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1. Second degré et forme canonique.

Théorème :

Toute fonction polynôme du second degré f(x)=ax^2+bx+c avec a\neq 0  .

peut s’écrire  f(x)=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a} .

Cette forme est appelée forme canonique.

Démonstration :

Mieux vaut partir du membre de droite pour parvenir au membre de gauche. En effet, il ne s’agira que de développer. On part donc de a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a}.

D’après la priorité des opérations, on calcule d’abord ce qu’il y a entre parenthèses. Et dans la parenthèse on calcule en priorité la puissance. Ici on va développer (x+\frac{b}{2a})^2 en utilisant l’identité remarquable (A+B)^2=A^2+2AB+B^2 .

On pose A=x donc A^2=x^2

On pose B=\frac{b}{2a} donc B^2=(\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2}{4a^2}

Je calcule 2AB=2\times x\times{\frac{b}{2a}}=\frac{bx}{a}\\a[(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a}]=a(x^2+\frac{bx}{a}+\frac{b^2}{4a^2})-\frac{b^2-4ac}{4a}

Ensuite on développe en utilisant la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition

\hspace{3cm}={a}\times{x^2}+{a}\times{\frac{bx}{a}}+{a}\times{\frac{b^2}{4a^2}}-\frac{b^2-4ac}{4a}

Avant d’effectuer les produits, on simplifie.

\hspace{3cm}={a}\times{x^2}+bx+\frac{b^2}{4a}-\frac{b^2-4ac}{4a}

On réduit la somme 

\hspace{3cm}=ax^2+bx+\frac{b^2-b^2+4ac}{4a}\\\hspace{3cm}=ax^2+bx+\frac{4ac}{4a}

On simplifie par 4a.

\hspace{3cm}=ax^2+bx+c

Exercice :

Déterminer la forme canonique dans chaque cas.

  1. 2x^2-4x+6
correction 1
correction 2

2. x^2+6x+1

correction 1
correction 2

3. 2x^2-10x

correction 1
correction 2

4. -3x^2+12x-1

correction 1
correction 2

5. x^2+x

correction 1
correction 2

6. 4x^2+8x+4

correction 1
correction 2

©2020 – Math’O karé SAS

Pour mettre 2x^2-4x+6 sous forme canonique, je mets en facteur 2 (c’est le coefficient de x^2) pour les deux premiers termes de la somme c’est-à-dire pour 2x^2-4x.

J’écris :

2x^2= 2 \times x^2

4x= 2 \times 2x

Puis je factorise ainsi :

2x^2-4x+6=2(x^2-2x)+6

Méthode n°1 :

x^2-2x est le début du développement de l’identité remarquable (A-B)^2=A^2-2AB+B^2 avec :

A^2=x^2 donc A=x

2AB=2x donc B=\frac{2x}{2A}=\frac{2x}{2x}=1.

En remplaçant A et B par x et 1, on obtient :

(x-1)^2=x^2-2x+1

ou x^2-2x+1=(x-1)^2 

Donc x^2-2x=(x-1)^2-1

Méthode n°2 :

Par formule, l’aire du carré de côté x vaut x^2 .

Par découpage, l’aire du carré de côté x vaut l’aire du carré blanc (x-1)^2 plus les aires des deux rectangles de dimensions x et 1 moins l’aire du petit carré colorié deux fois (que l’on a compté deux fois).

Donc x^2=(x-1)^2+2x-1

ou x^2-2x=(x-1)^2-1

Ce qu’il faut écrire sur la copie:

2x^2-4x+6=2(x^2-2x)+6

Je remplace x^2-2x par (x-1)^2-1

2x^2-4x+6=2[(x-1)^2-1]+6

On développe le produit en utilisant la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition.

\hspace{2cm}=2(x-1)^2-2\times1+6\\\hspace{2cm}=2(x-1)^2-2+6

On réduit.

