1. Fonction exponentielle. Exercices type évaluation.

Exercice n°1

On considère la fonction f sur \mathbf{R} par f(x)=\frac{x^2+1}{e^x} 
1. Déterminer les coordonnées du point A , point d’intersection de la courbe C_f avec l’axe des ordonnées.

2. La courbe C_f coupe-t-elle l’axe des abscisses ? Justifier la réponse.

3. On note f’ la dérivée de la fonction f sur \mathbf{R} . Montrer que  f'(x)=\frac{-x^2+2x-1}{e^x} .

4. Étudier le signe de f'(x)sur \mathbf{R} . En déduire le sens de variation de 𝑓 sur
\mathbf{R} .

5. On note T la tangente à C_f au point A d’abscisse 0. La tangente 𝑇 passe-t-elle par le point de (-6;8)  ? Justifier la réponse.

Exercice n°2

On considère la fonction f sur \mathbf{R} par f(x)=(3x-3)e^x 
1. Montrer que pour tout réel x , f'(x)=3xe^x .

2. Étudier le signe de f'(x) sur \mathbf{R} .

3. En déduire le tableau de variation de la fonction f sur \mathbf{R} .

4. Déterminer les coordonnées du point d’intersection de C_f avec l’axe des ordonnées, où C_f est la courbe de la fonction f.

5. Déterminer une équation de la tangente T à C_f au point d’abscisse 1.

Exercice n°3 

Partie A
On considère la fonction g définie sur \mathbf{R} par :
g(x)=1-x+e^x.
1) Montrer que  g'(x)=e^x-1.

2) Résoudre e^x-1>0.

3) En déduire le tableau de variations de la fonction g définie sur \mathbf{R}. En déduire alors le signe de g(x).

Partie B
On considère la fonction f définie sur \mathbf{R} par :
f(x)=x+1+\frac{x}{e^x}
1) Calculer la dérivée f’ de f et vérifier que f'(x)=e^{-x}g(x).

2) Dresser le tableau de variations  de la fonction f sur \mathbf{R}.

Exercice n°4

On considère la fonction f sur \mathbf{R} par f(x)=(x^2-3x+2)e^x 
1. Montrer que pour tout réel x , f'(x)=(x^2-x-1)e^x.

2. Etudier le signe du polynôme suivant  x^2-x-1 sur \mathbf{R} .

3. En déduire le tableau de variation de la fonction f sur \mathbf{R} .

4. Déterminer les coordonnées du ou des point(s)  d’intersection de C_f avec l’axe des abscisses, où C_f est la courbe de la fonction f.

5. Déterminer une équation de la tangente T à C_f au point d’abscisse 1.

Exercice n°5 

On considère la fonction f définie et dérivable sur \mathbf{R} par f(x)=(ax+b)e^{0.5x}a et b
sont des réels fixés.
La courbe représentative C_f de la fonction f est donnée ci-dessous, dans un repère
orthogonal.

On a également représenté la tangente T à C_f au point A(0;-1) .
On admet que cette tangente T passe par le point B(2;6) .

1. En exprimant 𝑓(0), déterminer la valeur de 𝑏.

2. a) À l’aide des coordonnées des points A et B , déterminer une équation de la droite T .

 b) Exprimer, pour tout réel x , f'(x) en fonction de x et de a et en déduire que pour tout réel x, f(x)=(4x-1)e^{0.5x}.

3. On souhaite déterminer le maximum de la fonction f sur \mathbf{R}.

a) Montrer que pour tout x \in \mathbf{R}, f'(x)=(2x+3.5)e^{0.5x}.

 b) Déterminer les variations de f sur \mathbf{R} et en déduire le minimum de f sur \mathbf{R}.

Une petite conjecture graphique semble judicieuse et on constate que A a pour coordonnées (0;1).

Cependant telle que la question est posée, elle appelle plutôt une réponse par le calcul.

Pour que la rédaction soit plus aisée : il est conseillé de noter x_A et y_A les coordonnées de A.

Notons x_A et y_A les coordonnées de A.

Comme A se trouve sur l’axe des ordonnées:

x_A=0.

Comme A se trouve sur la courbe de la fonction f:

y_A=f(x_A)\\y_A=f(0)\\y_A=\frac{0^2+1}{e^0}\\y_A=\frac{1}{1}\\y_A=1

Donc A(0;1).

 

Une petite conjecture graphique semble judicieuse et on constate que la courbe de la fonction f ne coupe pas l’axe des abscisses.

Cependant telle que la question est posée, elle appelle une justification par le calcul.

Pour déterminer les abscisses des éventuels points d’intersection entre la courbe et l’axe des abscisses il faut résoudre  l’équation f(x)=0.

