# 1.Comment générer une suite de nombres.

AVERTISSEMENT : Tout ce qui est fait dans l’activité permet de donner du sens aux deux façons de générer des suites : par récurrence et par formule explicite. En aucun cas, on ne vous donnera des exercices de ce type en devoir.

### Activité d’approche

Dans chaque cas, déterminer le dernier terme et faire une phrase en français pour expliquer comment on l’a trouvé.

#### Suite n°1

$0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , …

#### Suite n°2

$-1$ , $-3$ , $-5$ , $-7$ , $-9$ , $-11$ , $-13$ , …

#### Suite n°3

$1$ , $2$ , $4$ , $8$ , $16$ , $32$ , $64$ , …

#### Suite n°4

$1$ , $0.1$ , $0.01$ , $0.001$ , $0.0001$ , $0.00001$ , $0.000001$ , …

#### Suite n°5

$1$ , $4$ , $9$ , $16$ , $25$ , $36$ , $49$ , …

#### Suite n°6

$1$ , $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{3}$ , $\frac{1}{4}$ , $\frac{1}{5}$ , $\frac{1}{6}$ , $\frac{1}{7}$ , …

#### Suite n°7

$0$ , $\frac{1}{2}$ , $\frac{4}{5}$ , $\frac{9}{10}$$\frac{16}{17}$ , $\frac{25}{26}$ , …

#### Suite n°8

$0$ , $2$ , $8$ , $18$ , $32$ , $50$ , $72$ , …

#### Suite n°9

$-12$ , $-7$ , $-2$ , $3$ , $8$ , $13$ , $18$ , …

### Suite définie par récurrence

#### Poursuite de l’activité d’approche :

On se propose de remplacer terme précédent par $u_{n}$ et terme suivant par $u_{n+1}$ dans les phrases obtenues dans l’activité d’approche. Puis on demande d’identifier le premier terme de la suite qu’on désignera dans la plupart des cas par la notation $u_{0}$ .

Compléter les pointillés dans chaque cas.

Suite n°1

$u_{0}= … \\u_{n+1}= …$

Suite n°2

$u_{0}= … \\u_{n+1}= …$

Suite n°3

$u_{0}= … \\u_{n+1}= …$

Suite n°4

$u_{0}= … \\u_{n+1}= …$

Suite n°9

$u_{0}= … \\u_{n+1}= …$

#### Définition :

On dit qu’une suite $(u_n)$ est définie par récurrence lorsqu’on connaît le premier terme par exemple $u_0$  et lorsqu’on connaît  une relation qui exprime le terme suivant en fonction du précédent c’est-à-dire une relation du type $u_{n+1 }= f(u_n)$.

### Suite définie par formule explicite

#### Poursuite de  l’activité d’approche :

On se propose d’exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.

Intéressons-nous à  la suite n°1. Voici un tableau avec sur la première ligne les rangs ou les indices des termes de la suite et sur la deuxième ligne les termes de la suite correspondants.

 $n$ 0 1 2 3 4 5 6 $u_n$ 0 1 2 3 4 5 6

Puis on exprime les nombres du bas en fonction des nombres du haut.

D’abord en langue française :

Ici les nombres du bas sont égaux aux nombres du haut .

Puis avec une égalité mathématique avec$u_n$ à gauche et une expression en fonction de $n$ à droite:

$u_n=n$

Faire pour les suites suivantes ce qu’on a fait pour la suite n°1.

#### Suite n°2

 $n$ 0 1 2 3 4 5 6 $u_n$ -1 -3 -5 -7 -9 -11 -13
$u_{n}= …$

#### Suite n°3

 $n$ 0 1 2 3 4 5 6 $u_n$ 1 2 4 8 16 32 64
$u_{n}= …$

#### Suite n°4

 $n$ 0 1 2 3 4 5 6 $u_n$ 1 0.1 0.01 0.001 0.0001 1e-05 1e-06
$u_{n}= …$

#### Suite n°5

 $n$ 1 2 3 4 5 6 7 $u_n$ 1 4 9 16 25 36 49
$u_{n}= …$

#### Suite n°6

 $n$ 1 2 3 4 5 6 7 $u_n$ 1 $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{5}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{7}$
$u_{n}= …$

