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2. Problème n°10

Soient A et B deux points tels que la distance AB=8.

Soit M, un point variable sur le segment [AB].

On construit le carré AMNP et le triangle MQB rectangle et isocèle en Q.

Où placer le point M sur le segment [AB] pour que les aires du carré AMNP et du triangle MQB soient égales ?

Résolution géométrique avec Géogébra.

a. Faire la figure à l’aide du logiciel géogébra.

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b. Répondre au problème posé à l’aide du logiciel géogébra.

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Résolution algébrique.

On veut déterminer la distance AM . Comme on ne la connaît pas on la note x. Ainsi AM=x. On remarque que x\in [0;8].

  1. Exprimer l’aire du carré AMNP en fonction de x.
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2. Le but de cette question est d’exprimer l’aire du triangle MQB en fonction de x.

        a. Démontrer que IM=IQ=IB .

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        b. Démontrer que les droites (IQ) et  (MB sont perpendiculaires. En déduire que (IQ) est une hauteur dans le triangle MQB .

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        c. A l’aide des questions précédentes, exprimer l’aire du triangle MQB en fonction de x.

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3. Résoudre l’équation du second degré suivante x^2=(\frac{8-x}{2})^2 dans l’intervalle [0;8]. Puis répondre à la question posée dans le problème.

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©2020 – Math’O karé SAS

1. Construction de la figure à l’aide du logiciel Géogébra.

Je place le point A dans le repère en cliquant gauche sur le deuxième onglet en haut de la page en partant de la gauche et en cliquant gauche sur point dans le menu déroulant, puis je clique gauche dans le repère pour placer A ( géogébra nomme les points par défaut : A, B, C , … dans l’ordre chronologique d’apparition ).

Je place le point B dans le repère en cliquant gauche sur le deuxième onglet en haut de la page en partant de la gauche et en cliquant gauche sur point dans le menu déroulant, puis je clique gauche dans le repère pour placer B ( géogébra nomme les points par défaut : A, B, C , … dans l’ordre chronologique d’apparition ). Comme AB=8, se déplacer horizontalement de huit graduations vers la droite.

Je place le point M sur le segment [AB]

Il faut d’abord tracer le segment [AB]

  1.Je trace le segment [AB] dans le repère en cliquant gauche sur le troisième onglet en haut de la page en partant de la gauche et en cliquant gauche sur Segment dans le menu déroulant, puis je clique gauche dans le repère sur le point A puis sur le point B.

  2. Je place le point M sur le segment [AB]

On clique gauche sur le deuxième onglet en haut de la page en partant de la gauche et on  clique gauche sur point sur Objet dans le menu déroulant, puis on clique gauche dans le repère n’importe où sur le segment [AB] pour placer M ( géogébra nomme les points par défaut : A, B, C , … dans l’ordre chronologique d’apparition donc celui-ci est baptisé D).

On souhaite le renommer : se positionner  sur le point nouvellement construit, cliquer  droit, sélectionner renommer dans le menu déroulant et taper le nouveau nom, ici M.

 Je construis le carré AMNP.

On clique gauche sur le cinquième onglet en haut de la page en partant de la gauche et on  clique gauche sur Polygone régulier dans le menu déroulant, puis on clique gauche dans le repère sur le point A puis sur le point M. On tape 4 dans le cadre qui s’affiche si besoin. On clique sur OK, le carré apparaît. Géogébra a appelé C et D les deux autres sommetsdu carré, on les renomme N et P.

 Je construis le triangle MBQ rectangle et isocèle en Q .

a. Je construis le milieu I du segment [MB].

On clique gauche sur le deuxième onglet en haut de la page en partant de la gauche et on  clique gauche sur Milieu ou centre dans le menu déroulant, puis on clique gauche dans le repère sur le point M puis sur le point B. 

b. Je construis le cercle de centre I passant par M.

On clique gauche sur le sixième onglet en haut de la page en partant de la gauche et on  clique gauche sur Cercle (centre-point) dans le menu déroulant, puis on clique gauche dans le repère sur le point I puis sur le point M. 

c. Je construis le sommet Q du triangle MBQ.

On clique gauche sur le deuxième onglet en haut de la page en partant de la gauche et on  clique gauche sur Milieu ou centre dans le menu déroulant, puis on clique gauche dans le repère sur le point M puis sur le point B. 

d. Je construis la droite passant par I et perpendiculaire au segment [MB].

On clique gauche sur le quatrième onglet en haut de la page en partant de la gauche et on  clique gauche sur Perpendiculaire dans le menu déroulant, puis on clique gauche dans le repère sur le point I puis sur le segment [MB]. 

e. Je construis le point Q, le troisième sommet du triangle MBQ.

On clique gauche sur le deuxième onglet en haut de la page en partant de la gauche et on  clique gauche sur Point sur Objet dans le menu déroulant, puis on clique gauche dans le repère sur le cercle de centre I passant par M puis sur la droite passant par I et perpendiculaire au segment [MB]. On obtient deux points, on ne garde que celui du dessus  qu’on renomme Q.

f. Je construis le triangle MBQ.

On clique gauche sur le cinquième onglet en haut de la page en partant de la gauche et on  clique gauche sur Polygone dans le menu déroulant, puis on clique gauche dans le repère sur les points M, Q, B et M. 

 On fait le « ménage », c’est-à-dire que pour les objets inutiles : on clique droit sur l’objet et on décoche la case Afficher l’objet. Pour les étiquettes inutiles : on clique droit sur l’objet et on décoche la case Afficher l’étiquette. 

