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tc. limites de suites

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Sommaire

Activité d’approche pour les limites de suites

suite n°1 

soit (u_n) la suite définie sur \mathbf{N}  par u_n=3n-1.

On s’intéresse au comportement de la suite (u_n) lorsque les valeurs de n deviennent très grandes.

Voici deux façons d’observer le comportement de la suite (u_n)   à l’aide de la calculatrice TI-83 Premium CE Python. 

Pour étudier le comportement de la suite (u_n) lorsque les valeurs de n deviennent très grandes, il faudrait descendre dans le tableau mais c’est long. Mieux vaut utiliser une feuille Excel comme c’est proposé plus bas.

Le nuage de points de coordonnées  (n;u_n) ci-dessus ne permet pas vraiment de faire une conjecture. Il faudrait pouvoir observer pour des grandes valeurs de n. 

Mieux vaut utiliser le nuage de points Excel comme c’est proposé plus bas

En utilisant une feuille de calcul Excel, on peut  générer les termes de la suite plus rapidement qu’avec la calculatrice et observer ce qui se passe pour de grandes valeurs de n 

En lisant le tableau ci-dessus, il semble que quand les n dans la colonne de gauche deviennent de plus en plus grands, les (u_n) dans la colonne de droite deviennent aussi de plus en plus grands. 

En observant le nuage de points de coordonnées  (n;u_n) ci-dessus, il semble que quand les n deviennent de plus en plus grands, les (u_n) deviennent aussi de plus en plus grands.

 

On écrit \lim_{n \to {+\infty}} u_n = +\infty 

suite n°2 

soit (u_n) la suite définie sur \mathbf{N}  par u_n=-2n+5.

Voici deux façons de la représenter à l’aide de la calculatrice TI-83 Premium CE Python. 

Pour étudier le comportement de la suite (u_n) lorsque les valeurs de n deviennent très grandes, il faudrait descendre dans le tableau mais c’est long. Mieux vaut utiliser une feuille Excel comme c’est proposé plus bas.

Le nuage de points de coordonnées  (n;u_n) ci-dessus ne permet pas vraiment de faire une conjecture. Il faudrait pouvoir observer pour des grandes valeurs de n. 

Mieux vaut utiliser le nuage de points Excel comme c’est proposé plus bas

En utilisant une feuille de calcul Excel, on peut  générer les termes de la suite plus rapidement qu’avec la calculatrice et observer ce qui se passe pour de grandes valeurs de n 

En lisant le tableau ci-dessus, il semble que quand les n dans la colonne de gauche deviennent de plus en plus grands, les (u_n) dans la colonne de droite deviennent aussi de plus en plus petits. 

En observant le nuage de points de coordonnées  (n;u_n) ci-dessus, il semble que quand les n deviennent de plus en plus grands, les (u_n) deviennent aussi de plus en plus petits.

 

On écrit \lim_{n \to {+\infty}} u_n = -\infty 

suite n°3 : soit (u_n) la suite définie sur \mathbf{N}^{*}  par u_n=\frac{1}{n}+2.

Voici deux façons de la représenter à l’aide de la calculatrice TI-83 Premium CE Python. 

Pour étudier le comportement de la suite (u_n) lorsque les valeurs de n deviennent très grandes, il faudrait descendre dans le tableau . On observe que les valeurs de (u_n) semblent rapidement se rapprocher de la valeur 2.

Le nuage de points de coordonnées  (n;u_n) ci-dessus ne permet  de faire une conjecture. Il semble que les valeurs de u_n se rapprochent assez vite de la valeur 2. 

On écrit \lim_{n \to {+\infty}} u_n = 2 

suite n°4 : soit (u_n) la suite définie sur \mathbf{N}  par u_n=(-1)^n.

Voici deux façons de la représenter à l’aide de la calculatrice TI-83 Premium CE Python. 

Pour étudier le comportement de la suite (u_n) lorsque les valeurs de n deviennent très grandes, il faudrait descendre dans le tableau . On observe que les valeurs de (u_n) ne se rapprochent pas d’une valeur.

Le nuage de points de coordonnées  (n;u_n) ci-dessus permet de dire que les valeurs de u_n ne se rapprochent pas d’une valeur donnée. 

On dit que la suite  u_n n’admet pas de limite.

Propriétés : limites des suites de référence

Propriété n°1 (admise)

Les suites de terme général \frac{1}{n} , \frac{1}{n^2} , \frac{1}{n^3} ,…, \frac{1}{n^k} ( k entier naturel) et \frac{1}{\sqrt{n}} tendent vers 0 quand n tend vers +\infty .

Illustration avec le mode graph de la TI-83

la suite de terme général \frac{1}{n}

 \lim_{n \to {+\infty}} \frac{1}{n} = 0 

la suite de terme général \frac{1}{n^2}

 \lim_{n \to {+\infty}} \frac{1}{n^2} = 0 

la suite de terme général \frac{1}{n^3}

 \lim_{n \to {+\infty}} \frac{1}{n^3} = 0 

la suite de terme général \frac{1}{\sqrt{n}}

 \lim_{n \to {+\infty}} \frac{1}{\sqrt{n}}= 0 

Propriété n°2 (admise)

Les suites de terme général n, n^2, n^3,…, n^k ( k entier naturel) et \sqrt{n} tendent vers +\infty quand n tend vers +\infty .

Illustration avec le mode graph de la TI-83

la suite de terme général n

 \lim_{n \to {+\infty}} n = +\infty 

la suite de terme général n^2

 \lim_{n \to {+\infty}} n^2 = +\infty 

la suite de terme général n^3

 \lim_{n \to {+\infty}} n^3 = +\infty 

Propriétés : limites et opérations

Dans les tableaux ci-dessous, les lettres l et l’ représentent des nombres réels.

Attention : il faut cliquer sur le signe + en début de ligne pour faire apparaître la propriété.
\lim_{n\to{+\infty}}u_n=lll+\infty-\infty+\infty
\lim_{n\to{+\infty}}v_n=l’+\infty-\infty+\infty-\infty-\infty
\lim_{n\to{+\infty}}u_n+v_n=l+l’+\infty-\infty+\infty-\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.

\lim_{n\to{+\infty}} u_n=ll\ne0\infty0
\lim_{n\to{+\infty}} v_n=l’\infty\infty\infty
\lim_{n\to{+\infty}} u_nv_n=l\times l’\infty\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer la règle des signes pour conclure.

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=ll\ne0l\infty\infty0
\lim_{n\to{+\infty}}v_n=l’\ne00\inftyl\infty0
\lim_{n\to{+\infty}}\frac{u_n}{v_n}=\frac{l}{l’}\infty0\inftyForme indéterminéeForme indéterminée

Remarque

quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer la règle des signes pour conclure.

Exercice n°1 (le terme général est une somme )

Déterminer la limite de la suite (u_n) dans chaque cas.

  1. u_n=n^2+6n+1 
conjecture avec la calculatrice TI 83
correction

2. u_n=-2n^2-n 

conjecture avec la calculatrice TI 83
correction

3.u_n=n^2+\sqrt{n} 

conjecture avec la calculatrice TI 83
correction

4.u_n=n^2-2n 

conjecture avec la calculatrice TI 83
correction

Exercice n°2 ( le terme général est un produit )

Déterminer la limite de la suite (u_n) dans chaque cas.

  1. u_n=n\sqrt{n} 
conjecture avec la calculatrice TI 83
correction

2. u_n=n^2(1-n) 

conjecture avec la calculatrice TI 83
correction

3.u_n=(-2n^2-1)(1-n) 

conjecture avec la calculatrice TI 83
correction

4.u_n=2n^2(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}) 

conjecture avec la calculatrice TI 83
correction

Exercice n°3 ( le terme général est un quotient )

Déterminer la limite de la suite (u_n) dans chaque cas.

  1. u_n=\frac{2+\frac{1}{n}}{1-\frac{1}{n^2}} pour n\geq 2
conjecture avec la calculatrice TI 83
correction

2. u_n=\frac{2+n}{3-n} pour n\geq 4

conjecture avec la calculatrice TI 83
correction

3.u_n=\frac{3n}{n^2+1} pour n\geq 1

conjecture avec la calculatrice TI 83
correction

4.u_n=\frac{2n^2}{n+1} pour n\in  \mathbf{N}

conjecture avec la calculatrice TI 83
correction

Propriétés : limites et comparaisons

Propriété n°3

Soient deux suites (u_n) et (v_n) telles qu’à partir d’un certain rang, u_n\leq v_n,

Si \lim_{n \to {+\infty}}u_n=+\infty alors \lim_{n \to {+\infty}}v_n=+\infty 

Si \lim_{n \to {+\infty}}v_n=-\infty alors \lim_{n \to {+\infty}}u_n=-\infty 

Exercice n°4 

Déterminer la limite de la suite (u_n) dans chaque cas.

