1. Second degré et forme canonique.

Théorème :

Toute fonction polynôme du second degré f(x)=ax^2+bx+c avec a\neq 0  .

peut s’écrire  f(x)=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a} .

Cette forme est appelée forme canonique.

Démonstration :

Mieux vaut partir du membre de droite pour parvenir au membre de gauche. En effet, il ne s’agira que de développer. On part donc de a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a}.

D’après la priorité des opérations, on calcule d’abord ce qu’il y a entre parenthèses. Et dans la parenthèse on calcule en priorité la puissance. Ici on va développer (x+\frac{b}{2a})^2 en utilisant l’identité remarquable (A+B)^2=A^2+2AB+B^2 .

On pose A=x donc A^2=x^2

On pose B=\frac{b}{2a} donc B^2=(\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2}{4a^2}

Je calcule 2AB=2\times x\times{\frac{b}{2a}}=\frac{bx}{a}\\a[(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a}]=a(x^2+\frac{bx}{a}+\frac{b^2}{4a^2})-\frac{b^2-4ac}{4a}

Ensuite on développe en utilisant la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition

\hspace{3cm}={a}\times{x^2}+{a}\times{\frac{bx}{a}}+{a}\times{\frac{b^2}{4a^2}}-\frac{b^2-4ac}{4a}

Avant d’effectuer les produits, on simplifie.

\hspace{3cm}={a}\times{x^2}+bx+\frac{b^2}{4a}-\frac{b^2-4ac}{4a}

On réduit la somme

\hspace{3cm}=ax^2+bx+\frac{b^2-b^2+4ac}{4a}\\\hspace{3cm}=ax^2+bx+\frac{4ac}{4a}

On simplifie par 4a.

\hspace{3cm}=ax^2+bx+c

Exercice :

Déterminer la forme canonique dans chaque cas.