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1.Factoriser un polynôme du second degré. Exercices.

Pour vous aider à faire l’exercice, voici les trois vidéos du cours que vous pourrez visionner le cas échéant.

\hspace{0.3cm}\Delta =0

\hspace{0.3cm}\Delta >0

\hspace{0.3cm}\Delta <0

VIDEO 1
VIDEO 2
VIDEO 3

Exercice  :

En utilisant le théorème du cours factoriser les polynômes suivants quand c’est possible:

  1. P(x)=-\frac{1}{2}x^2+6x+14
correction

2. P(x)=9+6x+x^2

correction

3. P(x)=x^2+\sqrt{2}x+2

correction

4. P(x)=-2x^2+6x-2

correction

5. P(x)=x^2-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}

correction

6. P(x)=x^2-3x-4

correction

Pour valider votre réponse, utiliser la page Calcul Formel de Géogébra ci-dessous. Attention dans le cas où les racines du polynôme comportent des racines carrées Géogébra ne peut pas donner la forme factorisée du polynôme.

©2020 – Math’O karé SAS

Pour factoriser -\frac{1}{2}x^2+6x+14 si c’est possible.

1.Calcul de \Delta=b²-4ac

J’identifie les coefficients l’équation a=-\frac{1}{2}, b=6 et c=14.

Je calcule \Delta=b²-4ac  en remplaçant a,b,c  par -\frac{1}{2}, 6, 14  .

\Delta=6²-4\times{-\frac{1}{2}}\times{14}

Avant d’effectuer le produit, on simplifie par 2. 

\Delta=36-2\times{-\frac{1}{1}}\times{14}\\\Delta=36+28\\\Delta=64

2.J’applique le théorème :

comme \Delta>0 , l’équation admet deux solutions réelles notées

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}

et le polynôme se factorise ainsi

ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)

Je calcule x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par (-\frac{1}{2}), 6  , 64.

x_1=\frac{-6-\sqrt{64}}{2\times{-\frac{1}{2}}}

x_1=\frac{-6-8}{-1}\\x_1=\frac{-14}{-1}\\x_1=14

Je calcule x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par (-\frac{1}{2}), 6  , 64.

x_2=\frac{-6+\sqrt{64}}{2\times{(-\frac{1}{2})}}

x_2=\frac{-6+8}{-1}\\x_2=\frac{2}{-1}\\x_2=-2

Je conclus :

-\frac{1}{2}x^2+6x+14=-\frac{1}{2}(x-14)(x-(-2))\\-\frac{1}{2}x^2+6x+14=-\frac{1}{2}(x-14)(x+2)

 

 

Pour factoriser P(x)=9+6x+x^2 si c’est possible, il faut d’abord ordonner le polynôme : P(x)=x^2+6x+9

1.Calcul de \Delta=b²-4ac

J’identifie les coefficients l’équation a=1, b=6 et c=9.

Je calcule \Delta=b²-4ac  en remplaçant a,b,c  par 1, 6, 9  .

\Delta=6²-4\times{1}\times{9}\\\Delta=36-36\\\Delta=0

2.J’applique le théorème :

comme  \Delta=0 , l’équation admet une solution réelle notée x_0=-\frac{b}{2a} et le polynôme se factorise ainsi :

ax^2+bx+c=a(x-x_0)^2

Je calcule x_0=-\frac{b}{2a} en remplaçant a,b  par 1, 6.

x_0=-\frac{6}{2\times1}\\x_0=-3

Je factorise en remplaçant a,x_0  par 1, (-3)

x^2+6x+9=1\times{(x-(-3))^2}\\x^2+6x+9=(x+3)^2

 

Pour factoriser P(x)=x^2+\sqrt{2}x+2 si c’est possible.

1.Calcul de \Delta=b²-4ac

J’identifie les coefficients l’équation a=1, b=\sqrt{2} et c=2.

Je calcule \Delta=b²-4ac  en remplaçant a,b,c  par 1,\sqrt{2},2.

\Delta=\sqrt{2}²-4\times{1}\times{2} 

\Delta=2-8

 

\Delta=-6

2.J’applique le théorème :

comme \Delta<0 , le polynôme ne peut pas être factorisé.

Pour factoriser P(x)=-2x^2+6x-2 si c’est possible.

1.Calcul de \Delta=b²-4ac

J’identifie les coefficients l’équation a=-2, b=6 et c=-2.

