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1. Applications du produit scalaire.

Transformation de l’expression \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}

Propriété : A et B sont deux points donnés et I est le milieu du segment  [AB], 

pour tout M   ,   \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=MI^2-\frac{1}{4}AB^2.

Démonstration

On part du membre de gauche  \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}. Pour faire apparaître le vecteur  \overrightarrow{MI}, on va utiliser la Relation de Chasles.

\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}).(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})

On peut remplacer \overrightarrow{IB} par -\overrightarrow{IA} car I est le milieu du segment  [AB].

\hspace{1.5cm}=(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}).(\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IA})

On utilise  une identité remarquable 

 \hspace{1.5cm}=\overrightarrow{MI}^2-\overrightarrow{IA}^2

On a vu dans le cours que  \overrightarrow{MI}^2=MI^2 et que \overrightarrow{IA}^2=IA^2

\hspace{1.5cm}=MI^2-IA^2

Comme I est le milieu du segment  [AB], on peut remplacer IA par \frac{1}{2}AB.

\hspace{1.5cm}=MI^2-(\frac{1}{2}AB)^2

\hspace{1.5cm}=MI^2-\frac{1}{4}AB^2

Exercice n°1

 A et B sont deux points tels que AB=4 et I est le milieu du segment  [AB].

Déterminer les points M du plan tels que :

  1. \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=5
correction

2. \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=-4

correction

3. \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=-6

correction

Exercice n°2

Dans un repère orthonormé, on donne A(1;3) et B(-1;2). On nomme I  le milieu [AB].

  1. Calculer la distance AB 
correction

2. Déterminer l’ensemble des points M  tels que : \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=5

correction

3.a. Déterminer, par le calcul, les coordonnées de I  le milieu [AB]   .

correction

3.b. Déterminer une équation cartésienne de l’ensemble de points trouvé à la question 2.

correction

3.c. Déterminer les coordonnées des points d’intersection de l’axe des ordonnées et de l’ensemble de points trouvé à la question 2..

correction

Exercice n°3

 A et B sont deux points tels que AB=2 et I est le milieu du segment  [AB].

L’ensemble des points M du plan tels que : \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=k est le cercle de centre I et de rayon 6.

Déterminer k.

correction

Ensemble des points M tels que  \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0

Propriété : A et B sont deux points distincts donnés.

L’ensemble des points M tels que \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0 est le cercle de diamètre [AB].

Démonstration

On considère le point I qui est le milieu du segment  [AB].

D’après la propriété :  \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0

Je peux remplacer \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} par MI^2-\frac{1}{4}AB^2. Ces quantités sont égales, on l’a prouvé dans la démonstration au-dessus.  

On a donc MI^2-\frac{1}{4}AB^2=0

MI^2=\frac{1}{4}AB^2

MI=\frac{1}{2}AB

Donc le point M se trouve à une distance \frac{1}{2}AB du point I.

Ainsi l’ensemble des points M cherché est le cercle de diamètre [AB]

Exercice n°4

 A et B sont deux points tels que AB=10 et I est le milieu du segment  [AB].

Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que : \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0

correction

Exercice n°5

Dans un repère orthonormé, on donne A(1;-2) et B(3;2) 

Déterminer une équation cartésienne de l’ensemble des points M  tels que :\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0

correction n°1
correction n°2

©2020 – Math’O karé SAS

 Pour déterminer l’ensemble des points M tels que \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=5, je remplace \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} par

MI^2-\frac{1}{4}AB^2 dans \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=5.

\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=5

MI^2-\frac{1}{4}AB^2=5

On remplace AB par 4.

MI^2-\frac{1}{4}\times 4^2=5

MI^2-4=5

MI^2=5+4

MI^2=9

MI=3

L’ensemble des points M tels que \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=5 est le cercle de centre I et de rayon 3.

 

 Pour déterminer l’ensemble des points M tels que \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=-4, je remplace \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} par

MI^2-\frac{1}{4}AB^2 dans \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=-4.

\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=-4

MI^2-\frac{1}{4}AB^2=-4

On remplace AB par 4.

MI^2-\frac{1}{4}\times 4^2=-4

MI^2-4=-4

MI^2=-4+4

MI^2=0

MI=0

Donc M et I sont confondus.

L’ensemble des points M tels que \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=-4 est constitué par le point I

 Pour déterminer l’ensemble des points M tels que \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=-6, je remplace \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} par

MI^2-\frac{1}{4}AB^2 dans \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=-6.

\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=-6

MI^2-\frac{1}{4}AB^2=-6

On remplace AB par 4.

MI^2-\frac{1}{4}\times 4^2=-6

MI^2-4=-6

MI^2=-6+4

MI^2=-2

Ce qui est impossible car un carré est toujours positif.