\hspace{2cm}=2(x-1)^2+4

 

 

Pour mettre 2x^2-4x+6 sous forme canonique, on identifie les coefficients a=2 , b=-4 et c=6 puis on remplace a, b, c par 2, (-4), 6 dans :

ax^2+bx+c=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a}

2x^2-4x+6=2(x+\frac{(-4)}{2\times2})^2-\frac{(-4)^2-4\times 2\times6}{4\times2}

\hspace{2cm}=2(x+\frac{(-4)}{4})^2-\frac{16-48}{8}

\hspace{2cm}=2(x-1)^2-\frac{-32}{8}

\hspace{2cm}=2(x-1)^2+4

 

 

Pour mettre x^2+6x+1 sous forme canonique, comme le coefficient de x^2vaut 1, il n’est pas nécessaire de le mettre en facteur. 

Méthode n°1 :

x^2+6x est le début du développement de l’identité remarquable (A+B)^2=A^2+2AB+B^2 avec :

A^2=x^2 donc A=x

2AB=6x donc B=\frac{6x}{2A}=\frac{6x}{2x}=3.

En remplaçant A et B par x et 3, on obtient :

(x+3)^2=x^2+6x+9

ou x^2+6x+9=(x+3)^2 

Donc x^2+6x=(x+3)^2-9

Méthode n°2 :

x^2+6x est la somme de l’aire d’un carré et de deux rectangles de dimensions identiques comme ci-dessous :

Le côté du carré vaut x et les dimensions des rectangles sont x et 3.

Le côté du grand carré vaut x+3.

Donc l’aire de départ s’obtient en calculant l’aire du grand carré puis en retranchant l’aire du petit carré de côté 3. C’est-à-dire (x+3)^2-3^2 ou plus simplement (x+3)^2-9.

Donc x^2+6x=(x+3)^2-9

Voilà ce qu’il faut écrire sur la copie :

x^2+6x=(x+3)^2-9\\x^2+6x+1=(x+3)^2-9+1

On réduit.

\hspace{2cm}=(x+3)^2-8

 

 

Pour mettre x^2+6x+1 sous forme canonique, on identifie les coefficients a=1 , b=6 et c=1 puis on remplace a, b, c par 1, 6, 1 dans :

ax^2+bx+c=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a}

x^2+6x+1=1(x+\frac{6}{2\times1})^2-\frac{6^2-4\times 1\times1}{4\times1}

\hspace{2cm}=1(x+\frac{6}{2})^2-\frac{36-4}{4}

\hspace{2cm}=1(x+3)^2-\frac{32}{4}

\hspace{2cm}=(x+3)^2-8

 

Pour mettre 2x^2-10x sous forme canonique, je mets en facteur 2 (c’est le coefficient de x^2) pour les deux premiers termes de la somme c’est-à-dire pour 2x^2-10x.

J’écris :

2x^2= 2 \times x^2

10x= 2 \times 5x

Puis je factorise ainsi :

2x^2-10x=2(x^2-5x)

 

Méthode n°1 :

x^2-5x est le début du développement de l’identité remarquable (A-B)^2=A^2-2AB+B^2 avec :

A^2=x^2 donc A=x

2AB=5x donc B=\frac{5x}{2A}=\frac{5x}{2x}=\frac{5}{2}.

En remplaçant A et B par x et \frac{5}{2}, on obtient :

(x-\frac{5}{2})^2=x^2-5x+\frac{25}{4}

ou x^2-5x+\frac{25}{4}=(x-\frac{5}{2})^2 

Donc x^2-5x=(x-\frac{5}{2})^2-\frac{25}{4} 

Méthode n°2 :

Par formule, l’aire du carré de côté x vaut x^2 .

Par découpage, l’aire du carré de côté x vaut l’aire du carré blanc (x-\frac{5}{2})^2 plus les aires des deux rectangles de dimensions x et \frac{5}{2} moins l’aire du petit carré colorié deux fois (que l’on a compté deux fois).