\frac{x^2+1}{e^x}=0

Une  fraction est nulle lorque le numérateur est nul. 

x^2+1=0

comme x^2\geq 0, x^2+1 est toujours supérieur ou égal à 1 donc  x^2+1 n’est jamais nul.

Il n’y a donc pas de solution à l’équation f(x)=0.

Donc  il n’y a pas de point d’intersection entre la courbe et l’axe des abscisses.

 

 

f(x)= \frac{x^2+1}{e^x} pour x\in \mathbf{R}.

1.On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est le quotient de deux fonctions \frac{u}{ v} avec  u(x)=x^2+1 et v(x)=e^x.

On va utiliser la ligne n°5 du tableau n°1 ci-dessous.

f(x) est 

f'(x) se calcule ainsi :

une somme u+v

u’+v’

le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku

k\times u’

un produit de deux fonctions u\times v

u’\times v+u\times v’

l’inverse d’une fonction \frac{1}{u}

-\frac{u’}{u^2}

un quotient \frac{u}{v}

\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}

2a.on veut calculer la dérivée  u'(x)

u(x)=x^2+1 est une  somme, on utilise la 1ère ligne du tableau n°1 

u'(x)=(x^2+1)’

u'(x)=(x^2)’+(1)’

On utilise les lignes 1 (constante) et 3 (carré) du tableau 2 ci-dessous pour finir le calcul.

u'(x)=2x+0

u'(x)=2x

2b.on veut calculer la dérivée  v'(x)

v(x)=e^x est une fonction de référence, on utilise la ligne exponentielle du tableau n°2

v'(x)=(e^x)’

v'(x)=e^x

 

Fonction

f(x)

Dérivable sur…

f'(x)

constante

f(x)=k\mathbf{R}f'(x)=0

identité

f(x)=x\mathbf{R}f'(x)=1

carré

f(x)=x^2\mathbf{R}f'(x)=2x

cube

f(x)=x^3\mathbf{R}f'(x)=3x^2

inverse 

f(x)=\frac{1}{x}\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[f'(x)=-\frac{1}{x^2}

racine carrée

f(x)=\sqrt{x}]0;+\infty[f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
exponentiellef(x)=e^x\mathbf{R}f'(x)=e^x

3. On calcule la dérivée f'(x) 

On remplace u par  x^2+1v par e^x, u’ par  2x et v’ par e^x dans la formule \frac{u’\times v-u\times v’}{v^2} 

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)= (\frac{x^2+1}{e^x})’\\f'(x)=\frac{(x^2+1)’\times{e^x}-{(x^2+1)}\times{(e^x)’}}{(e^x)^2}\\f'(x)=\frac{2x\times{e^x}-{(x^2+1)}\times{e^x}}{(e^x)^2}

On développe les deux produits au numérateur. Petit conseil, pour éviter les erreurs de signe laisser le deuxième développement entre parenthèses.

f'(x)=\frac{2xe^x-(x^2e^x+e^x)}{(e^x)^2}\\f'(x)=\frac{2xe^x-x^2e^x-e^x)}{(e^x)^2}

Pour poursuivre et obtenir la forme de l’énoncé, on va simplifier le quotient par e^x. Avant on met  e^x en facteur au numérateur.

 f'(x)=\frac{e^x(2x-x^2-1)}{(e^x)^2}\\f'(x)=\frac{2x-x^2-1}{e^x}  ou f'(x)=\frac{-x^2+2x-1}{e^x}

 

 

 

On veut étudier le signe de f'(x)=\frac{-x^2+2x-1}{e^x} sur \mathbf{R}.

On clique sur le + de la septième ligne du tableau ci-dessous : la quantité est un quotient.

  1. de nombres positifs alors la quantité est positive.
  2. de nombres négatifs alors la quantité est négative.
  3. de nombres de signes contraires ou indéterminés alors on ne peut pas conclure

On peut factoriser et étudier le signe d’un produit

On peut résoudre la quantité >0 

On utilise le tableau suivant :

On utilise le résultat du cours suivant :

si \Delta>0

si \Delta=0

si \Delta<0

La quantité est toujours positive.

Exemples : les quantités x^2 , (2x+5)^4 sont toujours positives

La quantité est du signe de ce qui est élevé à la puissance.

Exemple : la quantité x^3 est du signe de x, la quantité (2x-1)^5 est du signe de 2x-1.

On fait un tableau de signes comme en seconde.

On étudie le signe du numérateur et le signe du dénominateur. Si nécessaire, ensuite on fait un tableau de signes comme en seconde.

