T. Equations différentielles et primitives

Sommaire

Généralités

Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue ( représentée par la lettre y) est une fonction.

L’égalité peut comporter comme toute équation, le signe égal, la fonction inconnue notée y, éventuellement des dérivées successives  y’, y^{ »}, …d’autres fonctions, des nombres et des opérations.

Exemple n°1 : y’=2x est une équation différentielle.

Exemple n°2 : y’=3x^2 est une équation différentielle.

Exemple n°3 : soit y’-y=0 est une équation différentielle.

Exemple n°4 : y’=2y est une équation différentielle.

Exemple n°5 : soit y’=3y+1 est une équation différentielle.

Equation de la forme y’=f et primitive

Définition : primitives d’une fonction

Soit f une fonction définie sur un intervalle I.

On appelle primitive de f toute fonction dérivable sur I solution de l’équation y’=f.

Remarque : on a coutume d’appeler F la primitive de f et on a alors F'(x)=f(x).

Exercice n°1

Vérifier que la fonction F est une primitive de f dans chaque cas, ce qui revient à montrer que F est solution de l’équation différentielle y’=f.

a) f(x)=2x-5 et F(x)=x^2-5x+6 définies sur \mathbf{R}

b) f(x)=3x^2-3x et F(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+9 définies sur \mathbf{R}

c) f(x)=\frac{2x}{x^2+1} et F(x)=ln(x^2+1) définies sur \mathbf{R}

d) f(x)=(x+1)e^x et F(x)=xe^x définies sur \mathbf{R}

e) f(x)=12x(3x^2-1) et F(x)=(3x^2-1)^2 définies sur \mathbf{R}

Vérification des résultats obtenus aux exercices à l’aide du Calcul Formel de Géogébra

Pour calculer, par exemple, la dérivée de F(x)=x^2-5x+6

Saisir x^2-5x+6 sur la ligne 1, cliquer sur le neuvième onglet :f’. Apparaît alors : Dérivée 2x-5

Primitive d’une fonction

Théorème : (existence des primitives )

Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.

Théorème : (ensemble des primitives et conditions initiales)

Soit  f une fonction continue sur un intervalle I et admettant une primitive F. Alors toutes les primitives de f sont de la forme F+k où  k est une constante réelle.

Quelque soient x_0 et y_0 , il existe une unique primitive qui vérifie F(x_0)=y_0 .

Théorème : (primitive de f+g et primitive de k.f)

Soient f et g deux fonctions  admettant les primitives F et G sur un intervalle I.

La fonction F+G est une primitive de f+g sur I .

Soit  k un réel, la fonction kF est une primitive de kf sur I.

Primitives et opérations

1.Tableau des primitives des fonctions usuelles

La fonction f(x)a pour primitive F(x)sur l’intervalle
f(x)=kF(x)=kx\mathbf{R}
f(x)=xF(x)=\frac{x^2}{2}\mathbf{R}
f(x)=x^2F(x)=\frac{x^3}{3}\mathbf{R}
f(x)=x^n

( si n\in \mathbf{Z}, n\ne 0, n\ne -1)

F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1}

\mathbf{R} si n>0

]-\infty;0[\cup]0;+\infty[ si n<-1

f(x)=-\frac{1}{x^2}F(x)=\frac{1}{x}]-\infty;0[\cup]0;+\infty[
f(x)=\frac{1}{x}F(x)=ln(x)]0;+\infty[
f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}F(x)=2\sqrt{x}]0;+\infty[
f(x)=sin(x)F(x)=-cos(x)\mathbf{R}
f(x)=cos(x)F(x)=sin(x)\mathbf{R}
f(x)=e^xF(x)=e^x\mathbf{R}

2. Primitives et opérations

La fonction f(x) est de la formeelle a pour primitive  F(x) Conditions
f(x)=u'(x)\times u^n(x)F(x)=\frac{u^{n+1}(x)}{n+1}si n>-1, u(x)\ne 0
f(x)=\frac{u'(x)}{u^2(x)}F(x)=-\frac{1}{u(x)}u(x)\ne  0
f(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}F(x)=ln(|u(x)|)u(x)\ne 0
f(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}F(x)=\sqrt{u(x)}u(x)> 0
f(x)=u'(x)\times e^{u(x)}F(x)=e^{u(x)} 
(v’ou)\times u’vouv est une fonction dérivable sur J et u(x)\in J

Exercice n°2: Déterminer une primitive quand la fonction est une somme

Déterminer une primitive F des fonctions suivantes.

a. f(x)=3x^2+2x pour x \in \mathbf{R}.

b. f(x)=5x^2-3x+2 pour x \in \mathbf{R}.

c. f(x)=x^3+2x+1 pour x \in \mathbf{R}.

d. f(x)=3x^3-3x^2+x pour x \in \mathbf{R}.