#### Suite n°7

 $n$ 0 1 2 3 4 5 6 $u_n$ 0 $\frac{1}{2}$ $\frac{4}{5}$ $\frac{9}{10}$ $\frac{16}{17}$ $\frac{25}{26}$ $\frac{36}{37}$
$u_{n}= …$

#### Suite n°8

 $n$ 0 1 2 3 4 5 6 $u_n$ 0 2 8 18 32 50 72
$u_{n}= …$

#### Suite n°9

 $n$ 0 1 2 3 4 5 6 $u_n$ -12 -7 -2 3 8 13 18

$u_{n}= …$

#### Définition :

On dit qu’une suite $(u_n)$ est définie par formule explicite lorsqu’on connaît  une relation qui exprime le terme de la suite $(u_n)$ en fonction de son rang ou de son indice $n$ c’est-à-dire une relation du type $u_n= f(n)$.

Suite n°1 :

$0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$

Pour obtenir $7$ on a ajouté $6+1$  car pour la suite n°1, pour passer du terme précédent au terme suivant on ajoute 1.

#### Suite n°2

$-1$ , $-3$ , $-5$ , $-7$ , $-9$ , $-11$ , $-13$ , $-15$

Pour obtenir $-15$ on a ajouté $-13+(-2)$  car pour la suite n°2, pour passer du terme précédent au terme suivant on ajoute $-2$.

#### Suite n°3

$1$ , $2$ , $4$ , $8$ , $16$ , $32$ , $64$ , $128$

Pour obtenir $128$ on a multiplié $64\times 2$  car pour la suite n°3, pour passer du terme précédent au terme suivant on multiplie par $2$.

#### Suite n°4

$1$ , $0.1$ , $0.01$ , $0.001$ , $0.0001$ , $0.00001$ , $0.000001$ ,$0.0000001$

Pour obtenir $0.0000001$ on a multiplié $0.000001\times 0.1$  car pour la suite n°4, pour passer du terme précédent au terme suivant on multiplie par $0.1$.

#### Suite n°5

$1$ , $4$ , $9$ , $16$ , $25$ , $36$ , $49$ , $64$

On a constaté qu’il s’agit de la suite des carrés des nombres entiers. Donc le dernier terme est $64$ qui est le carré de $8$.

#### Suite n°6

$1$ , $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{3}$ , $\frac{1}{4}$ , $\frac{1}{5}$ , $\frac{1}{6}$ , $\frac{1}{7}$ , $\frac{1}{8}$

On a constaté qu’il s’agit de la suite des inverses des nombres entiers. Donc le dernier terme est $\frac{1}{8}$ qui est l’inverse de $8$.

#### Suite n°7

$0$ , $\frac{1}{2}$ , $\frac{4}{5}$ , $\frac{9}{10}$  , $\frac{16}{17}$ , $\frac{25}{26}$ , $\frac{36}{37}$

On a constaté qu’il s’agit de la suite des carrés des nombres entiers divisés par le nombre entier qui suit le carré du nombre. Donc le dernier terme est $\frac{36}{37}$ qui est le carré de $6$ divisé par le carré de $6$ plus $1$ c’est-à-dire :$36+1$.

#### Suite n°8

$0$ , $2$ , $8$ , $18$ , $32$ , $50$ , $72$ , $98$

On a constaté qu’il s’agit de la suite des doubles des carrés des nombres entiers . Donc le dernier terme est $98$ qui est le double du carré de  $7$.

#### Suite n°9

$-12$ , $-7$ , $-2$ , $3$ , $8$ , $13$ , $18$ , $23$

Pour obtenir $23$ on a ajouté $18+5$  car pour la suite n°9, pour passer du terme précédent au terme suivant on ajoute 5.

Suite n°1 :

$0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$

Pour obtenir $7$ on a ajouté $6+1$  car pour la suite n°1, pour passer du terme précédent au terme suivant on ajoute 1.

Le premier terme est $0$, on note $u_0=0$

Pour passer du terme précédent au terme suivant on ajoute 1.

On obtient $u_{n+1}=u_{n}+1$

#### Suite n°2

$-1$ , $-3$ , $-5$ , $-7$ , $-9$ , $-11$ , $-13$ , $-15$

Pour obtenir $-15$ on a ajouté $-13+(-2)$  car pour la suite n°2, pour passer du terme précédent au terme suivant on ajoute $-2$.

Le premier terme est $-1$, on note $u_0=-1$.

Pour passer du terme précédent au terme suivant on ajoute $-2$

$u_{n+1}=u_{n}-2$.