  1. u_n=-\frac{n}{2}+\sqrt{n^2+1} pour n\in \mathbf{N}. On montrera que u_n\geq \frac{n}{2}.
conjecture avec la calculatrice TI 83
correction

2. u_n=3n+cos(n) pour n\in \mathbf{N}. On montrera que u_n\geq 3n-1.

conjecture avec la calculatrice TI 83
correction

3.u_n=-3n-sin(n) pour n\in \mathbf{N}. On montrera que u_n\leq 1-3n.

conjecture avec la calculatrice TI 83
correction

Propriété n°4

Soient deux suites (u_n) et (v_n) qui convergent respectivement vers  l et l’.

On suppose qu’à partir d’un certain rang, u_n\leq v_n.

Alors l \leq l’

Théorème des gendarmes

Soient trois suites (u_n), (v_n) et (w_n) telles  qu’à partir d’un certain rang, u_n\leq v_n\leq w_n.

Si u_n et w_n convergent vers l alors v_n converge vers l.

Exercice n°5 

Déterminer la limite de la suite (u_n) dans chaque cas.

  1. u_n=\frac{(-1)^n}{n+1} pour n\in \mathbf{N}. On montrera que \frac{-1}{n+1}\leq u_n\leq \frac{1}{n+1}.
conjecture avec la calculatrice TI 83
correction

2. u_n=3+\frac{cos(n)}{n^2} pour n\geq 1. On montrera que 3-\frac{1}{n^2}\leq u_n\leq 3+\frac{1}{n^2}.

conjecture avec la calculatrice TI 83
correction

©2020 – Math’O karé SAS

On s’intéresse à la suite définie par u_n=n^2+6n+1. On conjecture la limite en utilisant la table de valeurs et le graphique de la TI 83.

Pour étudier le comportement de la suite (u_n) lorsque les valeurs de n deviennent très grandes, il faut descendre dans le tableau . Il semble que les valeurs de (u_n) deviennent très grandes.

Le nuage de points de coordonnées  (n;u_n) ci-dessus permet de dire que les valeurs de u_n semblent devenir très grandes. 

Il semble que quand n se rapproche de +\infty, les (u_n) se rapprochent de +\infty.

u_n=n^2+6n+1

On veut calculer \lim_{n\to{+\infty}}u_n 

On répond à la question suivante : u_n est-elle une somme, un produit  ou un quotient ?

C’est la somme de trois termes :

n^2 , 6n et 1.

On calcule d’abord les limites des trois termes à l’aide de la propriété n°2 :

Les suites de terme général n, n^2, n^3,…, n^k ( k entier naturel) et  \sqrt{n} vers +\infty quand n tend vers +\infty .

\lim_{n\to{+\infty}}n^2=+\infty d’après la propriété n°2

\lim_{n\to{+\infty}}n=+\infty d’après la propriété n°2.

Comme 6 est positif

\lim_{n\to{+\infty}}6n=+\infty

\lim_{n\to{+\infty}}1=1 car il ne dépend pas de n

On applique ensuite le théorème du cours sur la somme , colonne 4 puis colonne 2.

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=lll+\infty-\infty+\infty
\lim_{n\to{+\infty}}v_n=l’+\infty-\infty+\infty-\infty-\infty
\lim_{n\to{+\infty}}u_n+v_n=l+l’+\infty-\infty+\infty-\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.

\lim_{n\to{+\infty}} u_n=ll\ne0\infty0
\lim_{n\to{+\infty}} v_n=l’\infty\infty\infty
\lim_{n\to{+\infty}} u_nv_n=l\times l’\infty\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=ll\ne0l\infty\infty0
\lim_{n\to{+\infty}}v_n=l’\ne00\inftyl\infty0
\lim_{n\to{+\infty}}\frac{u_n}{v_n}=\frac{l}{l’}\infty0\inftyForme indéterminéeForme indéterminée

Remarque

quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

Voilà ce qu’on peut écrire sur la copie.

\lim_{n\to{+\infty}}n^2=+\infty d’après la propriété n°2

\lim_{n\to{+\infty}}n=+\infty d’après la propriété n°2.

Comme 6 est positif

\lim_{n\to{+\infty}}6n=+\infty

\lim_{n\to{+\infty}}1=1 car il ne dépend pas de n

D’après le théorème sur la somme : \lim_{n\to{+\infty}}n^2+6n+1=+\infty 

Donc \lim_{n\to{+\infty}}u_n=+\infty

 

 

On s’intéresse à la suite définie par u_n=-2n^2-n. On conjecture la limite en utilisant la table de valeurs et le graphique de la TI 83.

Pour étudier le comportement de la suite (u_n) lorsque les valeurs de n deviennent très grandes, il faut descendre dans le tableau . Il semble que les valeurs de (u_n) deviennent très petites.

Le nuage de points de coordonnées  (n;u_n) ci-dessus permet de dire que les valeurs de u_n semblent devenir très petites. 

Il semble que quand n se rapproche de +\infty, les (u_n) se rapprochent de -\infty.

u_n=-2n^2-n

On veut calculer \lim_{n\to{+\infty}}u_n 

On répond à la question suivante : u_n est-elle une somme, un produit  ou un quotient ?

C’est la somme de deux termes :

-2n^2 et -n.

On calcule d’abord les limites des deux termes à l’aide de la propriété n°2 :

Les suites de terme général n, n^2, n^3,…, n^k ( k entier naturel)  tendent vers +\infty quand n tend vers +\infty .

\lim_{n\to{+\infty}}n^2=+\infty d’après la propriété n°2.

Comme -2 est négatif

\lim_{n\to{+\infty}}-2n^2=-\infty

\lim_{n\to{+\infty}}n=+\infty d’après la propriété n°2.

Comme -1 est négatif

\lim_{n\to{+\infty}}-n=-\infty

On applique ensuite le théorème du cours sur la somme, 5ème colonne.

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=lll+\infty-\infty+\infty
\lim_{n\to{+\infty}}v_n=l’+\infty-\infty+\infty-\infty-\infty
\lim_{n\to{+\infty}}u_n+v_n=l+l’+\infty-\infty+\infty-\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.

\lim_{n\to{+\infty}} u_n=ll\ne0\infty0
\lim_{n\to{+\infty}} v_n=l’\infty\infty\infty
\lim_{n\to{+\infty}} u_nv_n=l\times l’\infty\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=ll\ne0l\infty\infty0
\lim_{n\to{+\infty}}v_n=l’\ne00\inftyl\infty0
\lim_{n\to{+\infty}}\frac{u_n}{v_n}=\frac{l}{l’}\infty0\inftyForme indéterminéeForme indéterminée

Remarque

quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

Voilà ce qu’on peut écrire sur la copie.

\lim_{n\to{+\infty}}n^2=+\infty d’après la propriété n°2.

Comme -2 est négatif

\lim_{n\to{+\infty}}-2n^2=-\infty

\lim_{n\to{+\infty}}n=+\infty d’après la propriété n°2.

Comme -1 est négatif

\lim_{n\to{+\infty}}-n=-\infty

D’après le théorème sur la somme

\lim_{n\to{+\infty}}-2n^2-n=-\infty

Donc \lim_{n\to{+\infty}}u_n=-\infty

 

 

On s’intéresse à la suite définie par u_n=n^2+\sqrt{n}. On conjecture la limite en utilisant la table de valeurs et le graphique de la TI 83.

Pour que les valeurs u_n apparaissent sous forme décimale, appuyer sur la touche mode de la calculatice et sélectionner DEC sur la ligne RESULTATS comme ci-dessous.

Pour étudier le comportement de la suite (u_n) lorsque les valeurs de n deviennent très grandes, il faut descendre dans le tableau . Il semble que les valeurs de (u_n) deviennent très grandes.

Le nuage de points de coordonnées  (n;u_n) ci-dessus permet de dire que les valeurs de u_n semblent devenir très grandes. 

Il semble que quand n se rapproche de +\infty, les (u_n) se rapprochent de +\infty.

 

 

u_n=n^2+\sqrt{n}

On veut calculer \lim_{n\to{+\infty}}u_n 

On répond à la question suivante : u_n est-elle une somme, un produit  ou un quotient ?

C’est la somme de deux termes :

n^2 et \sqrt{n}.

On calcule d’abord les limites des deux termes à l’aide de la propriété n°2 :

Les suites de terme général n, n^2, n^3,…, n^k ( k entier naturel) et \sqrt{n} tendent vers +\infty quand n tend vers +\infty .

\lim_{n\to{+\infty}}n^2=+\infty d’après la propriété n°2.

