Problème n°5:

On souhaite étudier, par le calcul, la position de la courbe de la fonction fdéfinie sur \mathbf{R} par f(x)=2(x+1)^2 et de la droite D d’équation réduite y=4x+6.

Commencer par construire la courbe de la fonction f et la droite D en utilisant la fenêtre Géogébra ci-dessous.

1. Conjecturer graphiquement la position relative de la courbe et de la droite

2. Etudier par le calcul, la position de la courbe et de la droite.

1. Montrer que f(x)-(4x+6)=2x^2-4.

2. Factoriser 2x^2-4

3. a. Etudier le signe de x-\sqrt{2} en fonction de x.

     b. Etudier le signe de x+\sqrt{2} en fonction de x.

     c. En déduire le tableau de signes du produit (x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}) en fonction de x.

4. Déduire des questions précédentes le signe de f(x)-(4x+6). En déduire la position de la courbe de la fonction fdéfinie sur \mathbf{R} par f(x)=2(x+1)^2 et de la droite D d’équation réduite y=4x+6.

A l’aide du logiciel Géogébra, on trace  la courbe de la fonction fdéfinie sur \mathbf{R} par f(x)=2(x+1)^2 et la droite D d’équation réduite y=4x+6.

On lit graphiquement que la courbe de f est située au-dessus de la droite pour les valeurs de x plus petites que -1.41 et les valeurs de x plus grandes que 1.41.

Et que la courbe de f est située en-dessous de la droite pour les valeurs de x comprises entre -1.41 et 1.41.

 

Remarque : dans cette question, la réponse est donnée pour permettre à l’élève de poursuivre l’exercice sans traîner une erreur de calcul.

f(x)-(4x+6)=2(x+1)^2-(4x+6)

Dans une suite d’opérations, on effectue en priorité ce qu’il y a entre parenthèses. Ici il n’y a rien à réduire.

Puis on effectue les puissances.

\hspace{2.4cm}=2(x^2+2x+1)-(4x+6)

Ensuite on effectue les produits. On multiplie par 2 par(x^2+2x+1) et on multiplie par -1 par (4x+6)

\hspace{2.4cm}=2x^2+4x+2-4x-6

Enfin on effectue les sommes, c’est à dire qu’on réduit.

\hspace{2.4cm}=2x^2-4

1. Il y a un facteur commun : 2

2 x^{2}=2 \times x^{2} 

4=2 \times 2

2x^2-4=2(x^2-2)

2. A l’aide de l’identité remarquable a^2-b^2=(a-b)(a+b) nous allons factoriser x^2-2

a^{2}=x^{2}  donc a=x

b^{2}=2  donc b=\sqrt{2}

Pour finir, il suffit de remplacer a, b , a^{2},  et b^{2} par leurs valeurs dans :

a^{2}-b^{2}= (a-b)(a+b)

\hspace{1.3cm} =2 (x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})

 

Je résous x-\sqrt{2}=0\\x=\sqrt{2}

J’utilise le résultat du cours suivant :

Pour compléter le signe de  x-\sqrt{2}dans le tableau de signe, comme a=1 , il est positif, donc on commence par le signe (-) jusqu’au zéro et on complète avec des (+).

Je résous x+\sqrt{2}=0\\x=-\sqrt{2}

J’utilise le résultat du cours suivant :

Pour compléter le signe de  x+\sqrt{2}dans le tableau de signe, comme a=1 , il est positif, donc on commence par le signe (-) jusqu’au zéro et on complète avec des (+).

On déduit des questions précédentes le tableau de signes suivant :

On a obtenu à la question précédente le tableau de signes suivant :

On a montré précédemment que f(x)-(4x+6)=2(x-\sqrt{2})(x-\sqrt{2}).

Pour les première et troisième colonnes, (x-\sqrt{2})(x-\sqrt{2}) est de signe +.

Donc sur ]-\infty;-\sqrt{2}]\cup[-\sqrt{2};+\infty[ , f(x)-(4x+6) est de signe + ou nul donc f(x)\geq (4x+6) donc la courbe de la fonction f est au-dessus de la droite.

Pour la seconde colonne, (x-\sqrt{2})(x-\sqrt{2}) est de signe .

Donc sur [-\sqrt{2};\sqrt{2}] , f(x)-(4x+6) est de signe ou nul donc f(x)\leq (4x+6) donc la courbe de la fonction f est en-dessous de la droite.

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.