Donc x^2=(x-\frac{5}{2})^2+5x-\frac{25}{4}

ou x^2-5x=(x-\frac{5}{2})^2-\frac{25}{4}

Voilà ce qu’il faut écrire sur la copie :

2x^2-10x=2(x^2-5x)

On remplace x^2-5x par (x-\frac{5}{2})^2-\frac{25}{4}

2x^2-10x=2[(x-\frac{5}{2})^2-\frac{25}{4}]

On développe le produit en utilisant la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition.

\hspace {1.6cm}=2(x-\frac{5}{2})^2-2\times{\frac{25}{4}}

Avant d’effectuer le produit, on simplifie par 2. 

\hspace {1.6cm}=2(x-\frac{5}{2})^2-1\times{\frac{25}{2}}\\\hspace {1.6cm}=2(x-\frac{5}{2})^2-\frac{25}{2}

 

 

 

Pour mettre 2x^2-10x sous forme canonique, on identifie les coefficients a=2 , b=-10 et c=0 puis on remplace a, b, c par 2, (-10), 0 dans :

ax^2+bx+c=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a}

2x^2-10x=2(x+\frac{(-10)}{2\times2})^2-\frac{(-10)^2-4\times 2\times0}{4\times2}

\hspace{1.6cm}=2(x+\frac{(-10)}{4})^2-\frac{100}{8}

\hspace{1.6cm}=2(x-\frac{5}{2})^2-\frac{25}{2}

 

Pour mettre -3x^2+12x-1 sous forme canonique, je mets en facteur -3 (c’est le coefficient de x^2) pour les deux premiers termes de la somme c’est-à-dire pour -3x^2+12x.

J’écris :

-3x^2= (-3) \times x^2

12x= (-3) \times (-4x)

Puis je factorise ainsi :

-3x^2+12x-1=-3(x^2-4x)-1

Méthode n°1 :

x^2-4x est le début du développement de l’identité remarquable (A-B)^2=A^2-2AB+B^2 avec :

A^2=x^2 donc A=x

2AB=4x donc B=\frac{4x}{2A}=\frac{4x}{2x}=2.

En remplaçant A et B par x et 2, on obtient :

(x-2)^2=x^2-4x+4

ou x^2-4x+4=(x-2)^2 

Donc x^2-4x=(x-2)^2-4

Méthode n°2 :

Par formule, l’aire du carré de côté x vaut x^2 .

Par découpage, l’aire du carré de côté x vaut l’aire du carré blanc (x-2)^2 plus les aires des deux rectangles de dimensions x et 2 moins l’aire du petit carré colorié deux fois (que l’on a compté deux fois).

Donc x^2=(x-2)^2+4x-4

ou x^2-2x=(x-2)^2-4

-3x^2+12x-1=-3(x^2-4x)-1

Comme x^2-4x=(x-2)^2-4, je remplace x^2-4x par (x-2)^2-4.

-3x^2+12x-1=-3[(x-2)^2-4]-1

On développe le produit en utilisant la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition.

\hspace{2.5cm}=-3(x-2)^2-(-3)\times {4}+-1\\\hspace{2.5cm}=-3(x-2)^2+12-1

On réduit.

\hspace{2.5cm}=-3(x-2)^2+11

 

 

Pour mettre -3x^2+12x-1 sous forme canonique, on identifie les coefficients a=-3 , b=12 et c=-1 puis on remplace a, b, c par (-3), 12, (-1) dans :

ax^2+bx+c=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a}

-3x^2+12x-1=-3(x+\frac{12}{2\times(-3)})^2-\frac{12^2-4\times (-3)\times(-1)}{4\times(-3)}

\hspace{2cm}=-3(x+\frac{12}{(-6)})^2-\frac{144-12}{(-12)}

\hspace{2cm}=-3(x-2)^2-\frac{132}{(-12)}

\hspace{2cm}=-3(x-2)^2+11

Pour mettre x^2+x sous forme canonique,  le coefficient de x^2 est 1, je ne le mets pas en facteur. 

Méthode n°1 :

x^2+x est le début du développement de l’identité remarquable (A+B)^2=A^2+2AB+B^2 avec :

A^2=x^2 donc A=x

2AB=x donc B=\frac{x}{2A}=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}.