\lim_{n\to{+\infty}}\sqrt{n}=+\infty d’après la propriété n°2.

On applique ensuite le théorème du cours sur la somme colonne 4.

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=lll+\infty-\infty+\infty
\lim_{n\to{+\infty}}v_n=l’+\infty-\infty+\infty-\infty-\infty
\lim_{n\to{+\infty}}u_n+v_n=l+l’+\infty-\infty+\infty-\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.

\lim_{n\to{+\infty}} u_n=ll\ne0\infty0
\lim_{n\to{+\infty}} v_n=l’\infty\infty\infty
\lim_{n\to{+\infty}} u_nv_n=l\times l’\infty\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=ll\ne0l\infty\infty0
\lim_{n\to{+\infty}}v_n=l’\ne00\inftyl\infty0
\lim_{n\to{+\infty}}\frac{u_n}{v_n}=\frac{l}{l’}\infty0\inftyForme indéterminéeForme indéterminée

Remarque

quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

Voilà ce qu’on peut écrire sur la copie.

\lim_{n\to{+\infty}}n^2=+\infty d’après la propriété n°2.

\lim_{n\to{+\infty}}\sqrt{n}=+\infty d’après la propriété n°2.

D’après le théorème sur la somme

\lim_{n\to{+\infty}}n^2+\sqrt{n}=+\infty

Donc \lim_{n\to{+\infty}}u_n=+\infty

 

On s’intéresse à la suite définie par u_n=n^2-2n. On conjecture la limite en utilisant la table de valeurs et le graphique de la TI 83.

Pour étudier le comportement de la suite (u_n) lorsque les valeurs de n deviennent très grandes, il faut descendre dans le tableau . Il semble que les valeurs de (u_n) deviennent très grandes.

Le nuage de points de coordonnées  (n;u_n) ci-dessus permet de dire que les valeurs de u_n semblent devenir très grandes. 

Il semble que quand n se rapproche de +\infty, les (u_n) se rapprochent de +\infty.

 

u_n=n^2-2n

On veut calculer \lim_{n\to{+\infty}}u_n 

On répond à la question suivante : u_n est-elle une somme, un produit  ou un quotient ?

C’est la somme de deux termes :

n^2 et -2n.

On calcule d’abord les limites des deux termes à l’aide de la propriété n°2 :

Les suites de terme général n, n^2, n^3,…, n^k ( k entier naturel) et \sqrt{n} tendent vers +\infty quand n tend vers +\infty .

\lim_{n\to{+\infty}}n^2=+\infty d’après la propriété n°2.

\lim_{n\to{+\infty}}n=+\infty d’après la propriété n°2.

Comme -2 est négatif

\lim_{n\to{+\infty}}-2n=-\infty

On applique ensuite le théorème du cours sur la somme colonne 6

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=lll+\infty-\infty+\infty
\lim_{n\to{+\infty}}v_n=l’+\infty-\infty+\infty-\infty-\infty
\lim_{n\to{+\infty}}u_n+v_n=l+l’+\infty-\infty+\infty-\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.

\lim_{n\to{+\infty}} u_n=ll\ne0\infty0
\lim_{n\to{+\infty}} v_n=l’\infty\infty\infty
\lim_{n\to{+\infty}} u_nv_n=l\times l’\infty\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=ll\ne0l\infty\infty0
\lim_{n\to{+\infty}}v_n=l’\ne00\inftyl\infty0
\lim_{n\to{+\infty}}\frac{u_n}{v_n}=\frac{l}{l’}\infty0\inftyForme indéterminéeForme indéterminée

Remarque

quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

Hélas en appliquant le théorème, la colonne 6 donne le résultat forme indéterminée.

On modifie l’écriture de u_n en mettant en facteur le terme de plus haut degré ici 2. Et on appliquera ensuite un autre théorème, celui sur le produit.

u_n=n^2(1-\frac{2}{n})

C’est le produit de deux facteurs

n^2 et 1-\frac{2}{n}

On calcule d’abord les limites des deux facteurs à l’aide de la propriété n°1 :

Les suites de terme général \frac{1}{n} , \frac{1}{n^2} , \frac{1}{n^3} ,…, \frac{1}{n^k} ( k entier naturel) et \frac{1}{\sqrt{n}} tendent vers 0 quand n tend vers +\infty .

Et la propriété n°2 :

Les suites de terme général n, n^2, n^3,…, n^k ( k entier naturel) et \sqrt{n} tendent vers +\infty quand n tend vers +\infty .

\lim_{n\to{+\infty}}n^2=+\infty d’après la propriété n°2.

\lim_{n\to{+\infty}}\frac{1}{n}=0 d’après la propriété n°1.

\lim_{n\to{+\infty}}-\frac{2}{n}=0

\lim_{n\to{+\infty}}1=1

Donc par somme

\lim_{n\to{+\infty}}1-\frac{2}{n}=1

 

Voilà ce qu’on peut écrire sur la copie.

On ne peut pas conclure avec le théorème sur la somme donc on factorise :

u_n=n^2(1-\frac{2}{n})

\lim_{n\to{+\infty}}n^2=+\infty d’après la propriété n°2.

\lim_{n\to{+\infty}}\frac{1}{n}=0 d’après la propriété n°1.

\lim_{n\to{+\infty}}-\frac{2}{n}=0\\\lim_{n\to{+\infty}}1=1

Donc par somme

\lim_{n\to{+\infty}}1-\frac{2}{n}=1

D’après le théorème sur le produit

\lim_{n\to{+\infty}}n^2(1-\frac{2}{n})=+\infty

Donc \lim_{n\to{+\infty}}u_n=+\infty

 

 

On s’intéresse à la suite définie par u_n=n\sqrt{n}. On conjecture la limite en utilisant la table de valeurs et le graphique de la TI 83.

Pour que les valeurs u_n apparaissent sous forme décimale, appuyer sur la touche mode de la calculatice et sélectionner DEC sur la ligne RESULTATS comme ci-dessous.

Pour étudier le comportement de la suite (u_n) lorsque les valeurs de n deviennent très grandes, il faut descendre dans le tableau . Il semble que les valeurs de (u_n) deviennent très grandes.

Le nuage de points de coordonnées  (n;u_n) ci-dessus permet de dire que les valeurs de u_n semblent devenir très grandes. 

Il semble que quand n se rapproche de +\infty, les (u_n) se rapprochent de +\infty.

 

 

u_n=n\sqrt{n}

On veut calculer \lim_{n\to{+\infty}}u_n 

On répond à la question suivante : u_n est-elle une somme, un produit  ou un quotient ?

C’est le produit de deux facteurs :

n et \sqrt{n}.

On calcule d’abord les limites des deux facteurs à l’aide de la propriété n°2 :

Les suites de terme général n, n^2, n^3,…, n^k ( k entier naturel)  tendent vers +\infty quand n tend vers +\infty .

\lim_{n\to{+\infty}}n=+\infty d’après la propriété n°2.

\lim_{n\to{+\infty}}\sqrt{n}=+\infty d’après la propriété n°2.

On applique ensuite le théorème du cours sur le produit, 3ème colonne. Cliquer sur le plus situé à gauche de : le terme général est un produit. 

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=lll+\infty-\infty+\infty
\lim_{n\to{+\infty}}v_n=l’+\infty-\infty+\infty-\infty-\infty
\lim_{n\to{+\infty}}u_n+v_n=l+l’+\infty-\infty+\infty-\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.

\lim_{n\to{+\infty}} u_n=ll\ne0\infty0
\lim_{n\to{+\infty}} v_n=l’\infty\infty\infty
\lim_{n\to{+\infty}} u_nv_n=l\times l’\infty\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=ll\ne0l\infty\infty0
\lim_{n\to{+\infty}}v_n=l’\ne00\inftyl\infty0
\lim_{n\to{+\infty}}\frac{u_n}{v_n}=\frac{l}{l’}\infty0\inftyForme indéterminéeForme indéterminée

Remarque

quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

Voilà ce qu’on peut écrire sur la copie.

\lim_{n\to{+\infty}}n=+\infty d’après la propriété n°2.

\lim_{n\to{+\infty}}\sqrt{n}=+\infty d’après la propriété n°2.

D’après le théorème sur le produit

\lim_{n\to{+\infty}}n\sqrt{n}=+\infty

Donc \lim_{n\to{+\infty}}u_n=+\infty

 

 

On s’intéresse à la suite définie par u_n=n^2(1-n). On conjecture la limite en utilisant la table de valeurs et le graphique de la TI 83.

Pour étudier le comportement de la suite (u_n) lorsque les valeurs de n deviennent très grandes, il faut descendre dans le tableau . Il semble que les valeurs de (u_n) deviennent très petites.

