2.Problème n°1

Développer une expression littérale, Fonctions, Lecture graphique de la courbe représentative d’une fonction, Niveau seconde, Résoudre des problèmes, Variations d’une fonction

$ABC$ est un triangle rectangle en $A$ tel que $AB = 3$ et $AC = 6$ .

$M$ est un point variable sur le segment $[AB]$

On construit le rectangle $AMNP$ tels que $N$ et $P$ se trouvent respectivement sur les segments $[BC]$ et $[AC]$ .

Où placer le point $M$ pour que l’aire du rectangle $AMNP$ soit la plus grande possible ?

Construction de la figure à l’aide du logiciel Géogébra

Résolution géométrique à l’aide du logiciel Géogébra

Résolution graphique à l’aide d’une courbe obtenue avec le logiciel Géogébra en ajustant un nuage de points

Résolution algébrique

On pose $x$ la distance $AM$ , le but du paragraphe 1 est d’exprimer l’aire de AMNP en fonction de $x$ .

a. Appliquer le théorème de THALES dans le triangle $ABC$ et en déduire la distance $MN$ en fonction de $x$ .

b. Montrer alors que l’aire de AMNP vaut $-2x^{2}+6x$

2) On note $f(x)=-2x^{2}+6x$ pour $x\in [0;3]$

a) Montrer que $f(x)=-2[(x-\frac{3}{2})^{2}-\frac{9}{4}]$

b) Etudier les variations de la fonction $f$ définie par $f(x)=-2[(x-\frac{3}{2})^{2}-\frac{9}{4}]$ pour $x\in [0;3]$

c) En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;3]$ . Puis répondre à la question posée.

Pour étudier les variations, par le calcul, on peut conjecturer le résultat graphiquement.

Il semble que la fonction $f$ soit croissante sur $[0;\frac{3}{2}]$ et décroissante sur $[\frac{3}{2};3]$ . Pour le montrer nous allons d’abord décomposer le calcul de $f(x)$ en utilisant les quatre opérations et les fonctions de référence comme ci-dessous.

Nous allons montrer que la fonction $f$ est croissante sur $[0;\frac{3}{2}]$ en montrant que deux nombres $x_{1}$ et $x_{2}$ et leurs images $f(x_{1})$ et $f(x_{2})$ varient dans le même sens.

0<x_{1}<x_{2}<\frac{3}{2}

On enlève $\frac{3}{2}$ de chaque côté comme c’est indiqué dans la décomposition de la séquence de calcul.

-\frac{3}{2}<x_{1}-\frac{3}{2}<x_{2}-\frac{3}{2}<0

On prend les carrés, comme ces nombres sont négatifs et que la fonction carré est décroissante pour les nombres négatifs, le sens de l’inégalité change.

(-\frac{3}{2})^{2}>(x_{1}-\frac{3}{2})^{2}>(x_{2}-\frac{3}{2})^{2}>0 \\\frac{9}{4}>(x_{1}-\frac{3}{2})^{2}>(x_{2}-\frac{3}{2})^{2}>0

On enlève $\frac{9}{4}$ de chaque côté comme c’est indiqué dans la décomposition de la séquence de calcul.

0>(x_{1}-\frac{3}{2})^{2}-\frac{9}{4}>(x_{2}-\frac{3}{2})^{2}-\frac{9}{4}>-\frac{9}{4}

On multiplie par $(-2)$ de chaque côté comme c’est indiqué dans la décomposition de la séquence de calcul. Comme on multiplie par un nombre négatif, le sens de l’inégalité change.

0<-2[(x_{1}-\frac{3}{2})^{2}-\frac{9}{4}]<-2[(x_{2}-\frac{3}{2})^{2}-\frac{9}{4}]<-2\times(-\frac{9}{4})

Ainsi $f(x_{1})<f(x_{2})$

Comme les nombres et les images varient dans le même sens, la fonction $f$ est croissante sur $[0;\frac{3}{2}]$

Nous allons montrer que la fonction $f$ est décroissante sur $[\frac{3}{2};3]$ en montrant que deux nombres $x_{1}$ et $x_{2}$ et leurs images $f(x_{1})$ et $f(x_{2})$ varient en sens contraire.

\frac{3}{2}<x_{1}<x_{2}<3

On enlève $\frac{3}{2}$ de chaque côté comme c’est indiqué dans la décomposition de la séquence de calcul.

0<x_{1}-\frac{3}{2}<x_{2}-\frac{3}{2}<3- \frac{3}{2}

Pour calculer $3- \frac{3}{2}$ il faut mettre au même dénominateur, ici 2.

0<x_{1}-\frac{3}{2}<x_{2}-\frac{3}{2}<3\times\frac{2}{2} – \frac{3}{2}\\0<x_{1}-\frac{3}{2}<x_{2}-\frac{3}{2}<\frac{6}{2} – \frac{3}{2}\\0<x_{1}-\frac{3}{2}<x_{2}-\frac{3}{2}< \frac{3}{2}

On prend les carrés, comme ces nombres sont positifs et que la fonction carré est croissante pour les nombres positifs, le sens de l’inégalité ne change pas.

0<(x_{1}-\frac{3}{2})^{2}<(x_{2}-\frac{3}{2})^{2}< (\frac{3}{2})^{2}\\0<(x_{1}-\frac{3}{2})^{2}<(x_{2}-\frac{3}{2})^{2}< \frac{9}{4}