1. Exercices types évaluation fin d’année : géométrie repérée.

Exercices géométrie repérée type évaluation fin d'année, GEOMETRIE, Géométrie repérée, Niveau première

Utiliser cette fenêtre Géogébra pour faire la figure pour chaque exercice.

Exercice n°1

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère le point $A(3;1)$
ainsi que la droite $d$ d’équation cartésienne $x-2y+4=0$ .

On utilise la page Géogébra au début de la fiche qui permettra de faire la figure au fur et à mesure. Elle permettra aussi de conjecturer les réponses aux différentes questions.

Pour tracer $d$ , saisir $x-2y+4=0$ sur la ligne 1 dans la colonne de gauche.

Pour placer $A$ , cliquer sur le 2ème onglet en haut à partir de la gauche, sélectionner Point dans le menu déroulant et dans le repère cliquer au point de coordonnées $(3;1)$ .

1. Déterminer les coordonnées du point $B$ d’abscisse $6$ appartenant à la droite $d$ .

Pour placer $B$ , cliquer sur le 2ème onglet en haut à partir de la gauche, sélectionner Point dans le menu déroulant et dans le repère cliquer sur la droite au point d’abscisse $6$ . Dans la colonne de gauche les coordonnées de $B$ s’affichent. On a conjecturé le résultat.

2. Donner les coordonnées d’un vecteur normal à la droite $d$ .

3. Déterminer une équation de la droite $\Delta$ perpendiculaire à la droite $d$ passant par le point $A$ .

Pour tracer $\Delta$ , cliquer sur le 4ème onglet en haut à partir de la gauche, sélectionner Perpendiculaire dans le menu déroulant et dans le repère cliquer sur la droite $d$ et sur le point $A$ . Dans la colonne de gauche l’équation de $\Delta$ s’affiche. On a conjecturé le résultat.

4. Calculer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ du point $A$ sur la droite $d$ .

Pour placer $H$ , cliquer sur le 2ème onglet en haut à partir de la gauche, sélectionner Intersection dans le menu déroulant et dans le repère cliquer sur la droite $d$ et sur la droite $\Delta$ . Dans la colonne de gauche les coordonnées de $H$ s’affichent. On a conjecturé le résultat.

5. Calculer la distance AH et en donner une interprétation.

Pour mesurer la distance $AH$ , cliquer sur le 8ème onglet en haut à partir de la gauche, sélectionner Distance ou longueur dans le menu déroulant et dans le repère cliquer sur le point $A$ et sur le point $H$ . La distance $AH$ s’affiche. On a conjecturé le résultat.

Exercice n°2

On considère les points $A(-5;1)$ , $B(-1;7)$ et $C(10;4)$ dans un repère orthonormé.
On rappelle que le cercle circonscrit à un triangle est le cercle passant par les trois sommets
de ce triangle.
1. a) Déterminer par le calcul, les coordonnées de $I$ , le milieu du segment $[AC]$ .

Pour placer $I$ , cliquer sur le 2ème onglet en haut à partir de la gauche, sélectionner Milieu ou centre dans le menu déroulant et dans le repère cliquer sur le point $A$ et sur le point $C$ . Dans la colonne de gauche les coordonnées de $I$ s’affichent. On a conjecturé le résultat.

1. b) Déterminer par le calcul, les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AC}$ .

Pour tracer $\overrightarrow{AC}$ , cliquer sur le 3ème onglet en haut à partir de la gauche, sélectionner Vecteur dans le menu déroulant et dans le repère cliquer sur le point $A$ et sur le point $C$ . Dans la colonne de gauche les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AC}$ s’affichent. On a conjecturé le résultat.

1. c) Déduire des questions précédentes, l’équation cartésienne de la médiatrice du segment $[AC]$ .

Pour tracer la médiatrice de $(AC)$ , cliquer sur le 4ème onglet en haut à partir de la gauche, sélectionner Médiatrice dans le menu déroulant et dans le repère cliquer sur le point $A$ et sur le point $C$ . Dans la colonne de gauche l’équation cartésienne de la médiatrice de $[AC]$ s’affiche. On a conjecturé le résultat.

2. Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice du segment $[BC]$ .

Pour tracer la médiatrice de $(BC)$ , cliquer sur le 4ème onglet en haut à partir de la gauche, sélectionner Médiatrice dans le menu déroulant et dans le repère cliquer sur le point $B$ et sur le point $C$ . Dans la colonne de gauche l’équation cartésienne de la médiatrice de $[AC]$ s’affiche. On a conjecturé le résultat.

3. Déduire des questions précédentes les coordonnées du centre du cercle circonscrit $\Omega$ au triangle $ABC$ .

Pour placer $\Omega$ qui est le point d’intersection des médiatrices, cliquer sur le 2ème onglet en haut à partir de la gauche, sélectionner Intersection dans le menu déroulant et dans le repère cliquer sur les deux médiatrices. Dans la colonne de gauche les coordonnées de $\Omega$ s’affichent. On a conjecturé le résultat.

4.a) Calculer le rayon du cercle circonscrit au triangle $ABC$

Pour mesurer la distance $\Omega$ $A$ , cliquer sur le 8ème onglet en haut à partir de la gauche, sélectionner Distance ou longueur dans le menu déroulant et dans le repère cliquer sur le point $\Omega$ et sur le point $A$ . La distance $\Omega$ $A$ s’affiche.