Le nuage de points de coordonnées  (n;u_n) ci-dessus permet de dire que les valeurs de u_n semblent devenir très petites. 

Il semble que quand n se rapproche de +\infty, les (u_n) se rapprochent de -\infty.

u_n=n^2(1-n)

On veut calculer \lim_{n\to{+\infty}}u_n 

On répond à la question suivante : u_n est-elle une somme, un produit  ou un quotient ?

C’est le produit de deux facteurs :

n^2 et 1-n.

On calcule d’abord les limites des deux facteurs à l’aide de la propriété n°2 :

Les suites de terme général n, n^2, n^3,…, n^k ( k entier naturel)  et \sqrt{n} vers +\infty quand n tend vers +\infty .

\lim_{n\to{+\infty}}n^2=+\infty d’après la propriété n°2.

\lim_{n\to{+\infty}}n=+\infty d’après la propriété n°2.

-1 est négatif donc

\lim_{n\to{+\infty}}-n=-\infty

\lim_{n\to{+\infty}}1=1 car 1 ne dépend pas de n

D’après le théorème sur la somme :

\lim_{n\to{+\infty}}1-n=-\infty

On applique ensuite le théorème du cours sur le produit, 3ème colonne. Cliquer sur le plus situé à gauche de : le terme général est un produit. 

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=lll+\infty-\infty+\infty
\lim_{n\to{+\infty}}v_n=l’+\infty-\infty+\infty-\infty-\infty
\lim_{n\to{+\infty}}u_n+v_n=l+l’+\infty-\infty+\infty-\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.

\lim_{n\to{+\infty}} u_n=ll\ne0\infty0
\lim_{n\to{+\infty}} v_n=l’\infty\infty\infty
\lim_{n\to{+\infty}} u_nv_n=l\times l’\infty\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=ll\ne0l\infty\infty0
\lim_{n\to{+\infty}}v_n=l’\ne00\inftyl\infty0
\lim_{n\to{+\infty}}\frac{u_n}{v_n}=\frac{l}{l’}\infty0\inftyForme indéterminéeForme indéterminée

Remarque

quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

Voilà ce qu’on peut écrire sur la copie.

\lim_{n\to{+\infty}}n^2=+\infty d’après la propriété n°2.

\lim_{n\to{+\infty}}n=+\infty d’après la propriété n°2.

-1 est négatif donc

\lim_{n\to{+\infty}}-n=-\infty\\\lim_{n\to{+\infty}}1=1 car 1 ne dépend pas de n

D’après le théorème sur la somme :

\lim_{n\to{+\infty}}1-n=-\infty

D’après le théorème sur le produit

\lim_{n\to{+\infty}}n^2(1-n)=-\infty

Donc \lim_{n\to{+\infty}}u_n=-\infty

 

 

On s’intéresse à la suite définie par u_n=(-2n^2-1)(-n+1). On conjecture la limite en utilisant la table de valeurs et le graphique de la TI 83.

Pour étudier le comportement de la suite (u_n) lorsque les valeurs de n deviennent très grandes, il faut descendre dans le tableau . Il semble que les valeurs de (u_n) deviennent très grandes.

Le nuage de points de coordonnées  (n;u_n) ci-dessus permet de dire que les valeurs de u_n semblent devenir très grandes. 

Il semble que quand n se rapproche de +\infty, les (u_n) se rapprochent de +\infty.

u_n=(-2n^2-1)(1-n)

On veut calculer \lim_{n\to{+\infty}}u_n 

On répond à la question suivante : u_n est-elle une somme, un produit  ou un quotient ?

C’est le produit de deux facteurs :

-2n^2-1 et 1-n.

On calcule d’abord les limites des deux facteurs à l’aide de la propriété n°2 :

Les suites de terme général n, n^2, n^3,…, n^k ( k entier naturel)  et \sqrt{n} vers +\infty quand n tend vers +\infty .

\lim_{n\to{+\infty}}n^2=+\infty d’après la propriété n°2.

-2 est négatif donc

\lim_{n\to{+\infty}}-2n^2=-\infty

\lim_{n\to{+\infty}}-1=-1 car -1 ne dépend pas de n

D’après le théorème sur la somme :

\lim_{n\to{+\infty}}-2n^2-1=-\infty

\lim_{n\to{+\infty}}n=+\infty d’après la propriété n°2.

-1 est négatif donc

\lim_{n\to{+\infty}}-n=-\infty

\lim_{n\to{+\infty}}1=1 car 1 ne dépend pas de n

D’après le théorème sur la somme :

\lim_{n\to{+\infty}}1-n=-\infty

On applique ensuite le théorème du cours sur le produit, 3ème colonne. Cliquer sur le plus situé à gauche de : le terme général est un produit. 

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=lll+\infty-\infty+\infty
\lim_{n\to{+\infty}}v_n=l’+\infty-\infty+\infty-\infty-\infty
\lim_{n\to{+\infty}}u_n+v_n=l+l’+\infty-\infty+\infty-\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.

\lim_{n\to{+\infty}} u_n=ll\ne0\infty0
\lim_{n\to{+\infty}} v_n=l’\infty\infty\infty
\lim_{n\to{+\infty}} u_nv_n=l\times l’\infty\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=ll\ne0l\infty\infty0
\lim_{n\to{+\infty}}v_n=l’\ne00\inftyl\infty0
\lim_{n\to{+\infty}}\frac{u_n}{v_n}=\frac{l}{l’}\infty0\inftyForme indéterminéeForme indéterminée

Remarque

quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

Voilà ce qu’on peut écrire sur la copie.

\lim_{n\to{+\infty}}n^2=+\infty d’après la propriété n°2.

-2 est négatif donc

\lim_{n\to{+\infty}}-2n^2=-\infty\\\lim_{n\to{+\infty}}-1=-1 car -1 ne dépend pas de n

D’après le théorème sur la somme :

\lim_{n\to{+\infty}}-2n^2-1=-\infty

\lim_{n\to{+\infty}}n=+\infty d’après la propriété n°2.

-1 est négatif donc

\lim_{n\to{+\infty}}-n=-\infty\\\lim_{n\to{+\infty}}1=1 car 1 ne dépend pas de n

D’après le théorème sur la somme :

\lim_{n\to{+\infty}}1-n=-\infty

D’après le théorème sur le produit

\lim_{n\to{+\infty}}(-2n^2-1)(1-n)=+\infty

Donc \lim_{n\to{+\infty}}u_n=+\infty

 

 

On s’intéresse à la suite définie par u_n=2n^2(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}). On conjecture la limite en utilisant la table de valeurs et le graphique de la TI 83.

Pour étudier le comportement de la suite (u_n) lorsque les valeurs de n deviennent très grandes, il faut descendre dans le tableau . Il semble que les valeurs de (u_n) deviennent très grandes.

Le nuage de points de coordonnées  (n;u_n) ci-dessus permet de dire que les valeurs de u_n semblent devenir très grandes. 

Il semble que quand n se rapproche de +\infty, les (u_n) se rapprochent de +\infty.

u_n=2n^2(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}) 

On veut calculer \lim_{n\to{+\infty}}u_n 

On répond à la question suivante : u_n est-elle une somme, un produit  ou un quotient ?

C’est le produit de deux facteurs :

2n^2 et \frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}.

On calcule d’abord les limites des deux facteurs à l’aide de la propriété n°1 :

Les suites de terme général \frac{1}{n} , \frac{1}{n^2} , \frac{1}{n^3} ,…, \frac{1}{n^k} ( k entier naturel) et \frac{1}{\sqrt{n}} tendent vers 0 quand n tend vers +\infty .

Et de la propriété n°2 :

Les suites de terme général n, n^2, n^3,…, n^k ( k entier naturel)  et \sqrt{n} tendent vers +\infty quand n tend vers +\infty .

\lim_{n\to{+\infty}}n^2=+\infty d’après la propriété n°2.

2 est positif donc

\lim_{n\to{+\infty}}2n^2=+\infty

 

\lim_{n\to{+\infty}}\frac{1}{n}=0 d’après la propriété n°1.

\lim_{n\to{+\infty}}\frac{1}{n^2}=0 d’après la propriété n°1.

D’après le théorème sur la somme :

\lim_{n\to{+\infty}}\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}=0

On applique ensuite le théorème du cours sur le produit, 4ème colonne. Cliquer sur le plus situé à gauche de : le terme général est un produit. 

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=lll+\infty-\infty+\infty
\lim_{n\to{+\infty}}v_n=l’+\infty-\infty+\infty-\infty-\infty
\lim_{n\to{+\infty}}u_n+v_n=l+l’+\infty-\infty+\infty-\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.

