1.Second degré et somme et produit des racines.

Sommaire

Attention, cette partie ne concerne que le cas où \Delta est positif. 

Propriété : 

Si x_1 et x_2 sont les solutions de l’équation ax^2+bx+c=0 alors x_1+x_2=-\frac{b}{a} et {x_1}\times{x_2}=\frac{c}{a}.

Démonstration :

L’hypothèse est : x_1 et x_2 sont les solutions de l’équation ax^2+bx+c=0.

On peut écrire que :

ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)

ou a(x-x_1)(x-x_2)=ax^2+bx+c

On développe le membre de gauche :

a(x^2-x\times x_2-x_1\times x+x_1\times x_2)=ax^2+bx+c\\ax^2-ax\times x_2-ax_1\times x+ax_1\times x_2=ax^2+bx+c

On ordonne le polynôme à gauche suivant les puissances décroissantes:

ax^2+x(-ax_1-ax_2)+ax_1x_2=ax^2+bx+c

Les coefficients de x^2 sont égaux donc a=a.

Les coefficients de x sont égaux donc -ax_1-ax_2=bdonc -a(x_1+x_2)=b donc x_1+x_2=-\frac{b}{a}.

Les coefficients constants sont égaux donc ax_1x_2=c donc x_1x_2=\frac{c}{a} .

La vidéo ci-dessous présente les exemples n°1, n°2 et n°3 situés plus bas.

Exemple n°1 

On veut résoudre x^2-4x+3=0.

Ici on a a=1, b=-4 et c=3.

On calcule -\frac{b}{a} en remplaçant a par 1 et b par (-4).

-\frac{b}{a}=-\frac{(-4)}{1}=4.

Donc la somme des racines vaut 4.

On calcule \frac{c}{a} en remplaçant a par 1 et c par 3.

\frac{c}{a}=\frac{3}{1}=3.

Donc le produit des racines vaut 3.

On trouve mentalement deux nombres dont la somme vaut 4 et dont le produit vaut 3, il s’agit de 3 et de 1.

Donc S=\{1;3\}.

Exemple n°2 

On veut résoudre x^2+x-2=0.

Ici on a a=1, b=1 et c=-2.

On calcule -\frac{b}{a} en remplaçant a par 1 et b par 1.

-\frac{b}{a}=-\frac{1}{1}=-1.

Donc la somme des racines vaut -1.

On calcule \frac{c}{a} en remplaçant a par 1 et c par -2.

\frac{c}{a}=\frac{-2}{1}=-2.

Donc le produit des racines vaut -2.

On trouve mentalement deux nombres dont la somme vaut -1 et dont le produit vaut -2, il s’agit de -2 et de 1.

Donc S=\{-2;1\}.

Exemple n°3

Soit la fonction polynôme  P(x)=-2x^2+5x+7

Dans cet exemple, on cherche les racines de P sans calculer le discriminant.

1.Déterminer une racine évidente.

Lorsqu’on pose ce genre de question, on attend de l’élève qu’il trouve parmi les valeurs « évidentes »  -3; -2; -1; 1; 2; 3, l’antécédent de zéro. 

Je remplace x par (-1) dans -2x^2+5x+7\\-2\times(-1)^2+5\times(-1)+7=-2\times1-5+7\\\hspace{4.2cm}=-2-5+7\\\hspace{4.2cm}=0

Donc (-1) est racine évidente de la fonction  polynôme P(x)=-2x^2+5x+7.

2. Sans calculer le discriminant, donner l’autre racine de P.

On détermine par le calcul la somme des racines et le produit des racines.

Ici on a a=-2, b=5 et c=7.

On calcule -\frac{b}{a} en remplaçant a par (-2) et b par 5.

-\frac{b}{a}=-\frac{5}{(-2)}=\frac{5}{2}.

Donc la somme des racines vaut \frac{5}{2}.

On calcule \frac{c}{a} en remplaçant a par (-2) et c par 7.

\frac{c}{a}=\frac{7}{(-2)}=-\frac{7}{2}.

Donc le produit des racines vaut -\frac{7}{2}.

L’un des nombres est -1 .On trouve mentalement l’autre nombre. Leur somme \frac{5}{2}et leur produit vaut -\frac{7}{2}, donc l’autre nombre est \frac{7}{2}.

Donc S=\{-1;\frac{7}{2}\}

Exercice n°1

Résoudre les équations suivantes sans utiliser le discriminant.

  1. x^2-7x+10=0.

2. x^2-5x+6=0.

3. 3x^2-3x-18=0.

4. 4x^2-16=0.

5. -2x^2+x=0.

