1. Variations d’une suite. Méthode n°2.

Si les termes de la suite sont strictement positifs, je calcule \frac{u_{n+1}}{u_n} et je compare le résultat obtenu à  1 .

 Si \frac{u_{n+1}}{u_n}\geq 1  la suite (u_n) est croissante.

 Si \frac{u_{n+1}}{u_n}\leq 1  la suite (u_n) est décroissante.

Exemple 

Etudier les variations de la suite (u_n) définie par formule explicite par  u_n=\frac{n}{2n+1} pour n\in \mathbf{N}.

1.Conjecture à l’aide de la calculatrice.

Avant de se lancer dans les calculs, il paraît judicieux de programmer sa calculatrice et d’observer.

A l’aide de la calculatrice, on constate que les termes de la suite sont rangés dans l’ordre croissant.

2. On va utiliser la méthode ci-dessus pour étudier les variations de la suite (u_n).

Les termes de la suite sont positifs.

Etape n°1 : Je calcule \frac{u_{n+1}}{u_n}

Attention pour calculer u_{n+1}, je dois remplacer tous les n par (n+1) entre parenthèses dans l’expression u_n=\frac{n}{2n+1}.

\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\frac{(n+1)}{2(n+1)+1}}{\frac{n}{2n+1}}

Diviser par \frac{n}{2n+1} revient à multiplier par son inverse \frac{2n+1}{n}.

\hspace{0.7cm}={\frac{n+1}{2(n+1)+1}}\times {\frac{2n+1}{n}}\\\hspace{0.7cm}={\frac{n+1}{2n+2+1}}\times {\frac{2n+1}{n}}\\\hspace{0.7cm}={\frac{n+1}{2n+3}}\times {\frac{2n+1}{n}}

On applique la règle pour multiplier deux fractions.

\hspace{0.7cm}={\frac{(n+1)\times (2n+1)}{(2n+3)\times n}}\\\hspace{0.7cm}=\frac{2n^2+n+2n+1}{2n^2+3n}\\\hspace{0.7cm}=\frac{2n^2+3n+1}{2n^2+3n}

Etape n°2 : je vais comparer \frac{u_{n+1}}{u_n} à 1.

1>0

On ajoute de chaque côté  2n^2+3n, le sens de l’inégalité ne change pas.

2n^2+3n+1>2n^2+3n

On divise de chaque côté par le nombre strictement positif 2n^2+3n, le sens de l’inégalité ne change pas. \frac{2n^2+3n+1}{2n^2+3n}>1 

Donc \frac{u_{n+1}}{u_n}>1

 Donc la suite (u_n) est croissante.

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.