1. Suites géométriques : définitions et variations.

Sommaire

Préambule

Voici cinq termes qui se déduisent les uns des autres en multipliant par  2. Pour trouver le suivant, c’est facile il suffit de faire 48\times2=96. Mais si on vous demande de déterminer le 100ème terme de cette suite, cela devient plus compliqué. Cette fiche de cours doit pouvoir nous permettre de répondre à cette question et bien d’autres.

Définition (générer une suite géométrique par récurrence)

On dit qu’une suite (u_n) définie sur \mathbf{N} est géométrique quand il existe un réel q appelé raison de la suite tel que, pour tout entier naturel n  , u_{n+1}=q\times {u_n} .

Propriété (générer une suite géométrique par formule explicite)

Activité d’approche 

A l’aide du schéma ci-contre, expliquer comment on passe de u_0 à u_1 puis compléter les pointillés dans l’égalité suivante :

u_1=u_0\times q^{…}

A l’aide du schéma ci-contre, expliquer comment on passe de u_0 à u_2 puis compléter les pointillés dans l’égalité suivante :

u_2=u_0\times q^{…}

A l’aide du schéma ci-contre, expliquer comment on passe de u_0 à u_3 puis compléter les pointillés dans l’égalité suivante :

u_3=u_0\times q^{…}

A l’aide du schéma ci-contre, expliquer comment on passe de u_0 à u_n puis compléter les pointillés dans l’égalité suivante :

u_n=u_0\times q^{…}

Propriété 1 

quand on exprime u_n en fonction de u_0 

Une suite (u_n) définie sur \mathbf{N} est géométrique si et seulement si pour tout entier naturel n  , u_n=u_0q^n .

Activité d’approche

A l’aide du schéma ci-contre, expliquer comment on passe de u_1 à u_n puis compléter les pointillés dans l’égalité suivante :

u_n=u_1q^{…}

A l’aide du schéma ci-contre, expliquer comment on passe de u_2 à u_n puis compléter les pointillés dans l’égalité suivante :

u_n=u_2q^{…}

Propriété 2 

quand on exprime u_n en fonction de u_p 

Une suite (u_n) définie sur \mathbf{N} est géométrique si et seulement si pour tout entier naturel n  ,

u_n=u_pq^{n-p} .

Exercice n°1

Pour chacune des suites ci-dessous, indiquer en justifiant si elles sont géométriques et si oui indiquer la raison.

  1. u_0=2 et u_{n+1}=0.5u_n

2. u_0=1 et u_{n+1}=3u_{n}+1

3. u_0=0.8 et u_{n+1}=(u_{n})^2

Exercice n°2

Pour chacune des suites ci-dessous, indiquer en justifiant si elles sont géométriques et si oui indiquer la raison.

  1. u_{n}=2^n , pour n \in \mathbf{N} 

2. u_{n}=3n, pour n \in \mathbf{N} 

3. u_{n}=-2\times3^n

Variations d’une suite géométrique

Exemple n°1 : u_0 est positif et q>1

On considère la suite géométrique définie par

u_0=0.5 et u_{n+1}=3u_{n}.

On programme la calculatrice et sur le graphique, on fait apparaître les points de coordonnées (n;u_n).

Il semble que quand les abscisses n augmentent les ordonnées u_n augmentent. On dit que la suite est croissante.

Exemple n°2 : u_0 est positif et 0<q<1

On considère la suite géométrique définie par

u_n=2(\frac{1}{2})^n.

On programme la calculatrice et sur le graphique, on fait apparaître les points de coordonnées (n;u_n).

Il semble que quand les abscisses n augmentent les ordonnées u_n diminuent. On dit que la suite est décroissante.

Exemple n°3 : u_0 est négatif et 0<q<1

On considère la suite géométrique définie par

u_0=0.5 et u_{n+1}=3u_{n}.

On programme la calculatrice et sur le graphique, on fait apparaître les points de coordonnées (n;u_n).