Je calcule \Delta=b²-4ac  en remplaçant a,b,c  par (-2), 6, (-2)  .

\Delta=6²-4\times{(-2)}\times{(-2)}\\\Delta=36-16\\\Delta=20

2.J’applique le théorème :

comme \Delta>0 , l’équation admet deux solutions réelles notées

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}

et le polynôme se factorise ainsi

ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)

Je calcule x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par (-2), 6  , 20.

x_1=\frac{-6-\sqrt{20}}{2\times{(-2)}}

Comme 20=4\times5 on a \sqrt{20}={\sqrt{4}}\times{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}

x_1=\frac{-6-2\sqrt{5}}{2\times{(-2)}}

On simplifie par 2. On n’hésite pas à mettre 2 en facteur au numérateur.

x_1=\frac{2(-3-\sqrt{5})}{2\times{(-2)}}\\x_1=\frac{-3-\sqrt{5}}{-2}\\x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2}

Je calcule x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par (-2), 6  , 20.

x_2=\frac{-6+\sqrt{20}}{2\times{(-2)}}

Comme 20=4\times5 on a \sqrt{20}={\sqrt{4}}\times{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}

x_2=\frac{-6+2\sqrt{5}}{2\times{(-2)}}

On simplifie par 2. On n’hésite pas à mettre 2 en facteur au numérateur.

x_2=\frac{2(-3+\sqrt{5})}{2\times{(-2)}}\\x_2=\frac{-3+\sqrt{5}}{-2}\\x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}

Je conclus :

-2x^2+6x-2=-2(x-\frac{3+\sqrt{5}}{2})(x-\frac{3-\sqrt{5}}{2})

 

 

 

Pour factoriser P(x)=x^2-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25} si c’est possible.

1.Calcul de \Delta=b²-4ac

J’identifie les coefficients l’équation a=1, b=-\frac{2}{5} et c=\frac{1}{25}.

Je calcule \Delta=b²-4ac  en remplaçant a,b,c  par 1, (-\frac{2}{5}), \frac{1}{25}  .

\Delta=(-\frac{2}{5})²-4\times{1}\times{\frac{1}{25}}\\\Delta=\frac{4}{25}-\frac{4}{25}\\\Delta=0

2.J’applique le théorème :

comme  \Delta=0 , l’équation admet une solution réelle notée x_0=-\frac{b}{2a} et le polynôme se factorise ainsi :

ax^2+bx+c=a(x-x_0)^2

Je calcule x_0=-\frac{b}{2a} en remplaçant a,b  par 1, -\frac{2}{5}.

x_0=-\frac{-\frac{2}{5}}{2\times1}\\x_0=-\frac{(-\frac{2}{5})}{2}

Diviser par 2 revient à multiplier par son inverse \frac{1}{2}

x_0={\frac{2}{5}}\times{\frac{1}{2}}

On simplifie par 2.

x_0=\frac{1}{5}

Je factorise en remplaçant a,x_0  par 1, \frac{1}{5}

x^2-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=1\times{(x-\frac{1}{5})^2}

x^2-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=(x-\frac{1}{5})^2

 

 

Pour factoriser P(x)=x^2-3x-4 si c’est possible.

1.Calcul de \Delta=b²-4ac

J’identifie les coefficients l’équation a=1, b=-3 et c=-4.

Je calcule \Delta=b²-4ac  en remplaçant a,b,c  par 1, (-3), (-4)  .

\Delta=(-3)²-4\times{1}\times{(-4)}\\\Delta=9+16\\\Delta=25

2.J’applique le théorème :

comme \Delta>0 , l’équation admet deux solutions réelles notées

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}

et le polynôme se factorise ainsi

ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)

Je calcule x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par 1, (-3)  , 25.

x_1=\frac{-(-3)-\sqrt{25}}{2\times{1}}

x_1=\frac{3-5}{2}\\x_1=\frac{-2}{2}\\x_1=-1

Je calcule x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par 1, (-3)  , 25.

x_2=\frac{-(-3)+\sqrt{25}}{2\times1}

x_2=\frac{3+5}{2}\\x_2=\frac{8}{2}\\x_2=4

Je conclus :

x^2-3x-4=1\times{(x-(-1))(x-4)}\\x^2-3x-4=(x+1)(x-4)

 

 

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.