On calcule la dérivée, on étudie son signe et on fait le tableau de variations. Ensuite, sur la dernière ligne du tableau de variations, on lit le signe de la quantité.  

Le dénominateur e^x est toujours positif.

Le quotient est donc du signe du numérateur : -x^2+2x-1.

On étudie le signe de -x^2+2x-1 pour cela, on clique sur le +  la 2ème ligne : la quantité est de la forme ax²+bx+c.

J’identifie les coefficients du polynôme. a=-1, b=2 et c=-1.

Je calcule \Delta=b²-4ac  en remplaçant a,b,c  par (-1), 2 ,(-1)  .

\Delta=2²-4\times{(-1)}\times{(-1)}\\\Delta=4-4\\\Delta=0

Comme \Delta=0 , l’équation admet une solution  -\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\times (-1)}=1  et le trinôme est toujours du signe de a . Comme a=-1, (-x^2+2x-1) est toujours négatif.

Comme f'(x) est du signe de -x^2+2x-1, voici le tableau de signe pour f'(x).

Comme f'(x)\leq 0 sur \mathbf{R}, la fonction f est décroissante sur \mathbf{R}.

 

 

 

On détermine l’équation réduite de la tangente à la courbe de f définie par f(x)=\frac{x^2+1}{e^x} au point A d’abscisse 0.

 f(0)=1 d’après la question 1.

Je calcule f'(0) en remplaçant tous les x par 0 dans f'(x)=\frac{-x^2+2x-1}{e^x}

f'(0)=\frac{-0^2+2\times 0-1}{e^0}

f'(0)=\frac{-1}{1}

f'(0)=-1

Je remplace a,f(a),f'(a) par 0, 1, (-1) dans y=f'(a)(x-a)+f(a)

y=(-1)(x-0)+1

y=-x+1

L’équation de la tangente est y=-x+1.

Pour dire si le point (-6;8) est sur la tangente, on remplace x par (-6) et on remplace y par 8 dans l’équation y=-x+1.

Si l’égalité est vérifiée, le point de coordonnées (-6;8) est sur la tangente. Sinon, non.

Comme 8 est n’est pas égal à -(-6)+1, le point de coordonnées (-6;8) n’est pas sur la tangente d’équation y=-x+1.

 

 

 

f(x)= (3x-3)e^x pour x\in \mathbf{R}.

1.On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est le produit de deux fonctions u\times v avec  u(x)=3x-3 et v(x)=e^x.

On va utiliser la ligne n°3 du tableau n°1 ci-dessous.

f(x) est 

f'(x) se calcule ainsi :

une somme u+v

u’+v’

le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku

k\times u’

un produit de deux fonctions u\times v

u’\times v+u\times v’

l’inverse d’une fonction \frac{1}{u}

-\frac{u’}{u^2}

un quotient \frac{u}{v}

\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}

2a.on veut calculer la dérivée  u'(x)

u(x)=3x-3 est une  somme, on utilise la 1ère ligne du tableau n°1 

u'(x)=(3x-3)’

u'(x)=(3x)’-(3)’

Puis on utilise la 2ième ligne du tableau n°1 

u'(x)=3(x)’-(3)’

On utilise les lignes 1 (constante) et 2(identité) du tableau 2 ci-dessous pour finir le calcul.

u'(x)=3\times 1-0

u'(x)=3

2b.on veut calculer la dérivée  v'(x)

v(x)=e^x est une fonction de référence, on utilise la ligne exponentielle du tableau n°2

v'(x)=(e^x)’

v'(x)=e^x

 

Fonction

f(x)

Dérivable sur…

f'(x)

constante

f(x)=k\mathbf{R}f'(x)=0

identité

f(x)=x\mathbf{R}f'(x)=1

carré

f(x)=x^2\mathbf{R}f'(x)=2x

cube

f(x)=x^3\mathbf{R}f'(x)=3x^2

inverse 

f(x)=\frac{1}{x}\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[f'(x)=-\frac{1}{x^2}

racine carrée

f(x)=\sqrt{x}]0;+\infty[f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
exponentiellef(x)=e^x\mathbf{R}f'(x)=e^x

3. On calcule la dérivée f'(x) 

On remplace u par  3x-3v par e^x, u’ par  3 et v’ par e^x dans la formule u’\times v+u\times v’ 

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)=( (3x-3)e^x)’\\f'(x)=(3x-3)’\times{e^x}+{(3x-3)}\times{(e^x)’}\\f'(x)=3\times{e^x}+{(3x-3)}\times{e^x}

On développe le deuxième produit .

f'(x)=3e^x+3xe^x-3e^x\\f'(x)=3xe^x

 

On veut étudier le signe de f'(x)=3xe^x sur \mathbf{R}.