#### Suite n°3

$1$ , $2$ , $4$ , $8$ , $16$ , $32$ , $64$ , $128$

Pour obtenir $128$ on a multiplié $64\times 2$  car pour la suite n°3, pour passer du terme précédent au terme suivant on multiplie par $2$.

Le premier terme est $1$, on note $u_0=1$.

Pour passer du terme précédent au terme suivant on multiplie par $2$

$u_{n+1}=2\times u_{n}$.

#### Suite n°4

$1$ , $0.1$ , $0.01$ , $0.001$ , $0.0001$ , $0.00001$ , $0.000001$ ,$0.0000001$

Pour obtenir $0.0000001$ on a multiplié $0.000001\times 0.1$  car pour la suite n°4, pour passer du terme précédent au terme suivant on multiplie par $0.1$.

Le premier terme est $1$, on note  $u_{0}=1$.

Pour passer du terme précédent au terme suivant on multiplie par $0.1$.

$u_{n+1}=0.1\times u_{n}$.

#### Suite n°9

$-12$ , $-7$ , $-2$ , $3$ , $8$ , $13$ , $18$ , $23$

Pour obtenir $23$ on a ajouté $18+5$  car pour la suite n°9, pour passer du terme précédent au terme suivant on ajoute 5

Le premier terme vaut $-12$ on note $u_0=-12$

Pour passer du terme précédent au terme suivant on ajoute 5

$u_{n+1}=u_{n}+5$

Suite n°2

 $n$ 0 1 2 3 4 5 6 $u_n$ -1 -3 -5 -7 -9 -11 -13

On multiplie les nombres du haut par $-2$ et on ajoute $-1$

$u_{n}= -2\times n-1 \\u_{n}= -2n-1$

Suite n°3

 $n$ 0 1 2 3 4 5 6 $u_n$ 1 2 4 8 16 32 64

Les nombres du bas s’obtiennent en calculant  $2$ exposant les nombres du haut.

$u_{n}= 2^n$

Suite n°4

 $n$ 0 1 2 3 4 5 6 $u_n$ 1 0.1 0.01 0.001 0.0001 1e-05 1e-06

On obtient les nombres du bas en faisant $10$ exposant (opposés des nombres du haut) ou en calculant l’inverse de $10$ exposant (les nombres du haut)

$u_{n}= 10^{-n}$     ou     $u_{n}= \frac{1}{10^{n}}$

Suite n°5

 $n$ 1 2 3 4 5 6 7 $u_n$ 1 4 9 16 25 36 49

Les nombres du bas sont les carrés des nombres du haut .

$u_{n}=n^2$

Suite n°6

 $n$ 1 2 3 4 5 6 7 $u_n$ 1 $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{5}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{7}$

Les nombres du bas sont les inverses des nombres du haut.

$u_{n}= \frac{1}{n}$

Suite n°7

 $n$ 0 1 2 3 4 5 6 $u_n$ 0 $\frac{1}{2}$ $\frac{4}{5}$ $\frac{9}{10}$ $\frac{16}{17}$ $\frac{25}{26}$ $\frac{36}{37}$

Les nombres du bas sont des fractions qui ont pour numérateur les carrés des nombres du haut et pour dénominateur les carrés des nombres du haut +1

$u_{n}= \frac{n^2}{n^2+1}$

Suite n°8

 $n$ 0 1 2 3 4 5 6 $u_n$ 0 2 8 18 32 50 72

Les nombres du bas sont les doubles des carrés des nombres du haut.

$u_{n}=2n^2$

Suite n°9

$u_0=-12$

Pour aller de $u_0$ à $u_1$ on ajoute une fois $5$ donc $u_1=u_0+5$.

Pour aller de $u_0$ à $u_2$ on ajoute deux fois $5$ donc $u_2=u_0+5\times 2$.

Pour aller de $u_0$ à $u_3$ on ajoute trois fois $5$ donc $u_3=u_0+5\times 3$.

Pour aller de $u_0$ à $u_n$ on ajoute n fois $5$ donc $u_n=u_0+5\times n$.

$u_n=-12+5\times n$

Réponse:

$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}$.

Résoudre graphiquement $f(x)=1$

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de $1$.

Je place $1$ sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par $1$ toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de $1$.

Les antécédents sont $-2$ et $2$.

Donc $S=\{-2;2\}$

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.