T. Equations différentielles et primitives

ANALYSE, Niveau terminale spécialité, Primitives et équations différentielles.

Généralités

Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue ( représentée par la lettre $y$ ) est une fonction.

L’égalité peut comporter comme toute équation, le signe égal, la fonction inconnue notée $y$ , éventuellement des dérivées successives $y’$ , $y^{ »}$ , …d’autres fonctions, des nombres et des opérations.

Exemple n°1 : $y’=2x$ est une équation différentielle.

Exemple n°2 : $y’=3x^2$ est une équation différentielle.

Exemple n°3 : soit $y’-y=0$ est une équation différentielle.

Exemple n°4 : $y’=2y$ est une équation différentielle.

Exemple n°5 : soit $y’=3y+1$ est une équation différentielle.

Equation de la forme y’=f et primitive

Définition : primitives d’une fonction

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ .

On appelle primitive de $f$ toute fonction dérivable sur $I$ solution de l’équation $y’=f$ .

Remarque : on a coutume d’appeler $F$ la primitive de $f$ et on a alors $F'(x)=f(x)$ .

Exercice n°1

Vérifier que la fonction $F$ est une primitive de $f$ dans chaque cas, ce qui revient à montrer que $F$ est solution de l’équation différentielle $y’=f$ .

a) $f(x)=2x-5$ et $F(x)=x^2-5x+6$ définies sur $\mathbf{R}$

b) $f(x)=3x^2-3x$ et $F(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+9$ définies sur $\mathbf{R}$

c) $f(x)=\frac{2x}{x^2+1}$ et $F(x)=ln(x^2+1)$ définies sur $\mathbf{R}$

d) $f(x)=(x+1)e^x$ et $F(x)=xe^x$ définies sur $\mathbf{R}$

e) $f(x)=12x(3x^2-1)$ et $F(x)=(3x^2-1)^2$ définies sur $\mathbf{R}$

Vérification des résultats obtenus aux exercices à l’aide du Calcul Formel de Géogébra

Pour calculer, par exemple, la dérivée de $F(x)=x^2-5x+6$

Saisir $x^2-5x+6$ sur la ligne 1, cliquer sur le neuvième onglet : $f’$ . Apparaît alors : Dérivée $2x-5$

Primitive d’une fonction

Théorème : (existence des primitives )

Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$ .

Théorème : (ensemble des primitives et conditions initiales)

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et admettant une primitive $F$ . Alors toutes les primitives de $f$ sont de la forme $F+k$ où $k$ est une constante réelle.

Quelque soient $x_0$ et $y_0$ , il existe une unique primitive qui vérifie $F(x_0)=y_0$ .

Théorème : (primitive de f+g et primitive de k.f)

Soient $f$ et $g$ deux fonctions admettant les primitives $F$ et $G$ sur un intervalle $I$ .

La fonction $F+G$ est une primitive de $f+g$ sur $I$ .

Soit $k$ un réel, la fonction $kF$ est une primitive de $kf$ sur $I$ .

Primitives et opérations

1.Tableau des primitives des fonctions usuelles

La fonction $f(x)$	a pour primitive $F(x)$	sur l’intervalle
$f(x)=k$	$F(x)=kx$	$\mathbf{R}$
$f(x)=x$	$F(x)=\frac{x^2}{2}$	$\mathbf{R}$
$f(x)=x^2$	$F(x)=\frac{x^3}{3}$	$\mathbf{R}$
$f(x)=x^n$ ( si $n\in \mathbf{Z}, n\ne 0, n\ne -1)$	$F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1}$	$\mathbf{R}$ si $n>0$ $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ si $n<-1$
$f(x)=-\frac{1}{x^2}$	$F(x)=\frac{1}{x}$	$]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$
$f(x)=\frac{1}{x}$	$F(x)=ln(x)$	$]0;+\infty[$
$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$	$F(x)=2\sqrt{x}$	$]0;+\infty[$
$f(x)=sin(x)$	$F(x)=-cos(x)$	$\mathbf{R}$
$f(x)=cos(x)$	$F(x)=sin(x)$	$\mathbf{R}$
$f(x)=e^x$	$F(x)=e^x$	$\mathbf{R}$

2. Primitives et opérations

La fonction $f(x)$ est de la forme	elle a pour primitive $F(x)$	Conditions
$f(x)=u'(x)\times u^n(x)$	$F(x)=\frac{u^{n+1}(x)}{n+1}$	si $n>-1, u(x)\ne 0$
$f(x)=\frac{u'(x)}{u^2(x)}$	$F(x)=-\frac{1}{u(x)}$	$u(x)\ne 0$
$f(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}$	$F(x)=ln(\|u(x)\|)$	$u(x)\ne 0$
$f(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$	$F(x)=\sqrt{u(x)}$	$u(x)> 0$
$f(x)=u'(x)\times e^{u(x)}$	$F(x)=e^{u(x)}$
$(v’ou)\times u’$	$vou$	$v$ est une fonction dérivable sur $J$ et $u(x)\in J$