1.Factoriser un polynôme du second degré.

Théorème :

Soit les réels $a,b,c$ avec $a\ne o$ , pour factoriser le polynôme $ax²+bx+c$ ,

on calcule $\Delta=b²-4ac$

si $\Delta<0$ , le polynôme ne peut pas âtre factorisé.

si $\Delta=0$ , l’équation admet une solution réelle notée $x_0=-\frac{b}{2a}$ et le polynôme se factorise ainsi :

$ax^2+bx+c=a(x-x_0)^2$

si $\Delta>0$ , l’équation admet deux solutions réelles notées

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$

et le polynôme se factorise ainsi

ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)

Exemple n°1

Factoriser le polynôme suivant $x^2+4x+4$

Factoriser $x^2+4x+4$ si c’est possible.

1.Calcul de $\Delta=b²-4ac$

J’identifie les coefficients l’équation $a=1$ , $b=4$ et $c=4$ .

Je calcule $\Delta=b²-4ac$ en remplaçant $a,b,c$ par $1, 4, 4$ .

\Delta=4²-4\times{1}\times{4}\\\Delta=16-16\\\Delta=0

2.J’applique le théorème :

comme $\Delta=0$ , l’équation admet une solution réelle notée $x_0=-\frac{b}{2a}$ et le polynôme se factorise ainsi :

$ax^2+bx+c=a(x-x_0)^2$

Je calcule $x_0=-\frac{b}{2a}$ en remplaçant $a,b$ par $1, 4$ .

x_0=-\frac{4}{2\times1}\\x_0=-\frac{4}{2}\\x_0=-2

Je factorise en remplaçant $a,x_0$ par $1, (-2)$

x^2+4x+4=1\times{(x-(-2))^2}\\x^2+4x+4=(x+2)^2

3. Vérification à l’aide de l’application Calcul Formel de Géogébra.

Exemple n°2

Factoriser le polynôme suivant $3x^2-3x-6$

Factoriser $3x^2-3x-6$ si c’est possible.

1.Calcul de $\Delta=b²-4ac$

J’identifie les coefficients $a=3$ , $b=-3$ et $c=-6$ .

Je calcule $\Delta=b²-4ac$ en remplaçant $a,b,c$ par $3, (-3), (-6)$ .

\Delta=(-3)²-4\times{3}\times{(-6)}\\\Delta=9+72\\\Delta=81

2.J’applique le théorème :

comme $\Delta>0$ , l’équation admet deux solutions réelles notées

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$

et le polynôme se factorise ainsi

$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$

Je calcule $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ en remplaçant $a,b,\Delta$ par $3, (-3) , 81$ .

x_1=\frac{-(-3)-\sqrt{81}}{2\times{3}}\\x_1=\frac{3-9}{6}\\x_1=\frac{-6}{6}\\x_1=-1

Je calcule $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ en remplaçant $a,b,\Delta$ par $3, (-3) , 81$ .

x_2=\frac{-(-3)+\sqrt{81}}{2\times{3}}\\x_2=\frac{3+9}{6}\\x_2=\frac{12}{6}\\x_2=2

Je conclus :

3x^2-3x-6=3(x-(-1))(x-2)\\3x^2-3x-6=3(x+1)(x-2)

3. Vérification à l’aide de l’application Calcul Formel de Géogébra.

Exemple n°3

Factoriser le polynôme suivant $x^2+3x+4$

Factoriser $x^2+3x+4$ si c’est possible.

1.Calcul de $\Delta=b²-4ac$

J’identifie les coefficients l’équation $a=1$ , $b=3$ et $c=4$ .

Je calcule $\Delta=b²-4ac$ en remplaçant $a,b,c$ par $1,3,4$ .

\Delta=3²-4\times{1}\times{4}\\\Delta=9-16\\\Delta=-7

2.J’applique le théorème :

comme $\Delta<0$ , le polynôme ne peut pas être factorisé.

3. Vérifications éventuelles à l’aide de l’application Calcul Formel de Géogébra.

Sommaire

Théorème :

Exemple n°1

Exemple n°2

Exemple n°3