Enoncé de l’exercice
On donne A(2;4) et B(-1;2).
Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice du segment [AB].
Conjecturer le résultat à l’aide de Géogébra.
Pour placer les points A et B dans la fenêtre Géogébra ci-dessous..
Saisir dans la colonne de gauche
A=(2,4)
B=(-1,2)
Pour tracer la médiatrice de (AB), cliquer sur le 4ème onglet en haut à partir de la gauche, sélectionner Médiatrice dans le menu déroulant et dans le repère cliquer sur le point A et sur le point B. Dans la colonne de gauche l’équation cartésienne de la médiatrice de [AB] s’affiche, cliquer droit sur l’équation et sélectionner Equation ax+by+c=0 pour obtenir une équation cartésienne. On a conjecturé le résultat.
Correction de l’exercice (les commentaires en bleu, ce qui doit être sur la copie en noir)
On a A(2;4) et B(-1;2).
On veut déterminer une équation cartésienne de la médiatrice du segment [AB].
Reformulons la question. On veut déterminer une équation cartésienne de la droite perpendiculaire à (AB) passant par I le milieu de [AB].
On utilise le résultat du cours suivant : Une droite d de vecteur normal \overrightarrow{n}(a;b) a une équation cartésienne de la forme ax+by+c=0 où c est un nombre réel.
On va calculer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB} qui est normal à la médiatrice de [AB].
Je repère les coordonnées des points A et B.
\hspace{2.1cm}x_{A}\hspace{0.2cm}y_{A}\hspace{2cm}x_{B}\hspace{0.2cm}y_{B}
\hspace{1.8cm}A(2;4)\hspace{2cm}B(-1;2)
J’écris la formule : \overrightarrow{AB}(x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A})
On prend soin de remplacer les lettres par les bons nombres. ATTENTION : quand on remplace une lettre par un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
\overrightarrow{AB}((-1)-2;2-4)
\overrightarrow{AB}(-3;-2)
On remplace a par -3 et b par -2 dans l’équation ax+by+c=0.
Une équation cartésienne de la médiatrice de [AB] est de la forme :
-3x-2 y+c=0
Pour déterminer c, il faut remplacer x et y par les coordonnées d’un point de la droite et résoudre l’équation dont c est l’inconnue.
La médiatrice de [AB] passe par I, le milieu de [AB].
Calculons les coordonnées de I.
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et B ainsi
\hspace{0.4cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.8cm} x_{B} y_{B}
\hspace{0.2cm} A(2;4) \hspace{0.4cm} B(-1;2)
On écrit la formule du cours :
Le milieu I de [AB] a pour coordonnées :(\frac {x_A+x_B}{2};\frac {y_A+y_B}{2})
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
Le milieu I de [AB] a pour coordonnées : (\frac {2+(-1)}{2};\frac {4+2}{2})
Le milieu I de [AB] a pour coordonnées : (\frac {1}{2};\frac {6}{2})
Donc I(\frac {1}{2};3)
On remplace x par \frac {1}{2} et y par 3 dans -3x-2y+c=0.
-3\times \frac {1}{2}-2\times 3+c=0
– \frac {3}{2}-6+c=0
– \frac {3}{2}-6 \times \frac {2}{2}+c=0
– \frac {3}{2}- \frac {12}{2}+c=0
– \frac {15}{2}+c=0
c= \frac {15}{2}
Une équation cartésienne de la médiatrice de [AB] est -3x-2y+\frac {15}{2}=0
Géogébra donne l’équation cartésienne -3x-2y+7.5=0.