4.b) Déterminer l’équation du cercle circonscrit au triangle $ABC$ .

Pour tracer le cercle circonscrit à $ABC$ , cliquer sur le 6ème onglet en haut à partir de la gauche, sélectionner Cercle (centre-point) dans le menu déroulant et dans le repère cliquer sur le point $\Omega$ et cliquer sur le point $A$ . Dans la colonne de gauche l’équation du cercle s’affiche. On a conjecturé le résultat.

Exercice 3

Dans un repère orthonormé, on considère le cercle $C$ de centre $A(2;2)$ et de rayon $\sqrt{10}$ .
1. Déterminer l’équation cartésienne du cercle $C$ .

Pour tracer le cercle $C$ , cliquer sur le 6ème onglet en haut à partir de la gauche, sélectionner Cercle (centre-rayon) dans le menu déroulant et dans le repère cliquer sur le point $A$ et saisir sqrt(10) dans le cadre qui est situé sous le mot rayon. Dans la colonne de gauche l’équation du cercle s’affiche. On a conjecturé le résultat.

2. Vérifier que le point $B(5;3)$ est situé sur le cercle $C$ .

Pour placer le point $B$ , saisir dans la colonne de gauche $B=(5,3)$ .

3.a) Que peut-on dire de la tangente au cercle au point $B$ et de la droite $(AB)$ ?

Pour tracer la tangente au cercle $C$ au point $B$ , cliquer sur le quatrième onglet et sélectionner tangente dans le menu déroulant. Puis dans le repère cliquer sur le cercle $C$ et sur le point $B$ .L’équation de la tangente apparaît dans la colonne de gauche.

3.b) En déduire une équation cartésienne de la tangente au cercle au point $B$ et de la droite $(AB)$ .

4. Calculer les coordonnées des points d’intersection du cercle $C$ avec l’axe des ordonnées.

Pour construire les points d’intersection , cliquer sur le 2ème onglet en haut à partir de la gauche, sélectionner Intersection dans le menu déroulant et dans le repère cliquer sur le cercle $C$ et sur l’axe des ordonnées . Dans la colonne de gauche les deux points apparaissent ainsi que leurs coordonnées. On a conjecturé le résultat

Exercice n°4

On considère les points $A(3;-1)$ , $B(9;1)$ et $C(4;6)$ dans un repère orthonormé.

Le but de cet exercice est de déterminer une équation cartésienne du cercle circonscrit au triangle $ABC$ .

a)Calculer les coordonnées de $J$ le milieu du segment $[BC]$ .

Pour placer $J$ , cliquer sur le 2ème onglet en haut à partir de la gauche, sélectionner Milieu ou centre dans le menu déroulant et dans le repère cliquer sur le point $B$ et sur le point $C$ . Dans la colonne de gauche les coordonnées de $J$ s’affichent. On a conjecturé le résultat.

1.b) Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{CB}$ .

Pour tracer $\overrightarrow{CB}$ , cliquer sur le 3ème onglet en haut à partir de la gauche, sélectionner Vecteur dans le menu déroulant et dans le repère cliquer sur le point $C$ et sur le point $B$ . Dans la colonne de gauche les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{CB}$ s’affichent. On a conjecturé le résultat.

1.c) En déduire une équation cartésienne de la médiatrice du segment $[CB]$ .

Pour tracer la médiatrice de $[CB]$ , cliquer sur le 4ème onglet en haut à partir de la gauche, sélectionner Médiatrice dans le menu déroulant et dans le repère cliquer sur le point $C$ et sur le point $B$ . Dans la colonne de gauche l’équation cartésienne de la médiatrice de $[CB]$ s’affiche. On a conjecturé le résultat.

2) On admet qu’une équation de la médiatrice du segment $[AB]$ est $-3x-y+18=0$ .

Pour tracer la médiatrice de $[AB]$ , cliquer sur le 4ème onglet en haut à partir de la gauche, sélectionner Médiatrice dans le menu déroulant et dans le repère cliquer sur le point $A$ et sur le point $B$ . Dans la colonne de gauche l’équation cartésienne de la médiatrice de $[AB]$ s’affiche.

a) Déterminer par le calcul les coordonnées du point d’intersection des deux médiatrices qu’on appelera $L$ .

Pour construire le point d’intersection , cliquer sur le 2ème onglet en haut à partir de la gauche, sélectionner Intersection dans le menu déroulant et dans le repère cliquer sur les deux médiatrices. Renommer le point. Dans la colonne de gauche le point apparaît ainsi que ses coordonnées. On a conjecturé le résultat

b) Calculer la distance $LA$ .

Pour mesurer la distance $LA$ , cliquer sur le 8ème onglet en haut à partir de la gauche, sélectionner Distance ou longueur dans le menu déroulant et dans le repère cliquer sur le point $L$ et sur le point $A$ . La distance $LA$ s’affiche.

c) En déduire une équation cartésienne du cercle circonscrit au triangle $ABC$ .

Pour tracer le cercle $C$ , cliquer sur le 6ème onglet en haut à partir de la gauche, sélectionner Cercle (centre-point) dans le menu déroulant et dans le repère cliquer sur le point $L$ et sur le point $A$ . Dans la colonne de gauche l’équation du cercle s’affiche. On a conjecturé le résultat.