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TC. Suites arithmético-géométriques

Sommaire

Définition d’une suite arithmético-géométrique

Une suite (u_n) est arithmético-géométrique lorsque (u_n) est définie par une formule de récurrence de la forme u_{n+1}=au_n+b avec a et b réels.

Exemple 1

On considère la suite (u_n) arithmético-géométrique définie par une formule de récurrence u_{n+1}=-0.2u_n+1 et u_0=2 .

Calculer u_1 , u_2  , u_3 et u_4

conjecturer avec la calculatrice TI 83 Premium CE
correction u_1
correction u_2
correction u_3
correction u_4

Exemple 2

On considère la suite (u_n) arithmético-géométrique définie par une formule de récurrence u_{n+1}=0.5u_n+2 et u_0=1 .

Calculer u_1 , u_2  , u_3 et u_4

conjecturer avec la calculatrice TI 83 Premium CE
correction u_1
correction u_2
correction u_3
correction u_4

Représentation graphique d’une suite arithmético-géométrique

On considère la suite arithmético-géométrique (u_n) définie par une formule de récurrence u_{n+1}=0.25u_n+3 avec u_0=1.

On a u_{n+1}=f(u_n) avec f(x)=0.25x+3.

On explique ci-dessous comment obtenir graphiquement les termes de la suite sur l’axe des abscisses.

  1. tracer la courbe de f(x)=0.25x+3 qui est une droite ( elle est en vert dans les repères ci-dessous.)
  2. tracer la droite d’équation y=x , elle est en noir dans les repères ci-dessous et ses points ont la particularité d’avoir l’abscisse égale à l’ordonnée.

3. placer u_0 sur l’axe des abscisses et construire graphiquement à l’aide de la courbe de f ( elle est en vert dans le repère ) son image f(u_0) qui est u_1

4. construire graphiquement l’antécédent de u_1 l’aide de la droite d’équation  y=x ( elle est en noir dans le repère ) son antécédent est u_1 car les points de la droite d’équation  y=x ont leur abscisse égale à leur ordonnée. Je place u_1 sur l’axe des abscisses.

5.  construire graphiquement à l’aide de la courbe de f ( elle est en vert dans le repère ) l’ image de   u_1 , f(u_1) qui est u_2. Puis continuer le procédé autant de fois qu’il est nécessaire.

Limite d’une suite arithmético-géométrique

On considère la suite (u_n) arithmético-géométrique définie par une formule de récurrence u_{n+1}=0.5u_n+2 et u_0=1 .

Calculer u_1 , u_2  , u_3 et u_4

cas n°1 :

On considère la suite (u_n) arithmético-géométrique définie par une formule de récurrence u_{n+1}=0.2u_n+5 et u_0=1 .

Graphiquement, on constate que la suite tend vers l’abscisse du point d’intersection des deux droites qu’on a coutume de noter l.

lim_{n\to{+\infty}}u_n=l

cas n°2 :

On considère la suite (u_n) arithmético-géométrique définie par une formule de récurrence u_{n+1}=2u_n+1 et u_0=1 .

Graphiquement, on constate que la suite tend vers +\infty.

lim_{n\to{+\infty}}u_n=+\infty

On reprend l’exemple n°1 mais on le traite graphiquement

On considère la suite (u_n) arithmético-géométrique définie par une formule de récurrence u_{n+1}=0.5u_n+2 et u_0=1 .

Construire u_1 , u_2   et u_3 sur l’axe des abscisses. Conjecturer ensuite la limite de la suite (u_n).

correction

©2020 – Math’O karé SAS

On considère la suite (u_n) arithmético-géométrique définie par une formule de récurrence

u_{n+1}=-0.2u_n+1 et u_0=2 .

Pour calculer u_1, comme la suite est définie par récurrence, il faut remplacer tous les n par l’entier qui précède 1 c’est-à-dire 0 dans l’égalité  u_{n+1}=-0.2u_n+1. 

u_{0+1}=-0.2u_0+1

On remplace u_0  par 2 

u_1=-0.2\times 2+1\\u_1=-0.4+1\\u_1=0.6

On considère la suite (u_n) arithmético-géométrique définie par une formule de récurrence

u_{n+1}=-0.2u_n+1 et u_0=2 .

