1. Variations d’une suite. Méthode n°1.

Je calcule u_{n+1}-u_n et j’étudie son signe .

Si le signe est +, u_{n+1}-u_n\geq 0 et la suite (u_n) est croissante.

Si le signe est , u_{n+1}-u_n\leq 0 et la suite (u_n) est décroissante.

Exemple 

Etudier les variations de la suite (u_n) définie de façon explicite par u_n=n^2-4n+3 .

1.Conjecture à l’aide de la calculatrice.

Avant de se lancer dans les calculs, il paraît judicieux de programmer sa calculatrice et d’observer.

Que ce soit avec le tableur ou le graphique, on constate que la suite (u_n) est croissante à partir du rang 2.

2. Etude des variations de la suite (u_{n}) par le calcul.

On va d’abord calculer u_{n+1}-u_n en remplaçant u_{n+1} par (n+1)^2-4(n+1)+3 et u_{n} par n^2-4n+3

u_{n+1}-u_n=((n+1)^2-4(n+1)+3)-(n^2-4n+3)

\hspace{1.6cm}=(n^2+2n+1-(4n+4)+3)-(n^2-4n+3)

\hspace{1.6cm}=n^2+2n+1-4n-4+3-n^2+4n-3

\hspace{1.6cm}=2n-3

Pour étudier le signe de 2n-3, on peut , par exemple, utiliser un résultat de seconde connu pour étudier le signe de ax+b:

a=2 , b=-3 et -\frac{b}{a}=-\frac{(-3)}{2}=\frac{3}{2}

On fait le tableau de signes sur [0;+\infty[ 

En réalité, n est un entier naturel, donc 2n-3 est positif pour n\geq 2.

Et donc la suite (u_n) est croissante à partir du rang 2.

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.