Exercice n°3: Déterminer une primitive quand la fonction est de la forme u’u^n

Déterminer une primitive F des fonctions suivantes.

a. f(x)=6x^2(x^3+5) pour x \in \mathbf{R}.

b. f(x)=e^x(e^x+1)^2 pour x \in \mathbf{R}.

c. f(x)=e^{2x}(e^{2x}-1)^3 pour x \in \mathbf{R}.

Exercice n°4 : Déterminer une primitive quand la fonction est de la forme u’/u²

Déterminer une primitive F des fonctions suivantes.

a. f(x)=\frac{2x+1}{(x^2+x)^2} pour x \in ]0;+\infty[.

b. f(x)=\frac{e^{2x}}{(e^{2x}+1)^2} pour x \in \mathbf{R}.

c. f(x)=\frac{1}{(2x+1)^2} pour x \in ]0;+\infty[.

Exercice n°5: Déterminer une primitive quand la fonction est de la forme u’/u

Déterminer une primitive F des fonctions suivantes.

a. f(x)=\frac{2x}{(x^2+1)} pour x \in \mathbf{R}.

b. f(x)=\frac{5}{2x+1} pour x \in ]-\frac{1}{2};+\infty[.

c. f(x)=\frac{e^x}{e^x+2} pour x \in \mathbf{R}.

Exercice n°6: Déterminer une primitive quand la fonction est de la forme u’/2Vu

Déterminer une primitive F des fonctions suivantes.

a. f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} pour x \in \mathbf{R}.

b. f(x)=\frac{3}{\sqrt{2x+1}} pour x \in ]-\frac{1}{2};+\infty[.

c. f(x)=\frac{e^x}{\sqrt{e^x+2}} pour x \in \mathbf{R}.

Exercice n°7 : Déterminer une primitive quand la fonction est de la forme u’.e^u

Déterminer une primitive F des fonctions suivantes.

a. f(x)=4xe^{2x^2+1} pour x \in \mathbf{R}.

b. f(x)=e^{2x+1} pour x \in \mathbf{R}.

c. f(x)=(2x+4) e^{x^2+4x+1} pour x \in \mathbf{R}.

Exercice n°8: Déterminer une primitive vérifiant une condition initiale

Dans chaque cas, déterminer la primitive F  vérifiant  F(x_0)=y_0.

a. f(x)=2x^3+x^2-1 pour x \in \mathbf{R} et x_0=0 et y_0=-1

b. f(x)=(2x+1)(x^2+x+3) pour x \in \mathbf{R} et x_0=1 et y_0=\frac{1}{2}.

c. f(x)=2xe^{3x^2} pour x \in \mathbf{R} et x_0=0 et y_0=\frac{4}{3}.

d. f(x)=\frac{3}{3x+1} pour x \in ]-\frac{1}{3};+\infty[ et x_0=2 et y_0=ln(2) .

Vérification des résultats obtenus aux exercices à l’aide du Calcul Formel de Géogébra

Pour trouver l’ensemble des primitives de f(x)=x^2-5x+1

Saisir x^2-5x+1 sur la ligne 1, cliquer sur le dixième onglet :\int. Apparaît alors : Intégrale \frac{1}{3}x^3-\frac{5}{2}x^2+x+c_1 qui est une primitive de f(x).

Remarque c_1 représente une constante réelle. Lorsqu’on fait varier c_1 , on obtient toutes les primitives de f .

Résolution des équations différentielles

Théorème : (résoudre une équation différentielle de la forme y’=ay)

Les équations différentielles de la forme  y’=aya est un réel non nul ont pour solutions les fonctions du type x \rightarrow ke^{ax} avec k \in \mathbf{R}.

Pour tous x_0 et y_0 deux réels donnés, il existe une unique solution f vérifiant f(x_0)=y_0.

Exercice n°9 : résoudre des équations différentielles de la forme y’=ay sans condition initiale

Dans chaque cas, résoudre l’équation différentielle

a. y’=2y.

b. 3y’=-12y.

c. 4y’+3y=0.