Pour calculer u_2, comme la suite est définie par récurrence, il faut remplacer tous les n par l’entier qui précède 2 c’est-à-dire 1 dans l’égalité  u_{n+1}=-0.2u_n+1. 

u_{1+1}=-0.2u_1+1

On remplace u_1 par 0.6

u_2=-0.2\times 0.6+1\\u_2=-0.12+1\\u_2=0.88

On considère la suite (u_n) arithmético-géométrique définie par une formule de récurrence

u_{n+1}=-0.2u_n+1 et u_0=2 .

Pour calculer u_3, comme la suite est définie par récurrence, il faut remplacer tous les n par l’entier qui précède 3 c’est-à-dire 2 dans l’égalité  u_{n+1}=-0.2u_n+1. 

u_{2+1}=-0.2u_2+1

On remplace u_2 par 0.88

u_3=-0.2\times 0.88+1\\u_3=-0.176+1\\u_3=0.824

 

On considère la suite (u_n) arithmético-géométrique définie par une formule de récurrence

u_{n+1}=-0.2u_n+1 et u_0=2 .

Pour calculer u_4, comme la suite est définie par récurrence, il faut remplacer tous les n par l’entier qui précède 4 c’est-à-dire 3 dans l’égalité  u_{n+1}=-0.2u_n+1. 

u_{3+1}=-0.2u_3+1

On remplace u_3 par 0.824

u_4=-0.2\times 0.824+1\\u_4=-0.1648+1\\u_4=0.8352

 

On considère la suite (u_n) arithmético-géométrique définie par une formule de récurrence

u_{n+1}=0.5u_n+2 et u_0=1 .

Pour calculer u_1, comme la suite est définie par récurrence, il faut remplacer tous les n par l’entier qui précède 1 c’est-à-dire 0 dans l’égalité  u_{n+1}=0.5u_n+2. 

u_{0+1}=0.5u_0+2

On remplace u_0  par 1 

u_1=0.5\times1+2\\u_1=0.5+2\\u_1=2.5

 

On considère la suite (u_n) arithmético-géométrique définie par une formule de récurrence

u_{n+1}=0.5u_n+2 et u_0=1 .

Pour calculer u_2, comme la suite est définie par récurrence, il faut remplacer tous les n par l’entier qui précède 2 c’est-à-dire 1 dans l’égalité  u_{n+1}=0.5u_n+2. 

u_{1+1}=0.5u_1+2

On remplace u_1  par 2.5 

u_2=0.5\times2.5+2\\u_2=1.25+2\\u_2=3.25

 

On considère la suite (u_n) arithmético-géométrique définie par une formule de récurrence

u_{n+1}=0.5u_n+2 et u_0=1 .

Pour calculer u_3, comme la suite est définie par récurrence, il faut remplacer tous les n par l’entier qui précède 3 c’est-à-dire 2 dans l’égalité  u_{n+1}=0.5u_n+2. 

u_{2+1}=0.5u_2+2

On remplace u_2  par 3.25 

u_3=0.5\times3.25+2\\u_3=1.625+2\\u_3=3.625

 

On considère la suite (u_n) arithmético-géométrique définie par une formule de récurrence

u_{n+1}=0.5u_n+2 et u_0=1 .

Pour calculer u_4, comme la suite est définie par récurrence, il faut remplacer tous les n par l’entier qui précède 4 c’est-à-dire 3 dans l’égalité  u_{n+1}=0.5u_n+2. 

u_{3+1}=0.5u_3+2

On remplace u_3  par 3.625 

u_4=0.5\times3.625+2\\u_4=1.8125+2\\u_4=3.8125

 

Graphiquement, on conjecture que la suite tend vers l’abscisse du point d’intersection des deux droites c’est-à-dire 4.

On note \lim_{n\to{+\infty}}u_n=4

 

 

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.