Je calcule u_{n+1}-u_n et j’étudie son signe .
Si le signe est +, u_{n+1}-u_n\geq 0 et la suite (u_n) est croissante.
Si le signe est –, u_{n+1}-u_n\leq 0 et la suite (u_n) est décroissante.
Exemple
Etudier les variations de la suite (u_n) définie de façon explicite par u_n=n^2-4n+3 .
1.Conjecture à l’aide de la calculatrice.
Avant de se lancer dans les calculs, il paraît judicieux de programmer sa calculatrice et d’observer.
![](https://mathokare.re/wp-content/uploads/sites/7/2021/03/1.-variations-suite-fmn°1.png)
Que ce soit avec le tableur ou le graphique, on constate que la suite (u_n) est croissante à partir du rang 2.
2. Etude des variations de la suite (u_{n}) par le calcul.
On va d’abord calculer u_{n+1}-u_n en remplaçant u_{n+1} par (n+1)^2-4(n+1)+3 et u_{n} par n^2-4n+3
u_{n+1}-u_n=((n+1)^2-4(n+1)+3)-(n^2-4n+3)
\hspace{1.6cm}=(n^2+2n+1-(4n+4)+3)-(n^2-4n+3)
\hspace{1.6cm}=n^2+2n+1-4n-4+3-n^2+4n-3
\hspace{1.6cm}=2n-3
Pour étudier le signe de 2n-3, on peut , par exemple, utiliser un résultat de seconde connu pour étudier le signe de ax+b:
a=2 , b=-3 et -\frac{b}{a}=-\frac{(-3)}{2}=\frac{3}{2}
On fait le tableau de signes sur [0;+\infty[
![](https://mathokare.re/wp-content/uploads/sites/7/2020/09/1.-suite-variations-exemple3.png)
En réalité, n est un entier naturel, donc 2n-3 est positif pour n\geq 2.
Et donc la suite (u_n) est croissante à partir du rang 2.