{2}=0 le -1-\sqrt{2} n’est pas à sa place, j’ajoute 1+\sqrt{2}de chaque côté.

Dans l’équation 3x-1+\sqrt{2}=0 le -1+\sqrt{2} n’est pas à sa place, j’ajoute 1-\sqrt{2} de chaque côté.

3x=1+\sqrt{2}=0 ou 3x=1-\sqrt{2}=0

Dans l’équation 3x=1+\sqrt{2}=0le  3 n’est pas à sa place, je divise par 3 de chaque côté.

Dans l’équation 3x=1-\sqrt{2}=0 le  3 n’est pas à sa place, je divise par 3 de chaque côté.

x=\frac{1+\sqrt{2}}{3} ou x=\frac{1-\sqrt{2}}{3}\\S=\{\frac{1-\sqrt{2}}{3};\frac{1+\sqrt{2}}{3}\}

 

 

L’équation à résoudre 2(x-2)^{2}-1=1 est du second degré car si on développe (x-2)^{2} le plus grand exposant de  x est 2.

La méthode proposée concerne les équations du second degré.

2(x-2)^{2}-1=1

1.Je fais tout passer à gauche, zéro apparaît à droite.

1 n’est pas à sa place, j’enlève 1 de chaque côté.

2(x-2)^{2}   -1-1=0\\2(x-2)^{2}  -2=0

2. Je factorise le membre de gauche.

a. Il y a un facteur commun.

J’écris

2(x-2)^{2}={2}\times{(x-2)^{2}}

2={2}\times{1}

Je mets 2 en facteur.

2[(x-2)^{2}-1]=0

b. J’utilise l’identité remarquable

a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)

pour factoriser (x-2)^{2}-1

a^{2}=(x-2)^{2};a=(x-2)

b^{2}=1;b=1

Je remplace a et b par (x-2) et 1 dans a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)

2((x-2)-1)((x-2)+1)=0\\2(x-3)(x-1)=0

3. J’applique la règle du produit nul : un produit de facteurs est nul si l’un de ses facteurs est nul.

Ici il y a trois facteurs 2 ; (x-3) ;  (x-1). Le premier n’est pas nul, seuls le second et le troisième peuvent l’être.

x-3=0 ou x-1=0 \\x=3 ou x=1\\S=\{1;3\}

 

 

L’équation à résoudre 5(2x-2)^{2}-1=44 est du second degré car si on développe (2x-2)^{2} le plus grand exposant de  x est 2.

La méthode proposée concerne les équations du second degré.

5(2x-2)^{2}-1=44

1.Je fais tout passer à gauche, zéro apparaît à droite.

44 n’est pas à sa place, j’enlève 44 de chaque côté.

5(2x-2)^{2}   -1-44=0\\5(2x-2)^{2}  -45=0

2. Je factorise le membre de gauche.

a. Il y a un facteur commun.

J’écris

5(2x-2)^{2}={5}\times{(2x-2)^{2}}

45={5}\times{9}

Je mets 5 en facteur.

5[(2x-2)^{2}-9]=0

b. J’utilise l’identité remarquable

a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)

pour factoriser (2x-2)^{2}-9

a^{2}=(2x-2)^{2};a=(2x-2)

b^{2}=9;b=3

Je remplace a et b par (2x-2) et 3 dans a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)

5((2x-2)-3)((2x-2)+3)=0\\5(2x-5)(2x+1)=0

3. J’applique la règle du produit nul : un produit de facteurs est nul si l’un de ses facteurs est nul.

Ici il y a trois facteurs 5 ; (2x-5) ;  (2x+1). Le premier n’est pas nul, seuls le second et le troisième peuvent l’être.

2x-5=0 ou 2x+1=0 \\2x=5 ou 2x=-1\\x=\frac{5}{2} ou x=-\frac{1}{2}\\S=\{-\frac{1}{2};\frac{5}{2}\}

 

 

L’équation à résoudre 3(1-3x)^{2}-2=10 est du second degré car si on développe (1-3x)^{2} le plus grand exposant de  x est 2.

La méthode proposée concerne les équations du second degré.

3(1-3x)^{2}-2=10

1.Je fais tout passer à gauche, zéro apparaît à droite.

10 n’est pas à sa place, j’enlève 10 de chaque côté.

3(1-3x)^{2}   -2-10=0\\3(1-3x)^{2}  -12=0

2. Je factorise le membre de gauche.

a. Il y a un facteur commun.

J’écris

3(1-3x)^{2}={3}\times{(1-3x)^{2}}

12={3}\times{4}

Je mets 3 en facteur.

3[(1-3x)^{2}-4]=0

b. J’utilise l’identité remarquable

a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)

pour factoriser (1-3x)^{2}-4

a^{2}=(1-3x)^{2};a=(1-3x)

b^{2}=4;b=2

Je remplace a et b par (1-3x) et 2 dans a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)

3((1-3x)-2)((1-3x)+2)=0\\3(-1-3x)(3-3x)=0

3. J’applique la règle du produit nul : un produit de facteurs est nul si l’un de ses facteurs est nul.

Ici il y a trois facteurs 3 ; (-1-3x) ;  (3-3x). Le premier n’est pas nul, seuls le second et le troisième peuvent l’être.

-1-3x=0 ou 3-3x=0 \\-3x=1 ou -3x=-3\\x=-\frac{1}{3} ou x=\frac{-3}{-3}\\x=-\frac{1}{3} ou x=1\\S=\{-\frac{1}{3};1\}

 

 

L’équation à résoudre 7(x-1)^{2}-48=1 est du second degré car si on développe (x-1)^{2} le plus grand exposant de  x est 2.

La méthode proposée concerne les équations du second degré.

7(x-1)^{2}-48=1

1.Je fais tout passer à gauche, zéro apparaît à droite.

1 n’est pas à sa place, j’enlève 1 de chaque côté.

7(x-1)^{2}-48-1=0\\7(x-1)^{2}-49=0

2. Je factorise le membre de gauche.

a. Il y a un facteur commun.

J’écris

7(x-1)^{2}={7}\times{(x-1)^{2}}

49={7}\times{7}

Je mets 7 en facteur.

7[(x-1)^{2}-7]=0

b. J’utilise l’identité remarquable

a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)

pour factoriser (x-1)^{2}-7

a^{2}=(x-1)^{2};a=(x-1)

b^{2}=7;b=\sqrt{7}

Je remplace a et b par (x-1) et \sqrt{7} dans a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)

7((x-1)-\sqrt{7})((x-1)+\sqrt{7})=0

3. J’applique la règle du produit nul : un produit de facteurs est nul si l’un de ses facteurs est nul.

Ici il y a trois facteurs 7 ; (x-1-\sqrt{7}) ;  (x-1+\sqrt{7}). Le premier n’est pas nul, seuls le second et le troisième peuvent l’être.

x-1-\sqrt{7}=0 ou x-1+\sqrt{7}=0 \\x=1+\sqrt{7} ou x=1-\sqrt{7}\\S=\{1-\sqrt{7};1+\sqrt{7}\}

 

 

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.