On clique sur le + de la sixième ligne du tableau ci-dessous : la quantité est un produit.

  1. de nombres positifs alors la quantité est positive.
  2. de nombres négatifs alors la quantité est négative.
  3. de nombres de signes contraires ou indéterminés alors on ne peut pas conclure

On peut factoriser et étudier le signe d’un produit

On peut résoudre la quantité >0 

On utilise le tableau suivant :

On utilise le résultat du cours suivant :

si \Delta>0

si \Delta=0

si \Delta<0

La quantité est toujours positive.

Exemples : les quantités x^2 , (2x+5)^4 sont toujours positives

La quantité est du signe de ce qui est élevé à la puissance.

Exemple : la quantité x^3 est du signe de x, la quantité (2x-1)^5 est du signe de 2x-1.

On détermine le signe de chaque facteur et on applique la règle des signes. Si besoin, on fait un tableau de signes comme en seconde.

On étudie le signe du numérateur et le signe du dénominateur. Si nécessaire, ensuite on fait un tableau de signes comme en seconde.

On calcule la dérivée, on étudie son signe et on fait le tableau de variations. Ensuite, sur la dernière ligne du tableau de variations, on lit le signe de la quantité.  

Le deuxième facteur e^x est toujours positif.

Le produit est donc du signe du facteur  : 3x.

On étudie le signe de 3x pour cela, on clique sur le +  la 2ème ligne : la quantité est de la forme ax+b.

J’identifie les coefficients . a=3, b=0 et -\frac{b}{a}=-\frac{0}{3}=0.

Comme a=3, il est positif et on obtient le tableau de signes suivant

Comme f'(x) est du signe de 3x, voici le tableau de signe pour f'(x).

 

 

 

On utilise la question précédente pour le signe de f'(x).

On calcule f(0) pour compléter la 3ième ligne du tableau de variations en remplaçant tous les x par 0 dans f(x)=(3x-3)e^x.

f(0)=(3\times 0-3)e^0

f(0)=(-3)\times 1

f(0)=-3

Il n’est pas nécessaire d’effectuer un calcul, la réponse se trouve dans le tableau de variations.

D’après le tableau de variations précédent,  f(0)=-3. Donc le point de coordonnées (0;-3) est sur la courbe.

Il est aussi sur l’axe des ordonnées.

Donc la courbe coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées (0;-3).

On détermine l’équation réduite de la tangente à la courbe de f définie par f(x)=(3x-3)e^x au point d’abscisse 1.

Je calcule f(1) en remplaçant tous les x par 1 dans f(x)=(3x-3)e^x

f(1)=(3\times 1-3)e^1

f(1)=(3-3)e

f(1)=0\times e

f(1)=0

Je calcule f'(1) en remplaçant tous les x par 1 dans f'(x)=3xe^x

f'(1)=3\times 1e^1

f'(1)=3e

Je remplace a,f(a),f'(a) par 1, 0, 3e dans y=f'(a)(x-a)+f(a)

y=3e(x-1)+0

y=3ex-3e

L’équation de la tangente est y=3ex-3e.

 

g(x)= 1-x+e^x pour x\in \mathbf{R}.

1.On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est une somme de trois termes 1, -x et e^x.

On va utiliser la ligne n°1 du tableau n°1 ci-dessous.

f(x) est 

f'(x) se calcule ainsi :

une somme u+v

u’+v’

le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku

k\times u’

un produit de deux fonctions u\times v

u’\times v+u\times v’

l’inverse d’une fonction \frac{1}{u}

-\frac{u’}{u^2}

un quotient \frac{u}{v}

\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}

On calcule la dérivée de 1

1 est une fonction de référence, on utilise la ligne constante du tableau n°2

(1)’=0

 

On calcule la dérivée de -x

-x est le produit d’une constante -1 par la fonction de référence x, on utilise la ligne 2 du tableau n°1

(-x)’=-1(x)’

x est une fonction de référence, on utilise la ligne identité du tableau n°2

(-x)’=-1\times 1

(-x)’=-1

On calcule la dérivée de e^x

e^x est une fonction de référence, on utilise la ligne exponentielle du tableau n°2

(e^x)’=e^x

 

Fonction

f(x)

Dérivable sur…

f'(x)

constante

f(x)=k\mathbf{R}f'(x)=0

identité

f(x)=x\mathbf{R}f'(x)=1

carré

f(x)=x^2\mathbf{R}f'(x)=2x

cube

f(x)=x^3\mathbf{R}f'(x)=3x^2

inverse 

f(x)=\frac{1}{x}\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[f'(x)=-\frac{1}{x^2}

racine carrée

f(x)=\sqrt{x}]0;+\infty[f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
exponentiellef(x)=e^x\mathbf{R}f'(x)=e^x

3. On calcule la dérivée g'(x) 

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

g'(x)=(1-x+e^x)’\\g'(x)=(1)’-(x)’+(e^x)’\\g'(x)=0-1+e^x\\g'(x)=-1+e^x

 

Pour résoudre e^x-1>0, il faut se ramener à une écriture de la forme e^a>e^b

e^x-1>0

e^x>1

e^x>e^0

x>0

Donc S=]0;+\infty[.