Je mesure l’aire du carré AMNP en cliquant gauche sur le huitième  onglet en haut de la page en partant de la gauche et en cliquant gauche sur Aire dans le menu déroulant. Puis je clique gauche dans le repère sur le carré AMNP, apparaît alors Aire du poly1=

Je mesure l’aire du triangle MQB en cliquant gauche sur le huitième  onglet en haut de la page en partant de la gauche et en cliquant gauche sur Aire dans le menu déroulant. Puis je clique gauche dans le repère sur le triangle MQB, apparaît alors Aire de MQB=

Je déplace le point variable M en cliquant gauche sur le premier onglet en haut de la page en partant de la gauche et en cliquant gauche sur Déplacer dans le menu déroulant. Puis je clique gauche dans le repère sur le point M et je le déplace pour que les deux aires soient égales ( on doit parfois se contenter de deux quantités presque égales).

Je mesure la distance AM correspondant à la solution du problème en cliquant gauche sur le huitième  onglet en haut de la page en partant de la gauche et en cliquant gauche sur Distance ou Longueur dans le menu déroulant. Puis je clique gauche dans le repère sur le point A puis sur le point M, apparaît alors AM=2.66

Donc les deux aires sont égales lorsque AM=2.66

Le côté du carré AMNP mesure x donc l’aire du carré AMNP mesure x^2 .

Le triangle MQB est rectangle en Q donc le centre du cercle circonscrit à ce triangle est le milieu de l’hypothénuse donc I.

Comme les trois points M, Q et B sont situés sur ce cercle de centre I , alors IM=IQ=IB.

On a montré précédemment que IM=IB donc la médiatrice du segment  [MB] passe par I .

Le triangle MQB est isocèle en Q donc QM=QB donc la médiatrice du segment  [MB] passe par Q .  

Donc la droite (QI) est la médiatrice du segment  [MB] donc les droites (QI) et (MB) sont perpendiculaires.

Donc (QI) est une hauteur du triangle MQB.

Pour calculer l’aire de MQB, on utilise par exemple la formule : \frac{{Base}\times{Hauteur}}{2}.

Dans le triangle MQB on choisit [MB] pour la base et [QI] pour la hauteur.

On calcule la longueur MB :

MB=AB-AM\\\hspace{0.8cm}=8-x

On calcule la longueur QI :

D’après la question 2.a.

QI=MI\\\hspace{0.6cm}=\frac{MB}{2}\\\hspace{0.6cm}=\frac{8-x}{2}

On calcule l’aire de MQBavec la formule : \frac{{Base}\times{Hauteur}}{2}.

\frac{{MB}\times{QI}}{2}=\frac{{(8-x)}\times{\frac{8-x}{2}}}{2}

\hspace{1.2cm}=\frac{{\frac{(8-x)^2}{2}}}{2}

\hspace{1.2cm}={\frac{(8-x)^2}{4}}

 

L’équation à résoudre x^2=(\frac{8-x}{2})^2 est du second degré .

La méthode proposée concerne les équations du second degré.

x^2=(\frac{8-x}{2})^2

1.Je fais tout passer à gauche, zéro apparaît à droite.

(\frac{8-x}{2})^2 n’est pas à sa place, j’enlève (\frac{8-x}{2})^2 de chaque côté.

x^2-(\frac{8-x}{2})^2=0

2. Je factorise le membre de gauche.

a. Il n’y a pas de facteur commun.

b. J’utilise l’identité remarquable a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) pour factoriser x^2-(\frac{8-x}{2})^2

a^{2}=x^{2} \hspace{2cm}a=x

b^{2}=(\frac{8-x}{2})^2\hspace{1.4cm}b=\frac{8-x}{2}

Je remplace a et b par x et \frac{8-x}{2} dans a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)

x^2-(\frac{8-x}{2})^2=(x-\frac{8-x}{2})(x+\frac{8-x}{2})

(x-\frac{8-x}{2})(x+\frac{8-x}{2})=0

On va mettre au même dénominateur dans les deux parenthèses, ici 2.

(x\times{\frac{2}{2}}-\frac{8-x}{2})(x\times{\frac{2}{2}}+\frac{8-x}{2})=0

(\frac{2x}{2}-\frac{8-x}{2})(\frac{2x}{2}+\frac{8-x}{2})=0

Attention pour la suite, dans la fraction \frac{8-x}{2} le 8-x est considéré comme entre parenthèses qui sont invisibles.

(\frac{2x-8+x}{2})(\frac{2x+8-x}{2})=0

(\frac{3x-8}{2})(\frac{x+8}{2})=0

3. J’applique la règle du produit nul : un produit de facteurs est nul si l’un de ses facteurs est nul.

Ici il y a deux facteurs (\frac{3x-8}{2}); (\frac{x+8}{2}). L’un ou l’autre des facteurs est nul.

\frac{3x-8}{2}=0 ou \frac{x+8}{2}=0

Dans l’équation \frac{3x-8}{2}=0 le 2 n’est pas à sa place, je multiplie par 2 de chaque côté.

Dans l’équation \frac{x+8}{2}=0 le 2 n’est pas à sa place, je multiplie par 2 de chaque côté.

3x-8=0 ou x+8=0

Dans la première équation le -8 n’est pas à sa place, j’ajoute 8 de chaque côté.

Dans la seconde équation le 8 n’est pas à sa place, j’enlève 8 de chaque côté.

3x=8 ou x=-8

Dans la première équation le 3 n’est pas à sa place, je divise par 3 de chaque côté.

x=\frac{8}{3} ou x=-8

Comme on résous cette équation dans l’intervalle [0;8] seule la solution \frac{8}{3} convient.

Donc pour que l’aire du carré AMNP soit égale à l’aire du triangle MQB il faut que AM=\frac{8}{3}.

 

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.