Sommaire
Préambule
Voici cinq termes qui se déduisent les uns des autres en ajoutant 3. Pour trouver le suivant, c’est facile il suffit de faire 14+3=17. Mais si on vous demande de déterminer le 100ème terme de cette suite, cela devient plus compliqué. Cette fiche de cours doit pouvoir nous permettre de répondre à cette question et bien d’autres.
Définition (générer une suite arithmétique par récurrence)
On dit qu’une suite (u_n) définie sur \mathbf{N} est arithmétique quand il existe un réel r appelé raison de la suite tel que, pour tout entier naturel n , u_{n+1}=u_n+r .
Propriété (générer une suite arithmétique par formule explicite)
Activité d’approche
A l’aide du schéma ci-contre, expliquer comment on passe de u_0 à u_1 puis compléter les pointillés dans l’égalité suivante :
u_1=u_0+….\times r
A l’aide du schéma ci-contre, expliquer comment on passe de u_0 à u_2 puis compléter les pointillés dans l’égalité suivante :
u_2=u_0+….\times r
A l’aide du schéma ci-contre, expliquer comment on passe de u_0 à u_3 puis compléter les pointillés dans l’égalité suivante :
u_3=u_0+….\times r
A l’aide du schéma ci-contre, expliquer comment on passe de u_0 à u_n puis compléter les pointillés dans l’égalité suivante :
u_n=u_0+….\times rPropriété 1
quand on exprime u_n en fonction de u_0
Une suite (u_n) définie sur \mathbf{N} est arithmétique si et seulement si pour tout entier naturel n , u_n=u_0+nr .
Activité d’approche
A l’aide du schéma ci-contre, expliquer comment on passe de u_1 à u_n puis compléter les pointillés dans l’égalité suivante :
u_n=u_1+….\times r
A l’aide du schéma ci-contre, expliquer comment on passe de u_2 à u_n puis compléter les pointillés dans l’égalité suivante :
u_n=u_2+….\times rPropriété 2
quand on exprime u_n en fonction de u_p
Une suite (u_n) définie sur \mathbf{N} est arithmétique si et seulement si pour tout entier naturel n ,
u_n=u_p+(n-p)r .
Exercice n°1
Pour chacune des suites ci-dessous, indiquer en justifiant si elles sont arithmétiques et si oui indiquer la raison.
- u_0=-2 et u_{n+1}=-2+u_{n}
2. u_0=0 et u_{n+1}=3u_{n}-1
3. u_0=0 et u_{n+1}=-u_{n}+9
Exercice n°2
Pour chacune des suites ci-dessous, indiquer en justifiant si elles sont arithmétiques et si oui indiquer la raison.
- u_{n}=-2+n , pour n \in \mathbf{N}
2. u_{n}=2n-5, pour n \in \mathbf{N}
3. u_{n}=n^2-100
Variations d’une suite arithmétique
On considère la suite arithmétique définie par
u_0=-2 et u_{n+1}=-2+u_{n}.
On programme la calculatrice et sur le graphique, on fait apparaître les points de coordonnées (n;u_n).
Il semble que quand les abscisses n augmentent les ordonnées u_n diminuent. On dit que la suite est décroissante.
Remarque : ici la raison vaut -2, elle est négative.
On considère la suite arithmétique définie par
u_n=3+2n.
On programme la calculatrice et sur le graphique, on fait apparaître les points de coordonnées (n;u_n).
Il semble que quand les abscisses n augmentent les ordonnées u_n augmentent aussi. On dit que la suite est croissante.
Remarque : ici la raison vaut 2, elle est positive.
Propriété 3
Exercice n°3
Pour chacune des suites arithmétiques ci-dessous, déterminer la raison et en déduire les variations.
- u_0=-2 et u_{n+1}=7+u_{n}
2. u_{n}=-2+6n , n \in \mathbf{N}
3. u_0=0 et u_{n+1}=u_{n}-9
4. u_{n}=5-3n , n \in \mathbf{N}