On utilise la question précédente pour le signe de g'(x).

On calcule g(0) pour compléter la 3ième ligne du tableau de variations en remplaçant tous les x par 0 dans g(x)=1-x+e^x.

g(0)=1-0+e^0

g(0)=1-0+1

g(0)=2

On utilise le tableau de variations, on constate que le minimum pour  g est 2, donc le signe de g(x) est positif.

 

f(x)= x+1+\frac{x}{e^x} pour x\in \mathbf{R}.

1.On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est une somme de trois termes x, 1 et \frac{x}{e^x}.

On va utiliser la ligne n°1 du tableau n°1 ci-dessous.

f(x) est 

f'(x) se calcule ainsi :

une somme u+v

u’+v’

le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku

k\times u’

un produit de deux fonctions u\times v

u’\times v+u\times v’

l’inverse d’une fonction \frac{1}{u}

-\frac{u’}{u^2}

un quotient \frac{u}{v}

\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}

On calcule la dérivée de x

x est une fonction de référence, on utilise la ligne identité du tableau n°2

(x)’=1

On calcule la dérivée de 1

1 est une fonction de référence, on utilise la ligne constante du tableau n°2

(1)’=0

 

On calcule la dérivée de \frac{x}{e^x}

\frac{x}{e^x} est un quotient de la forme \frac{u}{v} 

 

 u(x)=x  donc u'(x)=1 

 v(x)=e^x donc v'(x)=e^x 

On remplace dans \frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}

(\frac{x}{e^x})’=\frac{1\times e^x-x\times e^x}{e^{2x}}

Fonction

f(x)

Dérivable sur…

f'(x)

constante

f(x)=k\mathbf{R}f'(x)=0

identité

f(x)=x\mathbf{R}f'(x)=1

carré

f(x)=x^2\mathbf{R}f'(x)=2x

cube

f(x)=x^3\mathbf{R}f'(x)=3x^2

inverse 

f(x)=\frac{1}{x}\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[f'(x)=-\frac{1}{x^2}

racine carrée

f(x)=\sqrt{x}]0;+\infty[f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
exponentiellef(x)=e^x\mathbf{R}f'(x)=e^x

3. On calcule la dérivée f'(x) 

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)=(x+1+\frac{x}{e^x})’\\f'(x)=(x)’+(1)’+(\frac{x}{e^x})’\\f'(x)=1+0+\frac{1\times e^x-x\times e^x}{e^{2x}}\\f'(x)=1+0+\frac{ e^x-xe^x}{e^{2x}}\\f'(x)=1+\frac{ e^x(1-x)}{e^{2x}}\\f'(x)=1+\frac{ 1-x}{e^{x}}\\f'(x)=1\times \frac{ e^{x}}{e^{x}} +\frac{ 1-x}{e^{x}}\\f'(x)=\frac{ e^{x}}{e^{x}} +\frac{ 1-x}{e^{x}}\\f'(x)=\frac{ e^{x}+1-x}{e^{x}} \\f'(x)= (e^{x}+1-x)\times\frac{ 1}{e^{x}} \\f'(x)= (1-x+e^{x})\times{e^{-x}} \\f'(x)= g(x)\times e^{-x} \\f'(x)=e^{-x}\times g(x)

 

 

 

On a montré à la question B1 que f'(x)=e^{-x}\times g(x).

Comme e^{-x} est toujours positif et que g(x) est toujours positive ( voir question A3), on peut conclure que f'(x) est toujours positif, donc la fonction f est croissante.

f(x)= (x^2-3x+2)e^x pour x\in \mathbf{R}.

1.On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est le produit de deux fonctions u\times v avec  u(x)=x^2-3x+2 et v(x)=e^x.