6. x^2-\frac{3}{4}x+\frac{1}{8}=0.

Exercice n°2

Soit la fonction polynôme  P(x)=3x^2+x-2

Dans cet exercice, on cherche les racines de P sans calculer le discriminant.

  1. Déterminer une racine évidente.

2. Sans calculer le discrimant, donner l’autre racine de P.

Exercice n°3

Soit la fonction polynôme  P(x)=2x^2+2x-24

Dans cet exercice, on cherche les racines de P sans calculer le discriminant.

  1. Déterminer une racine évidente.

2. Sans calculer le discrimant, donner l’autre racine de P.

Exercice n°4

Soit la fonction polynôme  P(x)=5x^2+5x-150

Dans cet exercice, on cherche les racines de P sans calculer le discriminant.

  1. Montrer que -6 est une racine de P.

2. Sans calculer le discrimant, donner l’autre racine de P.

Exercice n°5

Soit la fonction polynôme  P(x)=x^2+2x-80

Dans cet exercice, on cherche les racines de P sans calculer le discriminant.

  1. Montrer que 8 est une racine de P.

2. Sans calculer le discrimant, donner l’autre racine de P.

On veut résoudre x^2-7x+10=0.

Ici on a a=1, b=-7 et c=10.

On calcule -\frac{b}{a} en remplaçant a par 1 et b par -7.

-\frac{b}{a}=-\frac{(-7)}{1}=7.

On calcule \frac{c}{a} en remplaçant a par 1 et c par 10.

\frac{c}{a}=\frac{10}{1}=10.

On trouve mentalement deux nombres dont la somme vaut 7 et dont le produit vaut 10, il s’agit de 2 et de 5.

On veut résoudre x^2-5x+6=0.

Ici on a a=1, b=-5 et c=6.

On calcule -\frac{b}{a} en remplaçant a par 1 et b par -5.

-\frac{b}{a}=-\frac{(-5)}{1}=5.

On calcule \frac{c}{a} en remplaçant a par 1 et c par 6.

\frac{c}{a}=\frac{6}{1}=6.

On trouve mentalement deux nombres dont la somme vaut 5 et dont le produit vaut 6, il s’agit de 2 et de 3.

On veut résoudre 3x^2-3x-18=0.

Ici on a a=3, b=-3 et c=-18.

On calcule -\frac{b}{a} en remplaçant a par 3 et b par -3.

-\frac{b}{a}=-\frac{(-3)}{3}=1.

On calcule \frac{c}{a} en remplaçant a par 3 et c par -18.

\frac{c}{a}=\frac{-18}{3}=-6.

On trouve mentalement deux nombres dont la somme vaut 1et dont le produit vaut -6, il s’agit de -2 et de 3.

On veut résoudre 4x^2-16=0.

Ici on a a=4, b=0 et c=-16.

On calcule -\frac{b}{a} en remplaçant a par 4 et b par 0.

-\frac{b}{a}=-\frac{0}{4}=0.

On calcule \frac{c}{a} en remplaçant a par 4 et c par (-16).

\frac{c}{a}=\frac{(-16)}{4}=-4.

On trouve mentalement deux nombres dont la somme vaut 0 et dont le produit vaut -4, il s’agit de -2 et de 2.

On veut résoudre -2x^2+x=0.

Ici on a a=-2, b=1 et c=0.

On calcule -\frac{b}{a} en remplaçant a par -2 et b par 1.

-\frac{b}{a}=-\frac{1}{(-2)}=\frac{1}{2}.

On calcule \frac{c}{a} en remplaçant a par (-2) et c par 0.

\frac{c}{a}=\frac{0}{(-2)}=0.

On trouve mentalement deux nombres dont la somme vaut \frac{1}{2} et dont le produit vaut 0, il s’agit de 0 et de \frac{1}{2}.

On veut résoudre x^2-\frac{3}{4}x+\frac{1}{8}=0.

Ici on a a=1, b=-\frac{3}{4} et c=\frac{1}{8}.

On calcule -\frac{b}{a} en remplaçant a par 1 et b par -\frac{3}{4}.

-\frac{b}{a}=-\frac{(-\frac{3}{4})}{1}=\frac{3}{4}.

On calcule \frac{c}{a} en remplaçant a par 1 et c par \frac{1}{8}.

\frac{c}{a}=\frac{\frac{1}{8}}{1}=\frac{1}{8}.

On trouve mentalement deux nombres dont la somme vaut \frac{3}{4} et dont le produit vaut \frac{1}{8}, il s’agit de \frac{1}{4} et de \frac{1}{2}.

Déterminer une racine évidente.

