1.Suites arithmétiques : définitions et variations.

Sommaire

Préambule

Voici cinq termes qui se déduisent les uns des autres en ajoutant 3. Pour trouver le suivant, c’est facile il suffit de faire 14+3=17. Mais si on vous demande de déterminer le 100ème terme de cette suite, cela devient plus compliqué. Cette fiche de cours doit pouvoir nous permettre de répondre à cette question et bien d’autres.

Définition (générer une suite arithmétique par récurrence)

On dit qu’une suite (u_n) définie sur \mathbf{N} est arithmétique quand il existe un réel r appelé raison de la suite tel que, pour tout entier naturel n  , u_{n+1}=u_n+r .

Propriété (générer une suite arithmétique par formule explicite)

Activité d’approche 

A l’aide du schéma ci-contre, expliquer comment on passe de u_0 à u_1 puis compléter les pointillés dans l’égalité suivante :

u_1=u_0+….\times r

A l’aide du schéma ci-contre, expliquer comment on passe de u_0 à u_2 puis compléter les pointillés dans l’égalité suivante :

u_2=u_0+….\times r

A l’aide du schéma ci-contre, expliquer comment on passe de u_0 à u_3 puis compléter les pointillés dans l’égalité suivante :

u_3=u_0+….\times r

A l’aide du schéma ci-contre, expliquer comment on passe de u_0 à u_n puis compléter les pointillés dans l’égalité suivante :

u_n=u_0+….\times r

Propriété 1 

quand on exprime u_n en fonction de u_0 

Une suite (u_n) définie sur \mathbf{N} est arithmétique si et seulement si pour tout entier naturel n  , u_n=u_0+nr .

Activité d’approche

A l’aide du schéma ci-contre, expliquer comment on passe de u_1 à u_n puis compléter les pointillés dans l’égalité suivante :

u_n=u_1+….\times r

A l’aide du schéma ci-contre, expliquer comment on passe de u_2 à u_n puis compléter les pointillés dans l’égalité suivante :

u_n=u_2+….\times r

Propriété 2 

quand on exprime u_n en fonction de u_p 

Une suite (u_n) définie sur \mathbf{N} est arithmétique si et seulement si pour tout entier naturel n  ,

u_n=u_p+(n-p)r .

Exercice n°1

Pour chacune des suites ci-dessous, indiquer en justifiant si elles sont arithmétiques et si oui indiquer la raison.

  1. u_0=-2 et u_{n+1}=-2+u_{n}

2. u_0=0 et u_{n+1}=3u_{n}-1

3. u_0=0 et u_{n+1}=-u_{n}+9

Exercice n°2

Pour chacune des suites ci-dessous, indiquer en justifiant si elles sont arithmétiques et si oui indiquer la raison.

  1. u_{n}=-2+n , pour n \in \mathbf{N} 

2. u_{n}=2n-5, pour n \in \mathbf{N} 

3. u_{n}=n^2-100

Variations d’une suite arithmétique

On considère la suite arithmétique définie par

u_0=-2 et u_{n+1}=-2+u_{n}.

On programme la calculatrice et sur le graphique, on fait apparaître les points de coordonnées (n;u_n).

Il semble que quand les abscisses n augmentent les ordonnées u_n diminuent. On dit que la suite est décroissante.

Remarque : ici la raison vaut -2, elle est négative.

On considère la suite arithmétique définie par

u_n=3+2n.

On programme la calculatrice et sur le graphique, on fait apparaître les points de coordonnées (n;u_n).

Il semble que quand les abscisses n augmentent les ordonnées u_n augmentent aussi. On dit que la suite est croissante.

Remarque : ici la raison vaut 2, elle est positive.

Propriété 3

Soit une suite arithmétique u_n de raison r.
Si r<0 la suite u_n est décroissante.
Si r=0 la suite u_n est constante.
Si r>0 la suite u_n est croissante.
 

Exercice n°3

Pour chacune des suites arithmétiques ci-dessous, déterminer la raison et en déduire les variations.

  1. u_0=-2 et u_{n+1}=7+u_{n}

2. u_{n}=-2+6n ,  n \in \mathbf{N}

3. u_0=0 et u_{n+1}=u_{n}-9

4. u_{n}=5-3n ,  n \in \mathbf{N}

On passe de u_0 à u_1 en ajoutant une fois la raison r :

u_1=u_0+1\times r\\u_1=u_0+r

 

On passe de u_0 à u_2 en ajoutant deux fois la raison r :

u_2=u_0+2\times r\\u_2=u_0+2r

 

On passe de u_0 à u_3 en ajoutant trois  fois la raison r :

u_3=u_0+3\times r\\u_3=u_0+3r

On passe de u_0 à u_n en ajoutant n fois la raison r :

u_n=u_0+n\times r\\u_n=u_0+nr

 

On passe de u_0 à u_n en ajoutant n fois la raison r .