En remplaçant A et B par x et \frac{1}{2}, on obtient :

(x+\frac{1}{2})^2=x^2+x+\frac{1}{4}

ou x^2+x+\frac{1}{4}=(x+\frac{1}{2})^2 

Donc x^2+x=(x+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4} 

Méthode n°2 :

x^2+x est la somme de l’aire d’un carré et de deux rectangles de dimensions identiques comme ci-dessous :

Le côté du carré vaut x et les dimensions des rectangles sont x et \frac{1}{2}.

Le côté du grand carré vaut x+\frac{1}{2}.

Donc l’aire de départ s’obtient en calculant l’aire du grand carré puis en retranchant l’aire du petit carré de côté \frac{1}{2}. C’est-à-dire (x+\frac{1}{2})^2-(\frac{1}{2})^2 ou plus simplement (x+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}.

Donc x^2+x=(x+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4} 

Voilà ce qu’il faut écrire sur la copie :

x^2+x=(x+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}

 

 

Pour mettre x^2+x sous forme canonique, on identifie les coefficients a=1 , b=1 et c=0 puis on remplace a, b, c par 1, 1, 0 dans :

ax^2+bx+c=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a}

x^2+x=1(x+\frac{1}{2\times1})^2-\frac{1^2-4\times 1\times0}{4\times1}

\hspace{1.1cm}=(x+\frac{1}{2})^2-\frac{1-0}{4}

\hspace{1.1cm}=(x+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}

Pour mettre 4x^2+8x+4 sous forme canonique, je mets en facteur 4 (c’est le coefficient de x^2) pour les deux premiers termes de la somme c’est-à-dire pour 4x^2+4x.

J’écris :

4x^2= 4 \times x^2

8x= 4 \times 2x

Puis je factorise ainsi :

4x^2+8x+4=4(x^2+2x)+4

Méthode n°1 :

x^2+2x est le début du développement de l’identité remarquable (A+B)^2=A^2+2AB+B^2 avec :

A^2=x^2 donc A=x

2AB=2x donc B=\frac{2x}{2A}=\frac{2x}{2x}=1.

En remplaçant A et B par x et 1, on obtient :

(x+1)^2=x^2+2x+1

ou x^2+2x+1=(x+1)^2 

Donc x^2+2x=(x+1)^2-1

Méthode n°2 :

x^2+2x est la somme de l’aire d’un carré et de deux rectangles de dimensions identiques comme ci-dessous :

Le côté du carré vaut x et les dimensions des rectangles sont x et 1.

Le côté du grand carré vaut x+1.

Donc l’aire de départ s’obtient en calculant l’aire du grand carré puis en retranchant l’aire du petit carré de côté 1. C’est-à-dire (x+1)^2-1^2 ou plus simplement (x+1)^2-1.

Donc x^2+2x=(x+1)^2-1

Voilà ce qu’il faut écrire sur la copie :

4x^2+8x+4=4(x^2+2x)+4

Or x^2+2x=(x+1)^2-1

Donc 

On remplace  x^2+2x par   (x+1)^2-1

4x^2+8x+4=4[(x+1)^2-1]+4

On développe le produit en utilisant la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition.

\hspace{2cm}=4(x+1)^2-4\times1+4\\\hspace{2cm}=4(x+1)^2-4+4

On réduit.

\hspace{2cm}=4(x+1)^2

 

 

Pour mettre 4x^2+8x+4 sous forme canonique, on identifie les coefficients a=4 , b=8 et c=4 puis on remplace a, b, c par 4, 8, 4 dans :

ax^2+bx+c=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a}

4x^2+8x+4=4(x+\frac{8}{2\times4})^2-\frac{8^2-4\times 4\times4}{4\times4}

\hspace{2cm}=4(x+\frac{8}{8})^2-\frac{64-64}{16}

\hspace{2cm}=4(x+1)^2-\frac{0}{16}

\hspace{2cm}=4(x+1)^2

 

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.