On veut étudier le signe de f(x)=x^2-5x+4 ( quand ce n’est pas précisé, le professeur attend de l’élève qu’il étudie le signe par le calcul en appliquant le théorème du cours)
1.Conjecture graphique :
Pour déterminer graphiquement le signe de f(x)=x^2-5x+4
Je parcours la courbe avec mon index de la gauche vers la droite en disant positif si la courbe de la fonction f est au dessus de l’axe des abscisses et en disant négatif si la courbe de la fonction f est en-dessous de l’axe des abscisses
La fonction polynôme est de signe + à l’extérieur des racines 1 et 4 et est de signe – à l’intérieur des racines 1 et 4. Elle s’annule pour les valeurs 1 et 4.
2.Etude du signe de f(x)=x^2-5x+4 par le calcul en utilisant le théorème du cours.
J’identifie les coefficients a=1, b=-5 et c=4.
Je calcule \Delta=b²-4ac en remplaçant a,b,c par 1, (-5) ,4 .
\Delta=(-5)²-4\times{1}\times{4}\\\Delta=25-16\\\Delta=9Comme \Delta>0 , l’équation admet deux solutions réelles notées
x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.
et ax²+bx+c est du signe de a à l’extérieur des racines et du signe de (-a) à l’intérieur des racines.
Je calcule x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta par 1, (-5), 9.
x_1=\frac{-(-5)-\sqrt{9}}{2\times{1}}\\x_1=\frac{5-3}{2}\\x_1=\frac{2}{2}\\x_1=1Je calcule x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta par 1, (-5) , 9.
x_2=\frac{-(-5)+\sqrt{9}}{2\times{1}}\\x_2=\frac{5+3}{2}\\x_2=\frac{8}{2}\\x_2=4Je dresse le tableau de signes du polynôme:
Comme a=1 le signe de a est positif.
3. Vérification avec l’application calcul formel de Géogébra.
On peut par exemple chercher quand
x^2-5x+4 est de signe –, pour cela on résout
x^2-5x+4<0.