\lim_{n\to{+\infty}} u_n=ll\ne0\infty0
\lim_{n\to{+\infty}} v_n=l’\infty\infty\infty
\lim_{n\to{+\infty}} u_nv_n=l\times l’\infty\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=ll\ne0l\infty\infty0
\lim_{n\to{+\infty}}v_n=l’\ne00\inftyl\infty0
\lim_{n\to{+\infty}}\frac{u_n}{v_n}=\frac{l}{l’}\infty0\inftyForme indéterminéeForme indéterminée

Remarque

quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

Hélas c’est une forme indéterminée, il faut modifier l’écriture de u_n et appliquer un autre théorème.

On développe 2n^2(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2})={2n^2}\times{\frac{1}{n}}+{2n^2}\times{\frac{1}{n^2}} 

\hspace{3.8cm}=2n+2 

Puis  on applique le théorème sur la somme.

Voilà ce qu’on peut écrire sur la copie.

\lim_{n\to{+\infty}}n=+\infty d’après la propriété n°2.

2 est positif donc

\lim_{n\to{+\infty}}2n=+\infty

\lim_{n\to{+\infty}}2=2 car 2 ne dépend pas de n

D’après le théorème sur la somme

\lim_{n\to{+\infty}}2n+2=+\infty

Donc \lim_{n\to{+\infty}}u_n=+\infty

 

 

On s’intéresse à la suite définie par u_n=\frac{2+\frac{1}{n}}{1-\frac{1}{n^2}}, n \geq 2. On conjecture la limite en utilisant la table de valeurs et le graphique de la TI 83.

Pour étudier le comportement de la suite (u_n) lorsque les valeurs de n deviennent très grandes, il faut descendre dans le tableau . Il semble que les valeurs de (u_n) se rapprochent de 2.

Le nuage de points de coordonnées  (n;u_n) ci-dessus permet de dire que les valeurs de u_n semblent se rapprocher de 2. 

Il semble que quand n se rapproche de +\infty, les (u_n) se rapprochent de 2.

u_n=\frac{2+\frac{1}{n}}{1-\frac{1}{n^2}} pour n\geq 2

On veut calculer \lim_{n\to{+\infty}}u_n 

On répond à la question suivante : u_n est-elle une somme, un produit  ou un quotient ?

C’est un quotient 

2+\frac{1}{n} est le numérateur et 1-\frac{1}{n^2} est le dénominateur.

On calcule d’abord les limites du numérateur et du dénominateur à l’aide de la propriété n°1 :

Les suites de terme général \frac{1}{n} , \frac{1}{n^2} , \frac{1}{n^3} ,…, \frac{1}{n^k} ( k entier naturel) et \frac{1}{\sqrt{n}} tendent vers 0 quand n tend vers +\infty .

Et de la propriété n°2 :

Les suites de terme général n, n^2, n^3,…, n^k ( k entier naturel)  tendent vers +\infty quand n tend vers +\infty .

\lim_{n\to{+\infty}}\frac{1}{n}=0 d’après la propriété n°1.

\lim_{n\to{+\infty}}2=2 car 2 ne dépend pas de n.

D’après le théorème sur la somme :

\lim_{n\to{+\infty}}2+\frac{1}{n}=2

\lim_{n\to{+\infty}}\frac{1}{n^2}=0 d’après la propriété n°1.

Donc \lim_{n\to{+\infty}}-\frac{1}{n^2}=0

\lim_{n\to{+\infty}}1=1 car 1 ne dépend pas de n.

D’après le théorème sur la somme :

\lim_{n\to{+\infty}}1-\frac{1}{n^2}=1

On applique ensuite le théorème du cours sur le quotient, 1ère colonne. Cliquer sur le plus situé à gauche de : le terme général est un quotient. 

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=lll+\infty-\infty+\infty
\lim_{n\to{+\infty}}v_n=l’+\infty-\infty+\infty-\infty-\infty
\lim_{n\to{+\infty}}u_n+v_n=l+l’+\infty-\infty+\infty-\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.

\lim_{n\to{+\infty}} u_n=ll\ne0\infty0
\lim_{n\to{+\infty}} v_n=l’\infty\infty\infty
\lim_{n\to{+\infty}} u_nv_n=l\times l’\infty\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=ll\ne0l\infty\infty0
\lim_{n\to{+\infty}}v_n=l’\ne00\inftyl\infty0
\lim_{n\to{+\infty}}\frac{u_n}{v_n}=\frac{l}{l’}\infty0\inftyForme indéterminéeForme indéterminée

Remarque

quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

Voilà ce qu’on peut écrire sur la copie.

\lim_{n\to{+\infty}}\frac{1}{n}=0 d’après la propriété n°1.

\lim_{n\to{+\infty}}2=2 car 2 ne dépend pas de n.

D’après le théorème sur la somme :

\lim_{n\to{+\infty}}2+\frac{1}{n}=2

\lim_{n\to{+\infty}}\frac{1}{n^2}=0 d’après la propriété n°1.

Donc \lim_{n\to{+\infty}}-\frac{1}{n^2}=0\\\lim_{n\to{+\infty}}1=1 car 1 ne dépend pas de n.

D’après le théorème sur la somme :

\lim_{n\to{+\infty}}1-\frac{1}{n^2}=1

D’après le théorème sur le quotient

\lim_{n\to{+\infty}}\frac{2+\frac{1}{n}}{1-\frac{1}{n^2}}=2

Donc \lim_{n\to{+\infty}}u_n=2

On s’intéresse à la suite définie par u_n=\frac{2+n}{3+n}. On conjecture la limite en utilisant la table de valeurs et le graphique de la TI 83.

Pour étudier le comportement de la suite (u_n) lorsque les valeurs de n deviennent très grandes, il faut descendre dans le tableau . Il semble que les valeurs de (u_n) se rapprochent de 1.

Le nuage de points de coordonnées  (n;u_n) ci-dessus permet de dire que les valeurs de u_n semblent se rapprocher de 1. 

Il semble que quand n se rapproche de +\infty, les (u_n) se rapprochent de 1.

u_n=\frac{2+n}{3-n} pour n\geq 4

On veut calculer \lim_{n\to{+\infty}}u_n 

On répond à la question suivante : u_n est-elle une somme, un produit  ou un quotient ?

C’est un quotient 

2+n est le numérateur et 3-n est le dénominateur.

On calcule d’abord les limites du numérateur et du dénominateur à l’aide de la propriété n°2 :

Les suites de terme général n, n^2, n^3,…, n^k ( k entier naturel)  et \sqrt{n} tendent vers +\infty quand n tend vers +\infty .

\lim_{n\to{+\infty}}n=+\infty d’après la propriété n°2.

\lim_{n\to{+\infty}}2=2 car 2 ne dépend pas de n.

D’après le théorème sur la somme :

\lim_{n\to{+\infty}}2+n=+\infty

\lim_{n\to{+\infty}}n=+\infty d’après la propriété n°2.

Donc \lim_{n\to{+\infty}}-n=-\infty

\lim_{n\to{+\infty}}3=3 car 3 ne dépend pas de n.

D’après le théorème sur la somme :

\lim_{n\to{+\infty}}3-n=-\infty

On applique ensuite le théorème du cours sur le quotient, 5ème colonne. Cliquer sur le plus situé à gauche de : le terme général est un quotient. 

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=lll+\infty-\infty+\infty
\lim_{n\to{+\infty}}v_n=l’+\infty-\infty+\infty-\infty-\infty
\lim_{n\to{+\infty}}u_n+v_n=l+l’+\infty-\infty+\infty-\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.

\lim_{n\to{+\infty}} u_n=ll\ne0\infty0
\lim_{n\to{+\infty}} v_n=l’\infty\infty\infty
\lim_{n\to{+\infty}} u_nv_n=l\times l’\infty\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=ll\ne0l\infty\infty0
\lim_{n\to{+\infty}}v_n=l’\ne00\inftyl\infty0
\lim_{n\to{+\infty}}\frac{u_n}{v_n}=\frac{l}{l’}\infty0\inftyForme indéterminéeForme indéterminée

Remarque

quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

Hélas c’est une forme indéterminée. Il faut mettre en facteur au numérateur le terme de plus haut degré en n(ici n) et idem au dénominateur (ici n) .

\frac{2+n}{3-n}=\frac{n(\frac{2}{n}+1)}{n(\frac{3}{n}-1)}

\frac{2+n}{3-n}=\frac{\frac{2}{n}+1}{\frac{3}{n}-1}

\lim_{n\to{+\infty}}\frac{1}{n}=0 d’après la propriété n°1.

Donc \lim_{n\to{+\infty}}\frac{2}{n}=0

\lim_{n\to{+\infty}}1=1 car 1 ne dépend pas de n.