Il semble que quand les abscisses n augmentent les ordonnées u_n augmentent. On dit que la suite est croissante.

Exemple n°4 : u_0 est négatif et q>1

On considère la suite géométrique définie par

u_n=-\frac{1}{8}\times {2^n}.

On programme la calculatrice et sur le graphique, on fait apparaître les points de coordonnées (n;u_n).

Il semble que quand les abscisses n augmentent les ordonnées u_n diminuent. On dit que la suite est décroissante.

Propriété 3

Soit une suite géométrique  u_n de raison q et de premier u_0  .
Si q<0 la suite u_n n’est pas monotone.
Si 0<q<1 et si u_0 est de signe négatif  la suite u_n est strictement croissante (exemple n°3).
Si 0<q<1 et si u_0 est de signe positif  la suite u_n est strictement décroissante (exemple n°2).
Si q=1 la suite u_n est constante.
Si r>0 la suite u_n est croissante.
Si q>1 et si u_0 est de signe négatif  la suite u_n est strictement décroissante (exemple n°4).
Si q>1 et si u_0 est de signe positif la suite u_n est strictement croissante (exemple n°1).

Exercice n°3

Pour chacune des suites géométriques ci-dessous, déterminer la raison q et le premier terme u_0. Puis à l’aide de la propriété n°3, en déduire les variations de la suite.

  1. u_0=-2 et u_{n+1}=3u_{n}

2. u_{n}=-2\times(\frac{1}{3})^n ,  n \in \mathbf{N}

3. u_0=5 et u_{n+1}=6u_{n}

4. u_{0}=14 et u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n .

5. u_{0}=2 et u_{n+1}=-\frac{1}{2}u_n .

On passe de u_0 à u_1 en multipliant une fois par la raison q :

u_1=u_0\times q\\u_1=u_0q

On passe de u_0 à u_2 en multipliant  deux fois par la raison q :

u_2=u_0\times q\times q\\u_2=u_0q^2

 

On passe de u_0 à u_3 en multipliant trois fois par la raison q :

u_3=u_0\times q\times q\times q\\u_3=u_0q^3

 

On passe de u_0 à u_n en multipliant n fois par la raison q :

u_n=u_0\times q\times q\times q\times q………..\times q\\u_n=u_0q^n

On passe de u_0 à u_n en multipliant  n fois par la raison q .

Comme on a barré une raison sur le schéma, on passe de u_1 à u_n en multipliant  (n-1) fois la raison q

u_n=u_1\times q^{n-1}

 

 

On passe de u_0 à u_n en multipliant  n fois par la raison q .

Comme on a barré deux raisons sur le schéma, on passe de u_2 à u_n en multipliant par  (n-2) fois la raison q

u_n=u_2\times q^{n-2}

Avant toute chose, programmer la suite à la calculatrice.

A la lecture du tableur, on constate que la suite est géométrique de raison 0.5

De plus, on reconnaît une relation par récurrence du type u_{n+1}=q\times u_n avec q=0.5.

Voici la réponse attendue :

L’ écriture u_0=2 et u_{n+1}=0.5u_n est l’écriture par récurrence d’une suite géométrique de raison 0.5 et de premier terme u_0=2.

 

Avant toute chose, programmer la suite à la calculatrice.

A la lecture du tableur, on constate que la suite n’est pas géométrique car pour passer de 1 à 4 on multiplie par 4 et pour passer de 4 à 13 on multiplie par  \frac{13}{4} qui n’est pas égal à  4

Voici la réponse attendue :

La suite définie par  u_0=1 et u_{n+1}=3u_n+1 n’est pas géométrique car \frac{u_1}{u_0} \ne \frac{u_2}{u_1} .

En effet,

\frac{u_1}{u_0}=\frac{4}{1}=4

et \frac{u_2}{u_1} =\frac{13}{4}.

Remarque : pour montrer qu’une suite n’est pas géométrique montrer que \frac{u_1}{u_0}\ne \frac{u_2}{u_1} suffit.