L’ensemble des points M tels que \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=-6 est l’ensemble vide.

On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et B ainsi

\hspace{0.6cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.6cm} x_{B} y_{B}

\hspace{0.2cm} A(1;3) \hspace{0.4cm} B(-1;2)

On écrit la formule du cours :

AB=\sqrt {{(x_B-x_A) }^{2}+{(y_B-y_A) }^{2}} 

Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.

AB=\sqrt {{((-1)-1)}^{2}+{(2-3)}^{2}}

On calcule. On effectue d’abord ce qu’il y a entre parenthèses

AB=\sqrt {{(-2)}^{2}+{(-1)}^{2}} 

On effectue ensuite les puissances, ici les carrés. 

AB=\sqrt {4+1}

On effectue ensuite la somme

AB=\sqrt {5}

 

 Pour déterminer l’ensemble des points M tels que \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=5, je remplace \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} par

MI^2-\frac{1}{4}AB^2 dans \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=5.

\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=5

MI^2-\frac{1}{4}AB^2=5

On remplace  la distance AB par \sqrt{5} (voir question 1).

MI^2-\frac{1}{4}\times \sqrt{5}^2=5

MI^2-\frac{5}{4}=5

MI^2=5+\frac{5}{4}

MI^2=5\times \frac{4}{4}+\frac{5}{4}

MI^2=\frac{20}{4}+\frac{5}{4}

MI^2=\frac{25}{4}

MI=\frac{5}{2}

L’ensemble des points M tels que \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=5 est le cercle de centre I et de rayon \frac{5}{2}.

 

On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et B ainsi

\hspace{0.4cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.8cm} x_{B} y_{B}

\hspace{0.2cm} A(1;3) \hspace{0.4cm} B(-1;2)

On écrit la formule du cours :

Le milieu I de [AB] a pour coordonnées :(\frac {x_A+x_B}{2};\frac {y_A+y_B}{2})

Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.

Le milieu I de [AB] a pour coordonnées : (\frac {1+(-1)}{2};\frac {3+2}{2})

On calcule. Si vous utilisez la calculatrice , tapez cette séquence de calcul (1-1)/2 en utilisant les parenthèses « invisibles  » qui entourent le numérateur. Si vous tapez 1-1/2, vous obtiendrez 0.5 car la machine calculera 1/2 en priorité ce qui est faux

Le milieu I de [AB] a pour coordonnées : (\frac {0}{2};\frac {5}{2})

Donc I(0;\frac {5}{2})

 

Voici la réponse à la question 2 : l’ensemble des points M tels que \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=5 est le cercle de centre I et de rayon \frac{5}{2}.

Une équation cartésienne de ce cercle est :

(x-x_I)^2+(y-y_I)^2=(\frac{5}{2})^2

On remplace x_I par 0 et y_I par \frac{5}{2}

(x-0)^2+(y-\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}

x^2+(y-\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}

 

Voici l’équation du cercle de la question précédente.

x^2+(y-\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}

On cherche les points d’intersection de ce cercle et de l’axe des ordonnées.

On remplace x par 0 dans l’équation (x-0)^2+(y-\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}.

On résout (0-0)^2+(y-\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}

(y-\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}

(y-\frac{5}{2})=\frac{5}{2} ou (y-\frac{5}{2})=-\frac{5}{2}

y=\frac{5}{2}+\frac{5}{2} ou y=-\frac{5}{2}+\frac{5}{2}

y=5 ou y=0

Les points d’intersection ont pour coordonnées (0;0) et (0;5).

 

L’ensemble des points M tels que \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=k est le cercle de centre I et de rayon 6.

Je remplace \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} par  MI^2-\frac{1}{4}AB^2 dans \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=k.

\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=k

MI^2-\frac{1}{4}AB^2=k

On remplace AB par 2 et on remplace IM par 6 car M appartient au cercle de centre I et de rayon 6

6^2-\frac{1}{4}\times 2^2=k

36-\frac{1}{4}\times 4=k

36-1=k

35=k

k=35

 

D’après le cours :

L’ensemble des points M tels que \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0 est le cercle de diamètre [AB].

Son centre est donc I le milieu de [AB] et son rayon vaut \frac{AB}{2} c’est-à-dire 5. 

D’après le cours : l’ensemble des points M tels que \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0 est le cercle de diamètre [AB].

