Transformation de l’expression \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}
Propriété : A et B sont deux points donnés et I est le milieu du segment [AB],
pour tout M , \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=MI^2-\frac{1}{4}AB^2.
Démonstration
On part du membre de gauche \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}. Pour faire apparaître le vecteur \overrightarrow{MI}, on va utiliser la Relation de Chasles.
\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}).(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})
On peut remplacer \overrightarrow{IB} par -\overrightarrow{IA} car I est le milieu du segment [AB].
\hspace{1.5cm}=(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}).(\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IA})
On utilise une identité remarquable
\hspace{1.5cm}=\overrightarrow{MI}^2-\overrightarrow{IA}^2
On a vu dans le cours que \overrightarrow{MI}^2=MI^2 et que \overrightarrow{IA}^2=IA^2
\hspace{1.5cm}=MI^2-IA^2
Comme I est le milieu du segment [AB], on peut remplacer IA par \frac{1}{2}AB.
\hspace{1.5cm}=MI^2-(\frac{1}{2}AB)^2
\hspace{1.5cm}=MI^2-\frac{1}{4}AB^2
Exercice n°1
A et B sont deux points tels que AB=4 et I est le milieu du segment [AB].
Déterminer les points M du plan tels que :
- \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=5
2. \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=-4
3. \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=-6
Exercice n°2
Dans un repère orthonormé, on donne A(1;3) et B(-1;2). On nomme I le milieu [AB].
- Calculer la distance AB
2. Déterminer l’ensemble des points M tels que : \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=5
3.a. Déterminer, par le calcul, les coordonnées de I le milieu [AB] .
3.b. Déterminer une équation cartésienne de l’ensemble de points trouvé à la question 2.
3.c. Déterminer les coordonnées des points d’intersection de l’axe des ordonnées et de l’ensemble de points trouvé à la question 2..
Exercice n°3
A et B sont deux points tels que AB=2 et I est le milieu du segment [AB].
L’ensemble des points M du plan tels que : \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=k est le cercle de centre I et de rayon 6.
Déterminer k.
Ensemble des points M tels que \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0
Propriété : A et B sont deux points distincts donnés.
L’ensemble des points M tels que \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0 est le cercle de diamètre [AB].
Démonstration
On considère le point I qui est le milieu du segment [AB].
D’après la propriété : \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0
Je peux remplacer \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} par MI^2-\frac{1}{4}AB^2. Ces quantités sont égales, on l’a prouvé dans la démonstration au-dessus.
On a donc MI^2-\frac{1}{4}AB^2=0
MI^2=\frac{1}{4}AB^2
MI=\frac{1}{2}AB
Donc le point M se trouve à une distance \frac{1}{2}AB du point I.
Ainsi l’ensemble des points M cherché est le cercle de diamètre [AB]
Exercice n°4
A et B sont deux points tels que AB=10 et I est le milieu du segment [AB].
Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que : \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0
Exercice n°5
Dans un repère orthonormé, on donne A(1;-2) et B(3;2)
Déterminer une équation cartésienne de l’ensemble des points M tels que :\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0