D’après le théorème sur la somme :

\lim_{n\to{+\infty}}\frac{2}{n}+1=1

\lim_{n\to{+\infty}}\frac{1}{n}=0 d’après la propriété n°1.

Donc \lim_{n\to{+\infty}}\frac{3}{n}=0

\lim_{n\to{+\infty}}-1=-1 car -1 ne dépend pas de n.

D’après le théorème sur la somme :

\lim_{n\to{+\infty}}\frac{3}{n}-1=-1

On applique ensuite le théorème du cours sur le quotient, 1ère colonne. Cliquer sur le plus situé à gauche de : le terme général est un quotient. 

Voilà ce qu’on peut écrire sur la copie.

\lim_{n\to{+\infty}}\frac{1}{n}=0 d’après la propriété n°1.

Donc \lim_{n\to{+\infty}}\frac{2}{n}=0\\\lim_{n\to{+\infty}}1=1 car 1 ne dépend pas de n.

D’après le théorème sur la somme :

\lim_{n\to{+\infty}}\frac{2}{n}+1=1

\lim_{n\to{+\infty}}\frac{1}{n}=0 d’après la propriété n°1.

Donc \lim_{n\to{+\infty}}\frac{3}{n}=0\\\lim_{n\to{+\infty}}-1=-1 car -1 ne dépend pas de n.

D’après le théorème sur la somme :

\lim_{n\to{+\infty}}\frac{3}{n}-1=-1

D’après le théorème sur le quotient

\lim_{n\to{+\infty}}\frac{\frac{2}{n}+1}{\frac{3}{n}-1}=-1

Donc \lim_{n\to{+\infty}}u_n=-1

On s’intéresse à la suite définie par u_n=\frac{3n}{n^2}. On conjecture la limite en utilisant la table de valeurs et le graphique de la TI 83.

Pour étudier le comportement de la suite (u_n) lorsque les valeurs de n deviennent très grandes, il faut descendre dans le tableau . Il semble que les valeurs de (u_n) se rapprochent de 0.

Le nuage de points de coordonnées  (n;u_n) ci-dessus permet de dire que les valeurs de u_n semblent se rapprocher de 0. 

Il semble que quand n se rapproche de +\infty, les (u_n) se rapprochent de 0.

u_n=\frac{3n}{n^2+1} pour n\geq 1

On veut calculer \lim_{n\to{+\infty}}u_n 

On répond à la question suivante : u_n est-elle une somme, un produit  ou un quotient ?

C’est un quotient 

3n est le numérateur et n^2+1 est le dénominateur.

On calcule d’abord les limites du numérateur et du dénominateur à l’aide de la propriété n°2 :

Les suites de terme général n, n^2, n^3,…, n^k ( k entier naturel) et \sqrt{n} tendent vers +\infty quand n tend vers +\infty .

\lim_{n\to{+\infty}}n=+\infty d’après la propriété n°2.

Comme 3 est positif

\lim_{n\to{+\infty}}3n=+\infty

\lim_{n\to{+\infty}}n^2=+\infty d’après la propriété n°2.

\lim_{n\to{+\infty}}1=1 car 1 ne dépend pas de n

Par somme

\lim_{n\to{+\infty}}n^2+1=+\infty

On applique ensuite le théorème du cours sur le quotient, 5ème colonne. Cliquer sur le plus situé à gauche de : le terme général est un quotient. 

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=lll+\infty-\infty+\infty
\lim_{n\to{+\infty}}v_n=l’+\infty-\infty+\infty-\infty-\infty
\lim_{n\to{+\infty}}u_n+v_n=l+l’+\infty-\infty+\infty-\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.

\lim_{n\to{+\infty}} u_n=ll\ne0\infty0
\lim_{n\to{+\infty}} v_n=l’\infty\infty\infty
\lim_{n\to{+\infty}} u_nv_n=l\times l’\infty\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=ll\ne0l\infty\infty0
\lim_{n\to{+\infty}}v_n=l’\ne00\inftyl\infty0
\lim_{n\to{+\infty}}\frac{u_n}{v_n}=\frac{l}{l’}\infty0\inftyForme indéterminéeForme indéterminée

Remarque

quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

Hélas c’est une forme indéterminée. Il faut mettre en facteur au numérateur le terme de plus haut degré en n(ici n) et idem au dénominateur (ici n^2) .

\frac{3n}{n^2+1}=\frac{n\times3}{n^2(1+\frac{1}{n^2})}

\hspace{0.8cm}=\frac{3}{n(1+\frac{1}{n^2})}

\lim_{n\to{+\infty}}3=3 car 3 ne dépend pas de n.

 

\lim_{n\to{+\infty}}n=+\infty d’après la propriété n°2.

\lim_{n\to{+\infty}}\frac{1}{n^2}=0 d’après la propriété n°1.

Donc \lim_{n\to{+\infty}}1+\frac{1}{n^2}=1

D’après le théorème sur le produit :

\lim_{n\to{+\infty}}n(1+\frac{1}{n^2})=+\infty

On applique ensuite le théorème du cours sur le quotient, 3ème colonne. Cliquer sur le plus situé à gauche de : le terme général est un quotient. 

Voilà ce qu’on peut écrire sur la copie.

C’est une forme indéterminée. Il faut mettre en facteur au numérateur le terme de plus haut degré en n(ici n) et idem au dénominateur (ici n^2) .

\frac{3n}{n^2+1}=\frac{n\times3}{n^2(1+\frac{1}{n^2})}\\\hspace{0.8cm}=\frac{3}{n(1+\frac{1}{n^2})}

\lim_{n\to{+\infty}}3=3 car 3 ne dépend pas de n.

\lim_{n\to{+\infty}}n=+\infty d’après la propriété n°2.

\lim_{n\to{+\infty}}\frac{1}{n^2}=0 d’après la propriété n°1.

Donc \lim_{n\to{+\infty}}1+\frac{1}{n^2}=1

D’après le théorème sur le produit :

\lim_{n\to{+\infty}}n(1+\frac{1}{n^2})=+\infty

D’après le théorème sur le quotient

\lim_{n\to{+\infty}}\frac{3}{n(1+\frac{1}{n^2})}=0

Donc \lim_{n\to{+\infty}}u_n=0

On s’intéresse à la suite définie par u_n=\frac{3n^2}{n+1}. On conjecture la limite en utilisant la table de valeurs et le graphique de la TI 83.

Pour étudier le comportement de la suite (u_n) lorsque les valeurs de n deviennent très grandes, il faut descendre dans le tableau . Il semble que les valeurs de (u_n) deviennent très grandes.

Le nuage de points de coordonnées  (n;u_n) ci-dessus permet de dire que les valeurs de u_n semblent devenirt très grandes. 

Il semble que quand n se rapproche de +\infty, les (u_n) se rapprochent de +\infty.

u_n=\frac{2n^2}{n+1} pour n\in \mathbf{N}

On veut calculer \lim_{n\to{+\infty}}u_n 

On répond à la question suivante : u_n est-elle une somme, un produit  ou un quotient ?

C’est un quotient 

2n^2 est le numérateur et n+1 est le dénominateur.

On calcule d’abord les limites du numérateur et du dénominateur à l’aide de la propriété n°2 :

Les suites de terme général n, n^2, n^3,…, n^k ( k entier naturel) et \sqrt{n} tendent vers +\infty quand n tend vers +\infty .

\lim_{n\to{+\infty}}n^2=+\infty d’après la propriété n°2.

Comme 2 est positif

\lim_{n\to{+\infty}}2n^2=+\infty

\lim_{n\to{+\infty}}n=+\infty d’après la propriété n°2.

\lim_{n\to{+\infty}}1=1 car 1 ne dépend pas de n

Par somme

\lim_{n\to{+\infty}}n+1=+\infty

On applique ensuite le théorème du cours sur le quotient, 5ème colonne. Cliquer sur le plus situé à gauche de : le terme général est un quotient. 

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=lll+\infty-\infty+\infty
\lim_{n\to{+\infty}}v_n=l’+\infty-\infty+\infty-\infty-\infty
\lim_{n\to{+\infty}}u_n+v_n=l+l’+\infty-\infty+\infty-\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.

\lim_{n\to{+\infty}} u_n=ll\ne0\infty0
\lim_{n\to{+\infty}} v_n=l’\infty\infty\infty
\lim_{n\to{+\infty}} u_nv_n=l\times l’\infty\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=ll\ne0l\infty\infty0
\lim_{n\to{+\infty}}v_n=l’\ne00\inftyl\infty0
\lim_{n\to{+\infty}}\frac{u_n}{v_n}=\frac{l}{l’}\infty0\inftyForme indéterminéeForme indéterminée

Remarque

quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

Hélas c’est une forme indéterminée. Il faut mettre en facteur au numérateur le terme de plus haut degré en n(ici n^2) et idem au dénominateur (ici n) .