On va utiliser la ligne n°3 du tableau n°1 ci-dessous.

f(x) est 

f'(x) se calcule ainsi :

une somme u+v

u’+v’

le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku

k\times u’

un produit de deux fonctions u\times v

u’\times v+u\times v’

l’inverse d’une fonction \frac{1}{u}

-\frac{u’}{u^2}

un quotient \frac{u}{v}

\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}

2a.on veut calculer la dérivée  u'(x)

u(x)=x^2-3x+2 est une  somme, on utilise la 1ère ligne du tableau n°1 

u'(x)=(x^2-3x+2)’

u'(x)=(x^2)’-(3x)’+(2)’

Puis on utilise la 2ième ligne du tableau n°1 

u'(x)=(x^2)’-3(x)’-(2)’

On utilise les lignes 1 (constante), 2 (identité)  et 3 (carré) du tableau 2 ci-dessous pour finir le calcul.

u'(x)=2x-3\times 1-0

u'(x)=2x-3

2b.on veut calculer la dérivée  v'(x)

v(x)=e^x est une fonction de référence, on utilise la ligne exponentielle du tableau n°2

v'(x)=(e^x)’

v'(x)=e^x

 

Fonction

f(x)

Dérivable sur…

f'(x)

constante

f(x)=k\mathbf{R}f'(x)=0

identité

f(x)=x\mathbf{R}f'(x)=1

carré

f(x)=x^2\mathbf{R}f'(x)=2x

cube

f(x)=x^3\mathbf{R}f'(x)=3x^2

inverse 

f(x)=\frac{1}{x}\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[f'(x)=-\frac{1}{x^2}

racine carrée

f(x)=\sqrt{x}]0;+\infty[f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
exponentiellef(x)=e^x\mathbf{R}f'(x)=e^x

3. On calcule la dérivée f'(x) 

On remplace u par  x^2-3x+2v par e^x, u’ par  2x-3 et v’ par e^x dans la formule u’\times v+u\times v’ 

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)=( (x^2-3x+2)e^x)’\\f'(x)=(x^2-3x+2)’\times{e^x}+{(x^2-3x+2)}\times{(e^x)’}\\f'(x)=(2x-3)\times{e^x}+{(x^2-3x+2)}\times{e^x}

On développe les produits .

f'(x)=2xe^x-3e^x+x^2e^x-3xe^x+2e^x\\f'(x)=-e^x+x^2e^x-xe^x\\f'(x)=x^2e^x-xe^x-e^x\\f'(x)=e^x(x^2-x-1)

 

 

 Etude du signe du polynôme x^2-x-1 

J’identifie les coefficients a=1, b=-1 et c=1.

Je calcule \Delta=b²-4ac  en remplaçant a,b,c  par 1, (-1),(-1)  .

\Delta=(-1)²-4\times{1}\times{(-1)}\\\Delta=1+4\\\Delta=5

Comme \Delta>0 , l’équation admet deux solutions réelles notées

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.

et ax²+bx+c est  du signe de a à l’extérieur des racines et du signe de (-a) à l’intérieur des racines.

Je calcule x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par 1, (-1), 5.

x_1=\frac{-(-1)-\sqrt{5}}{2\times{1}}

x_1=\frac{1-\sqrt{5}}{2}

Je calcule x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par 1, (-1), 5.

x_2=\frac{-(-1)+\sqrt{5}}{2\times{1}}

x_2=\frac{1+\sqrt{5}}{2}

Je dresse le tableau de signes du polynôme.

Comme a=1 le signe de a est positif

 

 

 

Comme f'(x)=(x^2-x-1)e^x et que e^x est toujours positif, f'(x) est donc du signe de x^2-x-1 qu’on a déterminé dans la question précédente.

Pour compléter la dernière ligne du tableau de variations, on va calculer f(\frac{1-\sqrt{5}}{2}) et f(\frac{1+\sqrt{5}}{2}) à l’aide de la TI-83 Premium CE.

Voici le tableau de variations de f sur \mathbf{R}

 

 

 

Une petite conjecture graphique semble judicieuse et on constate que la courbe de la fonction f coupe l’axe des abscisses en deux points d’abscisses respectives 1 et 2.

Cependant telle que la question est posée, elle appelle une justification par le calcul.

Pour déterminer les abscisses des éventuels points d’intersection entre la courbe et l’axe des abscisses il faut résoudre  l’équation f(x)=0.

(x^2-3x+2)e^x=0

Un  produit est nul lorque l’un des facteurs est nul. Comme e^x ne peut pas s’annuler, c’est donc x^2-3x+2 qui s’annule.

J’identifie les coefficients l’équation a=1, b=-3 et c=2.

Je calcule \Delta=b²-4ac  en remplaçant a,b,c  par 1, (-3),2.

