Sommaire
Attention, cette partie ne concerne que le cas où \Delta est positif.
Propriété :
Si x_1 et x_2 sont les solutions de l’équation ax^2+bx+c=0 alors x_1+x_2=-\frac{b}{a} et {x_1}\times{x_2}=\frac{c}{a}.
Démonstration :
L’hypothèse est : x_1 et x_2 sont les solutions de l’équation ax^2+bx+c=0.
On peut écrire que :
ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)
ou a(x-x_1)(x-x_2)=ax^2+bx+c
On développe le membre de gauche :
a(x^2-x\times x_2-x_1\times x+x_1\times x_2)=ax^2+bx+c\\ax^2-ax\times x_2-ax_1\times x+ax_1\times x_2=ax^2+bx+c
On ordonne le polynôme à gauche suivant les puissances décroissantes:
ax^2+x(-ax_1-ax_2)+ax_1x_2=ax^2+bx+c
Les coefficients de x^2 sont égaux donc a=a.
Les coefficients de x sont égaux donc -ax_1-ax_2=bdonc -a(x_1+x_2)=b donc x_1+x_2=-\frac{b}{a}.
Les coefficients constants sont égaux donc ax_1x_2=c donc x_1x_2=\frac{c}{a} .
La vidéo ci-dessous présente les exemples n°1, n°2 et n°3 situés plus bas.
Exemple n°1
On veut résoudre x^2-4x+3=0.
Ici on a a=1, b=-4 et c=3.
On calcule -\frac{b}{a} en remplaçant a par 1 et b par (-4).
-\frac{b}{a}=-\frac{(-4)}{1}=4.
Donc la somme des racines vaut 4.
On calcule \frac{c}{a} en remplaçant a par 1 et c par 3.
\frac{c}{a}=\frac{3}{1}=3.
Donc le produit des racines vaut 3.
On trouve mentalement deux nombres dont la somme vaut 4 et dont le produit vaut 3, il s’agit de 3 et de 1.
Donc S=\{1;3\}.
Exemple n°2
On veut résoudre x^2+x-2=0.
Ici on a a=1, b=1 et c=-2.
On calcule -\frac{b}{a} en remplaçant a par 1 et b par 1.
-\frac{b}{a}=-\frac{1}{1}=-1.
Donc la somme des racines vaut -1.
On calcule \frac{c}{a} en remplaçant a par 1 et c par -2.
\frac{c}{a}=\frac{-2}{1}=-2.
Donc le produit des racines vaut -2.
On trouve mentalement deux nombres dont la somme vaut -1 et dont le produit vaut -2, il s’agit de -2 et de 1.
Donc S=\{-2;1\}.
Exemple n°3
Soit la fonction polynôme P(x)=-2x^2+5x+7.
Dans cet exemple, on cherche les racines de P sans calculer le discriminant.
1.Déterminer une racine évidente.
Lorsqu’on pose ce genre de question, on attend de l’élève qu’il trouve parmi les valeurs « évidentes » -3; -2; -1; 1; 2; 3, l’antécédent de zéro.
Je remplace x par (-1) dans -2x^2+5x+7\\-2\times(-1)^2+5\times(-1)+7=-2\times1-5+7\\\hspace{4.2cm}=-2-5+7\\\hspace{4.2cm}=0
Donc (-1) est racine évidente de la fonction polynôme P(x)=-2x^2+5x+7.
2. Sans calculer le discriminant, donner l’autre racine de P.
On détermine par le calcul la somme des racines et le produit des racines.
Ici on a a=-2, b=5 et c=7.
On calcule -\frac{b}{a} en remplaçant a par (-2) et b par 5.
-\frac{b}{a}=-\frac{5}{(-2)}=\frac{5}{2}.
Donc la somme des racines vaut \frac{5}{2}.
On calcule \frac{c}{a} en remplaçant a par (-2) et c par 7.
\frac{c}{a}=\frac{7}{(-2)}=-\frac{7}{2}.
Donc le produit des racines vaut -\frac{7}{2}.
L’un des nombres est -1 .On trouve mentalement l’autre nombre. Leur somme \frac{5}{2}et leur produit vaut -\frac{7}{2}, donc l’autre nombre est \frac{7}{2}.
Donc S=\{-1;\frac{7}{2}\}
Exercice n°1
Résoudre les équations suivantes sans utiliser le discriminant.
- x^2-7x+10=0.
2. x^2-5x+6=0.
3. 3x^2-3x-18=0.
4. 4x^2-16=0.
5. -2x^2+x=0.
6. x^2-\frac{3}{4}x+\frac{1}{8}=0.
Exercice n°2
Soit la fonction polynôme P(x)=3x^2+x-2.
Dans cet exercice, on cherche les racines de P sans calculer le discriminant.
- Déterminer une racine évidente.
2. Sans calculer le discrimant, donner l’autre racine de P.
Exercice n°3
Soit la fonction polynôme P(x)=2x^2+2x-24.
Dans cet exercice, on cherche les racines de P sans calculer le discriminant.
- Déterminer une racine évidente.
2. Sans calculer le discrimant, donner l’autre racine de P.
Exercice n°4
Soit la fonction polynôme P(x)=5x^2+5x-150.
Dans cet exercice, on cherche les racines de P sans calculer le discriminant.
- Montrer que -6 est une racine de P.
2. Sans calculer le discrimant, donner l’autre racine de P.
Exercice n°5
Soit la fonction polynôme P(x)=x^2+2x-80.
Dans cet exercice, on cherche les racines de P sans calculer le discriminant.
- Montrer que 8 est une racine de P.
2. Sans calculer le discrimant, donner l’autre racine de P.