Lorsqu’on pose ce genre de question, on attend de l’élève qu’il teste l’égalité avec les valeurs « évidentes »  -3; -2; -1; 1; 2; 3. Lorsqu’on trouve zéro, c’est que l’on a remplaçé x par la racine évidente. 

Mentalement ou à l’aide de la calculatrice j’ai trouvé -1 comme racine évidente. Je justifie ma réponse par le calcul suivant.

Je remplace x par (-1) dans 3x^2+x-2 et je calcule.

3\times(-1)^2+(-1)-2=3\times1-1-2\\\hspace{3.3cm}=3-1-2\\\hspace{3.3cm}=0

Donc (-1) est racine évidente de la fonction  polynôme P(x)=3x^2+x-2.

Sans calculer le discriminant, donner l’autre racine de P.

On calcule la somme des racines et le produit des racines.

Ici on a a=3, b=1 et c=-2.

On calcule -\frac{b}{a} en remplaçant a par 3 et b par 1.

-\frac{b}{a}=-\frac{1}{3}.

On calcule \frac{c}{a} en remplaçant a par 3 et c par (-2).

\frac{c}{a}=\frac{(-2)}{3}.

L’un des nombres est -1 .On trouve mentalement l’autre nombre. Leur somme -\frac{1}{3}et leur produit vaut -\frac{2}{3}, donc l’autre nombre est \frac{2}{3}.

Déterminer une racine évidente.

Lorsqu’on pose ce genre de question, on attend de l’élève qu’il teste l’égalité avec les valeurs « évidentes »  -3; -2; -1; 1; 2; 3. Lorsqu’on trouve zéro, c’est que l’on a remplaçé x par la racine évidente.

Mentalement ou à l’aide de la calculatrice, j’ai trouvé 3 comme racine évidente, je justifie ma réponse par le calcul suivant. 

Je remplace x par 3 dans 2x^2+2x-24

2\times3^2+2\times3-24=2\times9+6-24\\\hspace{3.3cm}=18+6-24\\\hspace{3.3cm}=0

Donc 3 est racine évidente de la fonction  polynôme P(x)=2x^2+2x-24.

Sans calculer le discriminant, donner l’autre racine de P.

On calcule la somme des racines et le produit des racines.

Ici on a a=2, b=2 et c=-24.

On calcule -\frac{b}{a} en remplaçant a par 2 et b par 2.

-\frac{b}{a}=-\frac{2}{2}=-1.

On calcule \frac{c}{a} en remplaçant a par 2 et c par (-24).

\frac{c}{a}=\frac{(-24)}{2}=-12.

L’un des nombres est 3 .On trouve mentalement l’autre nombre. Leur somme -1 et leur produit vaut -12, donc l’autre nombre est -4.

Pour montrer que -6 est racine de P(x), il faut calculer P(-6) et obtenir 0 comme résultat.

Je remplace  x par (-6) dans 5x^2+5x-150.

5\times(-6)^2+5\times(-6)-150=5\times36-30-150\\\hspace{4.3cm}=180-30-150\\\hspace{4.3cm}=0

Donc (-6) est racine  de la fonction  polynôme P(x)=5x^2+5x-150.

Sans calculer le discriminant, donner l’autre racine de P.

On calcule la somme des racines et le produit des racines.

Ici on a a=5, b=5 et c=-150.

On calcule -\frac{b}{a} en remplaçant a par 5 et b par 5.

-\frac{b}{a}=-\frac{5}{5}=-1.

On calcule \frac{c}{a} en remplaçant a par 5 et c par (-150).

\frac{c}{a}=\frac{(-150)}{5}=-30.

L’un des nombres est -6 .On trouve mentalement l’autre nombre. Leur somme -1 et leur produit vaut -30, donc l’autre nombre est 5.

Pour montrer que 8 est racine de P(x), il faut calculer P(8) et obtenir 0 comme résultat.

Je remplace  x par 8 dans x^2+2x-80.

8^2+2\times8-80=64+16-80\\\hspace{4.3cm}=0

Donc 8 est racine  de la fonction  polynôme P(x)=x^2+2x-80.

Sans calculer le discriminant, donner l’autre racine de P.

On calcule la somme des racines et le produit des racines.

Ici on a a=1, b=2 et c=-80.

On calcule -\frac{b}{a} en remplaçant a par 1 et b par 2.

-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2.

On calcule \frac{c}{a} en remplaçant a par 1 et c par (-80).

\frac{c}{a}=\frac{(-80)}{1}=-80.

L’un des nombres est 8 .On trouve mentalement l’autre nombre. Leur somme -2 et leur produit vaut -80, donc l’autre nombre est -10.

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.