A(1;-2) et B(3;2)

  1. Calculons les coordonnées de son centre  I le milieu de [AB]

On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et B ainsi

\hspace{0.6cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.6cm} x_{B} y_{B}

\hspace{0.2cm} A(1;-2) \hspace{0.4cm} B(3;2)

On écrit la formule du cours :

x_I=\frac {x_A+x_B}{2}\hspace {2cm}y_I=\frac {y_A+y_B}{2}

Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.

x_I=\frac {1+3}{2}\hspace {2cm}y_I=\frac {(-2)+2}{2}

On calcule. Si vous utilisez la calculatrice , tapez cette séquence de calcul (1+3)/2 en utilisant les parenthèses « invisibles  » qui entourent le numérateur. Si vous tapez 1+3/2, vous obtiendrez 2.5 car la machine calculera 3/2 en priorité ce qui est faux

x_I=\frac {4}{2}\hspace {2cm}y_I=\frac {0}{2}

x_I=2\hspace {2cm}y_I=0

Donc I(2;0)

2. Calculons son rayon qui vaut \frac{AB}{2} . Tout d’abord calculons AB 

On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et B ainsi

\hspace{0.6cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.6cm} x_{B} y_{B}

\hspace{0.2cm} A(1;-2) \hspace{0.4cm} B(3;2)

On écrit la formule du cours :

AB=\sqrt {{(x_B-x_A) }^{2}+{(y_B-y_A) }^{2}} 

Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.

AB=\sqrt {{(3-1)}^{2}+{(2-(-2))}^{2}}

On calcule. On effectue d’abord ce qu’il y a entre parenthèses

AB=\sqrt {{2}^{2}+{4}^{2}} 

On effectue ensuite les puissances, ici les carrés. 

AB=\sqrt {4+16}

On effectue ensuite la somme

AB=\sqrt {20}

AB=\sqrt {4\times 5}

AB=\sqrt {4}\times \sqrt {5}

AB=2 \sqrt {5}

Comme le diamètre vaut 2, le rayon vaut \sqrt {5}.

3. Déterminons une équation cartésienne du cercle.

Pour cela, on remplace x_I par 2 ,y_I par 0 et r par \sqrt {5} dans l’équation (x-x_I)^2+(y-y_I)^2=r^2

(x-2)^2+(y-0)^2=\sqrt {5}^2

(x-2)^2+y^2=5

 

 

  1. On détermine les coordonnées du vecteur \overrightarrow{MA}

Je repère les coordonnées des points M et A.

\hspace{2.1cm}x_{M}\hspace{0.2cm}y_{M}\hspace{2cm}x_{A}\hspace{0.2cm}y_{A}

\hspace{1.8cm}M(x;y)\hspace{2cm}A(1;-2)

J’écris la formule : \overrightarrow{MA}(x_{A}-x_{M};y_{A}-y_{M})

On prend soin de remplacer les lettres par les bons nombres. ATTENTION : quand on remplace une lettre par un nombre négatif, on le met entre parenthèses.

\overrightarrow{MA}(1-x;(-2)-y)

\overrightarrow{MA}(1-x;-2-y)

2. On détermine les coordonnées du vecteur \overrightarrow{MB}

Je repère les coordonnées des points M et B.

\hspace{2.1cm}x_{M}\hspace{0.2cm}y_{M}\hspace{2cm}x_{B}\hspace{0.2cm}y_{B}

\hspace{1.8cm}M(x;y)\hspace{2cm}B(3;2)

J’écris la formule : \overrightarrow{MB}(x_{B}-x_{M};y_{B}-y_{M})

On prend soin de remplacer les lettres par les bons nombres. ATTENTION : quand on remplace une lettre par un nombre négatif, on le met entre parenthèses.

\overrightarrow{MB}(3-x;2-y)

3. On calcule le produit scalaire \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} en utilisant la forme xx’+yy’

\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=(1-x)(3-x)+(-2-y)(2-y)

On développe

\hspace{1.5cm}=3-x-3x+x^2-4+2y-2y+y^2

On réduit

\hspace{1.5cm}=x^2-4x+y^2-1

4. On remplace \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} par x^2-4x+y^2-1 dans \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0

x^2-4x+y^2-1=0

Pour obtenir une équation de la forme (x-a)^2+(y-b)^2=0, il faut écrire x^2-4x sous la forme (x-…)^2-….

x^2-4x est de la forme a^2-2ab+b^2 avec

a^2=x^2 donc a=x

2ab=4x donc b=\frac{4x}{2a}=\frac{4x}{2x}=2

a^2-2ab+b^2=(a-b)^2

x^2-2\times x\times 2+2^2=(x-2)^2

x^2-4x=(x-2)^2-4

(x-2)^2-4+y^2-1=0

(x-2)^2+y^2=4+1

(x-2)^2+y^2=5

Voici donc une équation cartésienne de l’ensemble cherché. La méthode n°1 est la plus rapide mais la méthode n°2 ne manque pas d’intérêt.

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.