\Delta=(-3)²-4\times{1}\times{2}\\\Delta=9-8\\\Delta=1

comme \Delta>0 , l’équation admet deux solutions réelles notées

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}

Je calcule x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par 1, (-3)  , 1.

x_1=\frac{-(-3)-\sqrt{1}}{2\times{1}}\\x_1=\frac{3-1}{2}\\x_1=\frac{2}{2}\\x_1=1

Je calcule x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par 1, (-3)  , 1.

x_2=\frac{-(-3+\sqrt{1}}{2\times{1}}\\x_2=\frac{3+1}{2}\\x_2=\frac{4}{2}\\x_2=2

Je conclus S=\{1;2\}.

La courbe et l’axe des abscisses se coupent en deux points de coordonnées respectives (1;0) et (2;0).

Comme les deux points sont sur l’axe des abscisses, leurs ordonnées sont nulles.

 

On détermine l’équation réduite de la tangente à la courbe de f définie par f(x)=(x^2-3x+2)e^x au point d’abscisse 1.

Je ne calcule pas f(1)

D’après la question précédente, f(1)=0.

Je calcule f'(1) en remplaçant tous les x par 1 dans f'(x)=(x^2-x-1)e^x

f'(1)=(1^2-1-1)e^1\\ f'(1)=(1-1-1)e\\ f'(1)=-e

Je remplace a,f(a),f'(a) par 1, 0, e dans y=f'(a)(x-a)+f(a)

y=-e(x-1)+0

y=-ex-e

L’équation de la tangente est y=-ex-e.

 

D’après la courbe ci-dessous, f(0)=-1

On calcule maintenant f(0) en remplaçant tous les x par 0 dans f(x)=(ax+b)e^{05x}.

f(0)=(a\times 0+b)e^{05\times 0}

f(0)=be^0

f(0)=b\times 1

f(0)=b

On a trouvé graphiquement que f(0)=-1, donc

b=-1

 

 

 

T passe par A(0;-1) B(2;6)

On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et B ainsi

\hspace{0.3cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.4cm} x_{B} y_{B}

A(0;-1) \hspace{0.2cm} B(2;6)

Je compare x_{A} et x_{B}

x_{A} \neq x_{B} car   0 \neq 2

Je peux donc calculer le coefficient directeur , en utilisant la formule suivante:

a=\frac{y_{B}-y_{A}} {x_{B}-x_{A}}

On prend soin ensuite de remplacer les lettres par les bons nombres. Si le nombre est négatif, je prends l’habitude de l’écrire entre parenthèses.

a=\frac{6-(-1)} {2-0} \\ a=\frac{7} {2}

Je calcule ensuite l’ordonnée à l’origine, en utilisant la formule suivante:

b= y_{A} – ax_{A}

On prend soin ensuite de remplacer les lettres par les bons nombres. Si le nombre est négatif, je prends l’habitude de l’écrire entre parenthèses.

b=(-1)-\frac{7} {2}\times 0

b=-1

Pour finir je remplace a et b par \frac{7} {2} et -1 dans l’équation réduite y=ax+b

L’équation de la droite T est

y= \frac{7} {2}x-1

 

 

f(x)= (ax+b)e^{0.5x} pour x\in \mathbf{R}.

On a montré que b=-1 dans la question 1, donc f(x)= (ax-1)e^{0.5x}

1.On veut calculer f'(x) en fonction de x et en fonction de a.

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est le produit de deux fonctions u\times v avec  u(x)=ax-1 et v(x)=e^{0.5x}.

On va utiliser la ligne n°3 du tableau n°1 ci-dessous.

f(x) est 

f'(x) se calcule ainsi :

une somme u+v

u’+v’

le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku

k\times u’

un produit de deux fonctions u\times v

u’\times v+u\times v’

l’inverse d’une fonction \frac{1}{u}

-\frac{u’}{u^2}

un quotient \frac{u}{v}

\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}

2a.on veut calculer la dérivée  u'(x)

u(x)=ax-1 est une  somme, on utilise la 1ère ligne du tableau n°1 

u'(x)=(ax-1)’

u'(x)=(ax)’-(1)’

Puis on utilise la 2ième ligne du tableau n°1 

u'(x)=a(x)’-(1)’

On utilise les lignes 1 (constante) et  2 (identité) du tableau 2 ci-dessous pour finir le calcul.

u'(x)=a\times 1+0

u'(x)=a

2b.on veut calculer la dérivée  v'(x)

v(x)=e^{0.5x} est une fonction de la forme e^{kx} , on utilise l’avant-dernière ligne du tableau n°1

v'(x)=(e^{0.5x})’

v'(x)=0.5e^{0.5x}

Fonction

f(x)