\frac{2n^2}{n+1}=\frac{n^2\times2}{n(1+\frac{1}{n})}

\hspace{0.8cm}=\frac{2n}{1+\frac{1}{n}}

\lim_{n\to{+\infty}}n=+\infty d’après la propriété n°2.

Comme 2 est positif

\lim_{n\to{+\infty}}2n=+\infty

\lim_{n\to{+\infty}}\frac{1}{n}=0 d’après la propriété n°1.

Donc \lim_{n\to{+\infty}}1+\frac{1}{n}=1

On applique ensuite le théorème du cours sur le quotient, 4ème colonne. Cliquer sur le plus situé à gauche de : le terme général est un quotient. 

Voilà ce qu’on peut écrire sur la copie.

C’est une forme indéterminée. Il faut mettre en facteur au numérateur le terme de plus haut degré en n(ici n^2) et idem au dénominateur (ici n) .

\frac{2n^2}{n+1}=\frac{n^2\times2}{n(1+\frac{1}{n})}\\\hspace{0.8cm}=\frac{2n}{1+\frac{1}{n}}

\lim_{n\to{+\infty}}n=+\infty d’après la propriété n°2.

Comme 2 est positif

\lim_{n\to{+\infty}}2n=+\infty

\lim_{n\to{+\infty}}\frac{1}{n}=0 d’après la propriété n°1.

Donc \lim_{n\to{+\infty}}1+\frac{1}{n}=1

D’après le théorème sur le quotient

\lim_{n\to{+\infty}}\frac{2n}{n(1+\frac{1}{n})}=+\infty

Donc \lim_{n\to{+\infty}}u_n=+\infty

On s’intéresse à la suite définie par u_n=-\frac{n}{2}+\sqrt{n^2+1}. On conjecture la limite en utilisant la table de valeurs et le graphique de la TI 83.

Pour étudier le comportement de la suite (u_n) lorsque les valeurs de n deviennent très grandes, il faut descendre dans le tableau . Il semble que les valeurs de (u_n) deviennent très grandes.

Le nuage de points de coordonnées  (n;u_n) ci-dessus permet de dire que les valeurs de u_n semblent devenir très grandes. 

Il semble que quand n se rapproche de +\infty, les (u_n) se rapprochent de +\infty.

On a u_n=-\frac{n}{2}+\sqrt{n^2+1}

On veut calculer sa limite.

Le théorème sur la somme ne fonctionne pas car on tombe sur la forme indéterminée (-\infty)+(+\infty)

On va utiliser la propriété n°3

Soient deux suites (u_n) et (v_n) telles qu’à partir d’un certain rang, u_n\leq v_n,

Si \lim_{n \to {+\infty}}u_n=+\infty alors \lim_{n \to {+\infty}}v_n=+\infty 

Si \lim_{n \to {+\infty}}v_n=-\infty alors \lim_{n \to {+\infty}}u_n=-\infty 

Montrons que u_n\geq \frac{n}{2}. La démonstration peut se faire à l’envers comme c’est indiqué ci-dessous.

étape n°1 : j’écris en bas la conclusion et j’écris l’avant-dernière ligne en remplaçant u_n par -\frac{n}{2}+\sqrt{n^2+1}

-\frac{n}{2}+\sqrt{n^2+1}\geq \frac{n}{2}

Donc u_n\geq \frac{n}{2}

étape n°2 : Je continue ma démonstration en écrivant du bas vers le haut.

J’ajoute \frac{n}{2} de chaque côté. Le sens de l’inégalité ne change pas.

\sqrt{n^2+1}\geq \frac{n}{2}+\frac{n}{2}

-\frac{n}{2}+\sqrt{n^2+1}\geq \frac{n}{2}

Donc u_n\geq \frac{n}{2}

étape n°3 : Je continue ma démonstration en écrivant du bas vers le haut.

J’ajoute \frac{n}{2}+\frac{n}{2}=n. Le sens de l’inégalité ne change pas.

\sqrt{n^2+1}\geq n

\sqrt{n^2+1}\geq \frac{n}{2}+\frac{n}{2}

-\frac{n}{2}+\sqrt{n^2+1}\geq \frac{n}{2}

Donc u_n\geq \frac{n}{2}

étape n°4 : Je continue ma démonstration en écrivant du bas vers le haut.

Je remplace n par\sqrt{n^2}. Le sens de l’inégalité ne change pas.

\sqrt{n^2+1}\geq \sqrt{n^2}

\sqrt{n^2+1}\geq n

\sqrt{n^2+1}\geq \frac{n}{2}+\frac{n}{2}

-\frac{n}{2}+\sqrt{n^2+1}\geq \frac{n}{2}

Donc u_n\geq \frac{n}{2}

étape n°5 : Je continue ma démonstration en écrivant du bas vers le haut.

J’utilise que la fonction racine carrée est croissante donc les nombres et les images varient dans le même sens. Le sens de l’inégalité ne change pas.

n^2+1\geq n^2

\sqrt{n^2+1}\geq \sqrt{n^2}

\sqrt{n^2+1}\geq n

\sqrt{n^2+1}\geq \frac{n}{2}+\frac{n}{2}

-\frac{n}{2}+\sqrt{n^2+1}\geq \frac{n}{2}

Donc u_n\geq \frac{n}{2}

étape n°6 : Je continue ma démonstration en écrivant du bas vers le haut.

J’enlève n^2 de chaque côté, le sens de l’inégalité ne change pas et  j’obtiens une inégalité qui est toujours vraie. la démonstration est finie. 

1\geq 0

n^2+1\geq n^2

\sqrt{n^2+1}\geq \sqrt{n^2}

\sqrt{n^2+1}\geq n

\sqrt{n^2+1}\geq \frac{n}{2}+\frac{n}{2}

-\frac{n}{2}+\sqrt{n^2+1}\geq \frac{n}{2}

Donc u_n\geq \frac{n}{2}

Voilà ce qu’il faut écrire sur la copie :

1\geq 0\\n^2+1\geq n^2\\\sqrt{n^2+1}\geq \sqrt{n^2}\\\sqrt{n^2+1}\geq n\\\sqrt{n^2+1}\geq \frac{n}{2}+\frac{n}{2}\\-\frac{n}{2}+\sqrt{n^2+1}\geq \frac{n}{2}

Donc u_n\geq \frac{n}{2}

Comme \lim_{n\to{+\infty}}\frac{n}{2}=+\infty

D’après la propriété n°3, on peut en déduire que 

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=+\infty

 

 

On s’intéresse à la suite définie par u_n=3n+cosn. On conjecture la limite en utilisant la table de valeurs et le graphique de la TI 83.

Pour étudier le comportement de la suite (u_n) lorsque les valeurs de n deviennent très grandes, il faut descendre dans le tableau . Il semble que les valeurs de (u_n) deviennent très grandes.

Le nuage de points de coordonnées  (n;u_n) ci-dessus permet de dire que les valeurs de u_n semblent devenir très grandes. 

Il semble que quand n se rapproche de +\infty, les (u_n) se rapprochent de +\infty.

On a u_n=3n+cos(n)

On veut calculer sa limite.

Le théorème sur la somme ne fonctionne pas car  la limite de cos(n) n’existe pas.

On va utiliser la propriété n°3

Soient deux suites (u_n) et (v_n) telles qu’à partir d’un certain rang, u_n\leq v_n,

Si \lim_{n \to {+\infty}}u_n=+\infty alors \lim_{n \to {+\infty}}v_n=+\infty 

Si \lim_{n \to {+\infty}}v_n=-\infty alors \lim_{n \to {+\infty}}u_n=-\infty 

Montrons que u_n\geq 3n-1. La démonstration peut se faire à l’envers comme c’est indiqué ci-dessous.

étape n°1 : j’écris en bas la conclusion et j’écris l’avant-dernière ligne en remplaçant u_n par 3n+cos(n)

3n+cos(n)\geq 3n-1

Donc u_n\geq 3n-1

étape n°2 : Je continue ma démonstration en écrivant du bas vers le haut.

J’enlève 3n de chaque côté, le sens de l’inégalité ne change pas et  j’obtiens une inégalité qui est toujours vraie. la démonstration est finie. 

cos(n)\geq -1

3n+cos(n)\geq 3n-1

Donc u_n\geq 3n-1

Voilà ce qu’il faut écrire sur la copie :

cos(n)\geq -1\\3n+cos(n)\geq 3n-1

Donc u_n\geq 3n-1

Comme \lim_{n\to{+\infty}}3n-1=+\infty

D’après la propriété n°3, on peut en déduire que 

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=+\infty

 

On s’intéresse à la suite définie par u_n=-3n-sin(n). On conjecture la limite en utilisant la table de valeurs et le graphique de la TI 83.