En revanche, on ne peut pas démontrer qu’une suite est géométrique en montrant que \frac{u_1}{u_0}= \frac{u_2}{u_1}

 

 

Avant toute chose, programmer la suite à la calculatrice.

A la lecture du tableur, on constate que la suite n’est pas géométrique car pour passer de 0.8 à 0.64 on multiplie par 0.8 et pour passer de 0.64 à 0.4096 on multiplie par  0.64 qui n’est pas égal à  0.8

Voici la réponse attendue :

La suite définie par  u_0=0.8 et u_{n+1}=u_n^2 n’est pas géométrique car \frac{u_1}{u_0} \ne \frac{u_2}{u_1} .

En effet,

\frac{u_1}{u_0}=\frac{0.64}{0.8}=0.8

et \frac{u_2}{u_1} =\frac{0.4096}{0.64}=0.64.

Remarque : pour montrer qu’une suite n’est pas géométrique montrer que \frac{u_1}{u_0}\ne \frac{u_2}{u_1} suffit.

En revanche, on ne peut pas démontrer qu’une suite est géométrique en montrant que \frac{u_1}{u_0}= \frac{u_2}{u_1}

 

Avant toute chose, programmer la suite à la calculatrice.

A la lecture du tableur, on constate que la suite est géométrique de raison 2

De plus, on reconnaît une formule explicite du type u_{n}=u_0\times q^n avec  u_{0}=1 et   q=2.

Voici la réponse attendue :

L’ écriture u_{n}=2^n est l’écriture par formule explicite  d’une suite géométrique de raison 2 et de premier terme u_0=1.

 

Avant toute chose, programmer la suite à la calculatrice.

A la lecture du tableur, on constate que la suite n’est pas géométrique .

Voici la réponse attendue :

La suite définie par   u_{n}=3n n’est pas géométrique car comme u_0 =0 tous les termes devraient être nuls ce qui n’est pas le cas.

 

Avant toute chose, programmer la suite à la calculatrice.

A la lecture du tableur, on constate que la suite est géométrique de raison 3

De plus, on reconnaît une formule explicite du type u_{n}=u_0\times q^n avec  u_{0}=-2 et   q=3.

Voici la réponse attendue :

L’ écriture u_{n}=-2\times 3^n est l’écriture par formule explicite  d’une suite géométrique de raison 3 et de premier terme u_0=-2.

 

 

L’écriture u_{0}=-2 et u_{n+1}=3u_n définit par récurrence une suite géométrique.

La forme générale est u_{n+1}=q\times u_n .

Donc u_0=-2 et q=3 

La raison vaut 3 , elle est supérieure à 1 et u_0=-2 donc u_0 est négatif.

la suite (u_n) est décroissante d’après la propriété du cours ci-dessous. 

Propriété 3

Soit une suite géométrique  u_n de raison q et de premier u_0  .
Si q<0 la suite u_n n’est pas monotone.
Si 0<q<1 et si u_0 est de signe négatif  la suite u_n est strictement croissante (exemple n°3).
Si 0<q<1 et si u_0 est de signe positif  la suite u_n est strictement décroissante (exemple n°2).
Si q=1 la suite u_n est constante.
Si r>0 la suite u_n est croissante.
Si q>1 et si u_0 est de signe négatif  la suite u_n est strictement décroissante (exemple n°4).
Si q>1 et si u_0 est de signe positif la suite u_n est strictement croissante (exemple n°1).

 

 

 

L’écriture  u_{n}=-2\times {(\frac{1}{3})^n} définit de façon explicite une suite géométrique.

La forme générale est u_{n}=u_o\times q^n .

Donc u_0=-2 et q=\frac{1}{3} 

La raison vaut \frac{1}{3} , elle est comprise entre 0 et 1 et u_0=-2 donc u_0 est négatif.

la suite (u_n) est croissante d’après la propriété du cours ci-dessous. 