Comme on a barré une raison sur le schéma, on passe de u_1 à u_n en ajoutant (n-1) fois la raison r

u_n=u_1+(n-1)\times r\\u_n=u_1+(n-1)r

On passe de u_0 à u_n en ajoutant n fois la raison r .

Comme on a barré deux fois la  raison sur le schéma, on passe de u_2 à u_n en ajoutant (n-2) fois la raison r

u_n=u_2+(n-2)\times r\\u_n=u_2+(n-2)r

Avant toute chose, programmer la suite à la calculatrice.

A la lecture du tableur, on constate que la suite est arithmétique de raison -2

De plus, on reconnaît une relation par récurrence du type u_{n+1}=u_n+r avec r=-2.

Voici la réponse attendue :

L’ écriture u_0=-2 et u_{n+1}=-2+u_n est l’écriture par récurrence d’une suite arithmétique de raison -2 et de premier terme u_0=-2.

Avant toute chose, programmer la suite à la calculatrice.

A la lecture du tableur, on constate que la suite n’est pas arithmétique car pour passer de 0 à -1 on enlève  1 et pour passer de -1 à -4 on enlève  3

Voici la réponse attendue :

La suite définie par  u_0=0 et u_{n+1}=3u_n-1 n’est pas arithmétique car u_1-u_0 \ne u_2-u_1 .

En effet,

u_1-u_0=-1-0=-1

et u_2-u_1 =-4-(-1)=-4+1=-3.

Remarque : pour montrer qu’une suite n’est pas arithmétique montrer que u_1-u_0 \ne u_2-u_1 suffit.

En revanche, on ne peut pas démontrer qu’une suite est arithmétique en montrant que  u_1-u_0 = u_2-u_1  

Avant toute chose, programmer la suite à la calculatrice.

A la lecture du tableur, on constate que la suite n’est pas arithmétique car pour passer de 0 à 9 on ajoute 9 et pour passer de 9 à 0 on enlève  9

Voici la réponse attendue :

La suite définie par  u_0=0 et u_{n+1}=-u_n+9 n’est pas arithmétique car u_1-u_0 \ne u_2-u_1 .

En effet,

u_1-u_0=9-0=9

et u_2-u_1 =0-9=-9.

Remarque : pour montrer qu’une suite n’est pas arithmétique montrer que u_1-u_0 \ne u_2-u_1 suffit.

En revanche, on ne peut pas démontrer qu’une suite est arithmétique en montrant que  u_1-u_0 = u_2-u_1  

 

 

Avant toute chose, programmer la suite à la calculatrice.

A la lecture du tableur, on constate que la suite est arithmétique de raison 1

De plus, on reconnaît une formule explicite du type u_n=u_0+nr avec u_0=-2 et r=1.

Voici la réponse attendue :

L’ écriture  u_n=-2+n est l’écriture par formule explicite  d’une suite arithmétique de raison -1 et de premier terme u_0=-2.

 

 

Avant toute chose, programmer la suite à la calculatrice.

A la lecture du tableur, on constate que la suite est arithmétique de raison 2

De plus, on reconnaît une formule explicite du type u_n=u_0+nr avec u_0=-5 et r=2.

Voici la réponse attendue :

L’ écriture  u_n=2n-5 est l’écriture par formule explicite  d’une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme u_0=-5.

 

 

Avant toute chose, programmer la suite à la calculatrice.

A la lecture du tableur, on constate que la suite n’est pas arithmétique car pour passer de -100 à -99 on ajoute 1 et pour passer de -99 à -96 on ajoute  3

Voici la réponse attendue :

La suite définie par   u_n=n^2-100 n’est pas arithmétique car u_1-u_0 \ne u_2-u_1 .

En effet,

u_1-u_0=-99-(-100)=1

et u_2-u_1 =-96-(-99)=3.

Remarque : pour montrer qu’une suite n’est pas arithmétique montrer que u_1-u_0 \ne u_2-u_1 suffit.

En revanche, on ne peut pas démontrer qu’une suite est arithmétique en montrant que  u_1-u_0 = u_2-u_1  

 

 

L’écriture u_0=-2 et u_{n+1}=7+u_n définit par récurrence une suite arithmétique .

La forme générale est u_{n+1}=u_n+r .

Donc r=7 

La raison vaut 7 , elle est positive donc la suite (u_n) est croissante.

 

 

L’écriture u_n=-2+6n définit par formule explicite une suite arithmétique .

La forme générale est u_n=u_0+nr .

Donc u_0=-2 et r=6 

La raison vaut 6 , elle est positive donc la suite (u_n) est croissante.

 

L’écriture u_0=0 et u_{n+1}=u_n-9 définit par récurrence une suite arithmétique .

La forme générale est u_{n+1}=u_n+r .

Donc r=-9 

La raison vaut -9 , elle est négative donc la suite (u_n) est décroissante.

L’écriture u_n=5-3n définit par formule explicite une suite arithmétique .

La forme générale est u_n=u_0+nr .

Donc u_0=5 et r=-3 

La raison vaut -3 , elle est négative donc la suite (u_n) est décroissante.

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.