Exercice n°10 : résoudre des équations différentielles de la forme y’=ay avec condition initiale

Dans chaque cas, résoudre l’équation différentielle puis trouver la solution qui vérifie la condition intiale.

a. Déterminer la solution f de l’équation  y’=y telle que f(1)=e.

b. Déterminer la solution f de l’équation  y’=-10y qui prend la valeur  \frac{2}{e} en -0.1.

c. Déterminer la solution f de l’équation  2y’+5y=0 qui prend la valeur  1 en 2.

Théorème : (résoudre une équation différentielle de la forme y’=ay+b)

Les équations différentielles de la forme  y’=ay+ba est un réel non nul et b est un réel , ont pour solutions les fonctions du type x \rightarrow ke^{ax}-\frac{b}{a} avec k \in \mathbf{R}.

Pour tous x_0 et y_0 deux réels donnés, il existe une unique solution f vérifiant f(x_0)=y_0.

Exercice n°11 : résoudre des équations différentielles de la forme y’=ay+b sans condition initiale

Dans chaque cas, résoudre l’équation différentielle

a. y’=-y+2.

b. 3y’-6y=12.

c. 4y’+3y-4=0.

Exercice n°12 : résoudre des équations différentielles de la forme y’=ay+b avec condition initiale

Dans chaque cas, résoudre l’équation différentielle puis trouver la solution qui vérifie la condition intiale.

a. Déterminer la solution f de l’équation  y’=2y-5 telle que f(1)=e

b. Déterminer la solution f de l’équation  3y’-12y=6 qui prend la valeur  \frac{2}{e} en -0.25.

c. Déterminer la solution f de l’équation  2y’+y-1=0 qui prend la valeur  1 en 2.

Propriété : (résoudre une équation différentielle de la forme y’=ay+f)

a est un réel et f une fonction définie sur un intervalle I.

Toute solution dans  I de l’équation différentielle (E)y’=ay+f est la somme d’une solution quelconque de l’équation y’=ay et d’une solution particulière de (E)

Exercice n°13 : résoudre des équations différentielles de la forme y’=ay+f 

On note (E) l’équation différentielle y’=-y+e^{-x}.
On admet que g: x\to xe^{-x} est une solution particulière de (E).
1. Donner toutes les solutions sur \mathbf{R} de l’équation différentielle (H):y’=-y

2. En déduire toute les solutions sur \mathbf{R} de l’équation différentielle (E).

3. Sachant que la fonction f est la solution particulière de (E)qui vérifie f(0)=2, déterminer une expression de f(x) en fonction de x.

f(x)= 2x-5 et F(x)= x^2-5x+6 pour x\in \mathbf{R}

On veut calculer F'(x).

On répond à la question suivante : F(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est la somme de trois termes :

x^2 , -5x et 6.

La dérivée d’une somme est la somme des dérivées d’après le tableau n°1 ci-dessous

f(x) est 

f'(x) se calcule ainsi :

une somme u+v

u’+v’

le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku

k\times u’

un produit de deux fonctions u\times v

u’\times v+u\times v’

l’inverse d’une fonction \frac{1}{u}

-\frac{u’}{u^2}

un quotient \frac{u}{v}

\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}
e^uu’e^u
ln(u)\frac{u’}{u}

Il faut donc calculer les dérivées des trois termes x^2 , -5x et 6 en utilisant les tableaux.

Je calcule la dérivée de x^2.

(x^2)’=2x

Je calcule la dérivée de -5x

(-5x)’=-5\times (x)’

(-5x)’=-5\times 1

(-5x)’=-5

Je calcule la dérivée de 6 .

(6)’=0

Fonction

f(x)

Dérivable sur…

f'(x)

constante

f(x)=k\mathbf{R}f'(x)=0

identité

f(x)=x\mathbf{R}f'(x)=1

carré

f(x)=x^2\mathbf{R}f'(x)=2x

cube

f(x)=x^3\mathbf{R}f'(x)=3x^2

inverse 

f(x)=\frac{1}{x}\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[f'(x)=-\frac{1}{x^2}

racine carrée

f(x)=\sqrt{x}]0;+\infty[f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}

exponentielle

f(x)=e^x\mathbf{R}f'(x)=e^x
logarithme népérienf(x)=ln(x)]0;+\infty[f'(x)=\frac{1}{x}

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

F'(x)= (x^2-5x+6)’\\F'(x)= (x^2)’-(5x)’+(6)’\\F'(x)= 2x-5

Comme F'(x)= f(x), on a vérifié que F est une primitive de f et aussi que F est une solution de l’équation différentielle y’=f.

f(x)=3x^2-3x et F(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+9 définies sur \mathbf{R}

On veut calculer F'(x).