Propriété 3

Soit une suite géométrique  u_n de raison q et de premier u_0  .
Si q<0 la suite u_n n’est pas monotone.
Si 0<q<1 et si u_0 est de signe négatif  la suite u_n est strictement croissante (exemple n°3).
Si 0<q<1 et si u_0 est de signe positif  la suite u_n est strictement décroissante (exemple n°2).
Si q=1 la suite u_n est constante.
Si r>0 la suite u_n est croissante.
Si q>1 et si u_0 est de signe négatif  la suite u_n est strictement décroissante (exemple n°4).
Si q>1 et si u_0 est de signe positif la suite u_n est strictement croissante (exemple n°1).

 

 

 

L’écriture u_{0}=5 et u_{n+1}=6u_n définit par récurrence une suite géométrique.

La forme générale est u_{n+1}=q\times u_n .

Donc u_0=5 et q=6 

La raison vaut 6 , elle est supérieure à 1 et u_0=5 donc u_0 est positif.

la suite (u_n) est croissante d’après la propriété du cours ci-dessous. 

Propriété 3

Soit une suite géométrique  u_n de raison q et de premier u_0  .
Si q<0 la suite u_n n’est pas monotone.
Si 0<q<1 et si u_0 est de signe négatif  la suite u_n est strictement croissante (exemple n°3).
Si 0<q<1 et si u_0 est de signe positif  la suite u_n est strictement décroissante (exemple n°2).
Si q=1 la suite u_n est constante.
Si r>0 la suite u_n est croissante.
Si q>1 et si u_0 est de signe négatif  la suite u_n est strictement décroissante (exemple n°4).
Si q>1 et si u_0 est de signe positif la suite u_n est strictement croissante (exemple n°1).

 

 

 

L’écriture  u_{n}= (\frac{1}{2})^n définit de façon explicite une suite géométrique.

La forme générale est u_{n}=u_0\times q^n .

Donc u_0=1 et q=\frac{1}{2} 

La raison vaut \frac{1}{2} , elle est comprise entre 0 et 1 et u_0=1 donc u_0 est positif.

la suite (u_n) est décroissante d’après la propriété du cours ci-dessous. 

 

Propriété 3

Soit une suite géométrique  u_n de raison q et de premier u_0  .
Si q<0 la suite u_n n’est pas monotone.
Si 0<q<1 et si u_0 est de signe négatif  la suite u_n est strictement croissante (exemple n°3).
Si 0<q<1 et si u_0 est de signe positif  la suite u_n est strictement décroissante (exemple n°2).
Si q=1 la suite u_n est constante.
Si r>0 la suite u_n est croissante.
Si q>1 et si u_0 est de signe négatif  la suite u_n est strictement décroissante (exemple n°4).
Si q>1 et si u_0 est de signe positif la suite u_n est strictement croissante (exemple n°1).

 

 

 

L’écriture u_{0}=2 et u_{n+1}=-\frac{1}{2}u_n définit par récurrence une suite géométrique.

La forme générale est u_{n+1}=q\times u_n .

Donc u_0=2 et q=-\frac{1}{2} 

La raison vaut -\frac{1}{2} , elle est négative et u_0=2 donc u_0 est positif.

la suite (u_n) n’est pas  monotone d’après la propriété du cours ci-dessous. 

Propriété 3

Soit une suite géométrique  u_n de raison q et de premier u_0  .
Si q<0 la suite u_n n’est pas monotone.
Si 0<q<1 et si u_0 est de signe négatif  la suite u_n est strictement croissante (exemple n°3).
Si 0<q<1 et si u_0 est de signe positif  la suite u_n est strictement décroissante (exemple n°2).
Si q=1 la suite u_n est constante.
Si r>0 la suite u_n est croissante.
Si q>1 et si u_0 est de signe négatif  la suite u_n est strictement décroissante (exemple n°4).
Si q>1 et si u_0 est de signe positif la suite u_n est strictement croissante (exemple n°1).

 

 

 

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.