Dérivable sur…

f'(x)

constante

f(x)=k\mathbf{R}f'(x)=0

identité

f(x)=x\mathbf{R}f'(x)=1

carré

f(x)=x^2\mathbf{R}f'(x)=2x

cube

f(x)=x^3\mathbf{R}f'(x)=3x^2

inverse 

f(x)=\frac{1}{x}\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[f'(x)=-\frac{1}{x^2}

racine carrée

f(x)=\sqrt{x}]0;+\infty[f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
exponentiellef(x)=e^x\mathbf{R}f'(x)=e^x

3. On calcule la dérivée f'(x) 

On remplace u par  ax-1v par e^{0.5x}, u’ par  a et v’ par 0.5e^{0.5x} dans la formule u’\times v+u\times v’ 

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)=( (ax-1)e^{0.5x})’\\f'(x)=(ax-1)’\times{e^{0.5x}}+{(ax-1)}\times{(e^{0.5x})’}\\f'(x)=a\times{e^{0.5x}}+{(ax-1)}\times{0.5e^{0.5x}}

On développe les produits .

f'(x)=ae^{0.5x}+0.5axe^{0.5x}-0.5e^{0.5x}\\f'(x)=e^{0.5x}(a+0.5ax-0.5)

 

On va exprimer f'(0) en fonction de a par le calcul  en remplaçant tous les x par  0 dans 

f'(x)=e^{0.5x}(a+0.5ax-0.5).

f'(0)=e^{0.5\times 0}(a+0.5a\times 0-0.5)\\f'(0)=e^{0}(a+0-0.5)\\f'(0)=a-0.5

On va exprimer graphiquement f'(0) comme le coefficient directeur de la tangente  à la courbe de   f au point d’absisse  0. Cette tangente est la droite T de l’énoncé qui a pour coefficient directeur \frac{7}{2}.

f'(0)=\frac{7}{2}

Donc :

a-0.5=\frac{7}{2}

a=\frac{7}{2}+0.5

a=4

On remplace a par 4 dans f(x)=(ax-1)e^{0.5x}

Donc f(x)=(4x-1)e^{0.5x}

 

On a montré précédemment que f'(x)=(a+0.5ax-0.5)e^{0.5x}.

On aussi montré que a=4.

Donc :

f'(x)=(4+0.5\times 4x-0.5)e^{0.5x}\\f'(x)=(4+2x-0.5)e^{0.5x}\\f'(x)=(3.5+2x)e^{0.5x}

 

On veut étudier le signe de f'(x)=(2x+3.5)e^{0.5x} sur \mathbf{R}.

On clique sur le + de la sixième ligne du tableau ci-dessous : la quantité est un produit.

  1. de nombres positifs alors la quantité est positive.
  2. de nombres négatifs alors la quantité est négative.
  3. de nombres de signes contraires ou indéterminés alors on ne peut pas conclure

On peut factoriser et étudier le signe d’un produit

On peut résoudre la quantité >0 

On utilise le tableau suivant :

On utilise le résultat du cours suivant :

si \Delta>0

si \Delta=0

si \Delta<0

La quantité est toujours positive.

Exemples : les quantités x^2 , (2x+5)^4 sont toujours positives

La quantité est du signe de ce qui est élevé à la puissance.

Exemple : la quantité x^3 est du signe de x, la quantité (2x-1)^5 est du signe de 2x-1.

On détermine le signe de chaque facteur et on applique la règle des signes. Si besoin, on fait un tableau de signes comme en seconde.

On étudie le signe du numérateur et le signe du dénominateur. Si nécessaire, ensuite on fait un tableau de signes comme en seconde.

On calcule la dérivée, on étudie son signe et on fait le tableau de variations. Ensuite, sur la dernière ligne du tableau de variations, on lit le signe de la quantité.  

Le deuxième facteur e^{0.5x} est toujours positif.

Le produit est donc du signe du facteur  : 2x+3.5.

On étudie le signe de 2x+3.5 pour cela, on clique sur le +  la 2ème ligne : la quantité est de la forme ax+b.

J’identifie les coefficients . a=2, b=3.5 et -\frac{b}{a}=-\frac{3.5}{2}=-1.75.

Comme a=2, il est positif et on obtient le tableau de signes suivant

Comme f'(x) est du signe de 2x+3.5, voici le tableau de signe pour f'(x).

Il ne reste plus qu’à dresser le tableau de variations de f.

Pour que la troisième ligne soit complète, on calcule  f(-1.75).

f(-1.75)=(4\times(-1.75)-1)e^{0.5\times (-1.75)}

f(-1.75)=(-7-1)e^{-0.875}

f(-1.75)=-8e^{-0.875}

D’après le tableau de variations, le minimum est  -8e^{-0.875}, il est atteint pour x=-1.75

 

 

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.