Pour étudier le comportement de la suite (u_n) lorsque les valeurs de n deviennent très grandes, il faut descendre dans le tableau . Il semble que les valeurs de (u_n) deviennent très petites.

Le nuage de points de coordonnées  (n;u_n) ci-dessus permet de dire que les valeurs de u_n semblent devenir très petites. 

Il semble que quand n se rapproche de +\infty, les (u_n) se rapprochent de -\infty.

On a u_n=-3n-sin(n)

On veut calculer sa limite.

Le théorème sur la somme ne fonctionne pas car  la limite de sin(n) n’existe pas.

On va utiliser la propriété n°3

Soient deux suites (u_n) et (v_n) telles qu’à partir d’un certain rang, u_n\leq v_n,

Si \lim_{n \to {+\infty}}u_n=+\infty alors \lim_{n \to {+\infty}}v_n=+\infty 

Si \lim_{n \to {+\infty}}v_n=-\infty alors \lim_{n \to {+\infty}}u_n=-\infty 

Montrons que u_n\leq -3n+1. La démonstration peut se faire à l’envers comme c’est indiqué ci-dessous.

étape n°1 : j’écris en bas la conclusion et j’écris l’avant-dernière ligne en remplaçant u_n par -3n-sin(n)

-3n-sin(n)\leq -3n+1

Donc u_n\leq -3n+1

étape n°2 : Je continue ma démonstration en écrivant du bas vers le haut.

J’enlève -3n de chaque côté, le sens de l’inégalité ne change pas . 

-sin(n)\leq 1

-3n-sin(n)\leq -3n+1

Donc u_n\leq -3n+1

étape n°3 : Je continue ma démonstration en écrivant du bas vers le haut.

Je divise par  -1 de chaque côté, le sens de l’inégalité  change  et  j’obtiens une inégalité qui est toujours vraie. la démonstration est finie. 

sin(n)\geq -1

-sin(n)\leq 1

-3n-sin(n)\leq -3n+1

Donc u_n\leq -3n+1

Voilà ce qu’il faut écrire sur la copie :

sin(n)\geq -1\\-sin(n)\leq 1\\-3n-sin(n)\leq -3n+1

Donc u_n\leq -3n+1

Comme \lim_{n\to{+\infty}}-3n+1=-\infty

D’après la propriété n°3, on peut en déduire que 

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=-\infty

 

 

On s’intéresse à la suite définie par u_n=\frac{(-1)^n}{n+1}. On conjecture la limite en utilisant la table de valeurs et le graphique de la TI 83.

Pour étudier le comportement de la suite (u_n) lorsque les valeurs de n deviennent très grandes, il faut descendre dans le tableau . Il semble que les valeurs de (u_n) se rapprochent de 0.

Le nuage de points de coordonnées  (n;u_n) ci-dessus permet de dire que valeurs de (u_n) semblent se  rapprocher de 0.

Il semble que quand n se rapproche de +\infty, les (u_n) se rapprochent de 0.

On a u_n=\frac{(-1)^n}{n+1}

On veut calculer sa limite.

Le théorème sur le quotient  ne fonctionne pas car  la limite de (-1)^n n’existe pas.

On va utiliser le théorème des gendarmes.

Soient trois suites (u_n), (v_n) et (w_n) telles  qu’à partir d’un certain rang, u_n\leq v_n\leq w_n.

Si u_n et w_n convergent vers l alors v_n converge vers l.

Montrons que -\frac{1}{n+1}\leq u_n\leq \frac{1}{n+1}. La démonstration peut se faire à l’envers comme c’est indiqué ci-dessous.

étape n°1 : j’écris en bas la conclusion et j’écris l’avant-dernière ligne en remplaçant u_n par \frac{(-1)^n}{n+1}

-\frac{1}{n+1}\leq \frac{(-1)^n}{n+1}\leq \frac{1}{n+1}

Donc -\frac{1}{n+1}\leq u_n\leq \frac{1}{n+1}

étape n°2 : Je continue ma démonstration en écrivant du bas vers le haut.

Je multiplie par  n+1 qui est positif de chaque côté, le sens de l’inégalité ne change pas et  j’obtiens une inégalité qui est toujours vraie. la démonstration est finie. 

-1\leq(-1)^n\leq 1

-\frac{1}{n+1}\leq \frac{(-1)^n}{n+1}\leq \frac{1}{n+1}

Donc -\frac{1}{n+1}\leq u_n\leq \frac{1}{n+1}

Voilà ce qu’il faut écrire sur la copie :

-1\leq(-1)^n\leq 1\\-\frac{1}{n+1}\leq \frac{(-1)^n}{n+1}\leq \frac{1}{n+1}

Donc -\frac{1}{n+1}\leq u_n\leq \frac{1}{n+1}

Comme \lim_{n\to{+\infty}}-\frac{1}{n+1}=0 et comme \lim_{n\to{+\infty}}\frac{1}{n+1}=0 

on peut en déduire, d’après le théorème des gendarmes  que 

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=0

 

 

On s’intéresse à la suite définie par u_n=3+\frac{cos(n)}{n^2} pour n\geq 1 . On conjecture la limite en utilisant la table de valeurs et le graphique de la TI 83.

Pour étudier le comportement de la suite (u_n) lorsque les valeurs de n deviennent très grandes, il faut descendre dans le tableau . Il semble que les valeurs de (u_n) se rapprochent de 3.

Le nuage de points de coordonnées  (n;u_n) ci-dessus permet de dire que valeurs de (u_n) semblent se  rapprocher de 3.

Il semble que quand n se rapproche de +\infty, les (u_n) se rapprochent de 3.

 

On a u_n=3+\frac{cos(n)}{n^2}

On veut calculer sa limite.

Le théorème sur le quotient  ne fonctionne pas car  la limite de cos(n) n’existe pas.

On va utiliser le théorème des gendarmes.

Soient trois suites (u_n), (v_n) et (w_n) telles  qu’à partir d’un certain rang, u_n\leq v_n\leq w_n.

Si u_n et w_n convergent vers l alors v_n converge vers l.

Montrons que 3-\frac{1}{n^2}\leq u_n\leq 3+ \frac{1}{n^2}. La démonstration peut se faire à l’envers comme c’est indiqué ci-dessous.

étape n°1 : j’écris en bas la conclusion et j’écris l’avant-dernière ligne en remplaçant u_n par 3+ \frac{cos(n)}{n^2}

3-\frac{1}{n^2}\leq 3+ \frac{cos(n)}{n^2}\leq 3+ \frac{1}{n^2}

Donc 3-\frac{1}{n^2}\leq u_n\leq 3+ \frac{1}{n^2}

étape n°2 : Je continue ma démonstration en écrivant du bas vers le haut.

J’enlève  3 de chaque côté, le sens de l’inégalité ne change pas. 

-\frac{1}{n^2}\leq  \frac{cos(n)}{n^2}\leq  \frac{1}{n^2}

3-\frac{1}{n^2}\leq 3+ \frac{cos(n)}{n^2}\leq 3+ \frac{1}{n^2}

Donc 3-\frac{1}{n^2}\leq u_n\leq 3+ \frac{1}{n^2}

étape n°3 : Je continue ma démonstration en écrivant du bas vers le haut.

Je multiplie par   n^2 qui est positif de chaque côté, le sens de l’inégalité ne change pas et  j’obtiens une inégalité qui est toujours vraie. la démonstration est finie. 

-1\leq  cos(n)\leq  1

-\frac{1}{n^2}\leq  \frac{cos(n)}{n^2}\leq  \frac{1}{n^2}

3-\frac{1}{n^2}\leq 3+ \frac{cos(n)}{n^2}\leq 3+ \frac{1}{n^2}

Donc 3-\frac{1}{n^2}\leq u_n\leq 3+ \frac{1}{n^2}

Voilà ce qu’il faut écrire sur la copie :

-1\leq  cos(n)\leq  1\\-\frac{1}{n^2}\leq  \frac{cos(n)}{n^2}\leq  \frac{1}{n^2}\\3-\frac{1}{n^2}\leq 3+ \frac{cos(n)}{n^2}\leq 3+ \frac{1}{n^2}

Donc 3-\frac{1}{n^2}\leq u_n\leq 3+ \frac{1}{n^2}

Comme \lim_{n\to{+\infty}}3-\frac{1}{n^2}=3 et comme \lim_{n\to{+\infty}}3+\frac{1}{n^2}=3 

on peut en déduire, d’après le théorème des gendarmes  que 

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=3

 

 

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.