On répond à la question suivante : F(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est la somme de trois termes :

x^3 , -\frac{3}{2}x^2 et 9.

La dérivée d’une somme est la somme des dérivées d’après le tableau n°1 ci-dessous

f(x) est 

f'(x) se calcule ainsi :

une somme u+v

u’+v’

le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku

k\times u’

un produit de deux fonctions u\times v

u’\times v+u\times v’

l’inverse d’une fonction \frac{1}{u}

-\frac{u’}{u^2}

un quotient \frac{u}{v}

\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}
e^uu’e^u
ln(u)\frac{u’}{u}

Il faut donc calculer les dérivées des trois termes x^3 , -\frac{3}{2}x^2 et 9 en utilisant les deux tableaux.

Je calcule la dérivée de x^3.

(x^3)’=3x^2

Je calcule la dérivée de -\frac{3}{2}x^2

(-\frac{3}{2}x^2)’=-\frac{3}{2}\times (x^2)’

\hspace{1.35cm}=-\frac{3}{2}\times 2x

\hspace{1.35cm}=-3x

Je calcule la dérivée de 9 .

(9)’=0

Fonction

f(x)

Dérivable sur…

f'(x)

constante

f(x)=k\mathbf{R}f'(x)=0

identité

f(x)=x\mathbf{R}f'(x)=1

carré

f(x)=x^2\mathbf{R}f'(x)=2x

cube

f(x)=x^3\mathbf{R}f'(x)=3x^2

inverse 

f(x)=\frac{1}{x}\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[f'(x)=-\frac{1}{x^2}

racine carrée

f(x)=\sqrt{x}]0;+\infty[f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}

exponentielle

f(x)=e^x\mathbf{R}f'(x)=e^x
logarithme népérienf(x)=ln(x)]0;+\infty[f'(x)=\frac{1}{x}

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

F'(x)= (x^3-\frac{3}{2}x^2+9)’\\\hspace{0.95cm}= (x^3)’-(\frac{3}{2}x^2)’+(9)’\\\hspace{0.95cm}= 3x^2-\frac{3}{2}\times (x^2)’+0\\\hspace{0.95cm}= 3x^2-\frac{3}{2}\times 2x\\\hspace{0.95cm}= 3x^2-3x

Comme F'(x)= f(x), on a vérifié que F est une primitive de f et aussi que F est une solution de l’équation différentielle y’=f.

f(x)= \frac{2x}{x^2+1} et F(x)= ln(x^2+1) pour x\in \mathbf{R}.

On veut calculer F'(x).

On répond à la question suivante : F(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction , le quotient de deux fonctions  , le carré d’une fonction ou ln(u(x))  ? 

C’est de la forme  ln(u(x)) avec  u(x)=x^2+1.

D’après le cours : La fonction ln(u):x\rightarrow ln(u(x)) est dérivable et (ln(u))'(x)= \frac{u'(x)}{u(x)} 

Calcul de u'(x)

u'(x)=(x^2+1)’

u'(x)=(x^2)’+(1)’

u'(x)=2x+0

u'(x)=2x

Calcul de F'(x)

On calcule en remplaçant u(x) par x^2+1 et u'(x) par 2x dans la formule \frac{u'(x)}{u(x)}  .

Voici ce qu’il faut écrire sur la copie :

F'(x)=(ln(x^2+1))’ \\\hspace{0.95cm}=\frac{(x^2+1)’}{x^2+1} \\\hspace{0.95cm}=\frac{2x}{x^2+1}

Comme F'(x)= f(x), on a vérifié que F est une primitive de f et aussi que F est une solution de l’équation différentielle y’=f.

f(x)=(x+1)e^x et F(x)=xe^x définies sur \mathbf{R}

1.On veut calculer F'(x).

On répond à la question suivante : F(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est le produit de deux fonctions u\times v avec  u(x)=x et v(x)=e^x.

On va utiliser la ligne n°3 du tableau n°1 ci-dessous.

f(x) est 

f'(x) se calcule ainsi :

une somme u+v

u’+v’

le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku

k\times u’

un produit de deux fonctions u\times v

u’\times v+u\times v’

l’inverse d’une fonction \frac{1}{u}

-\frac{u’}{u^2}

un quotient \frac{u}{v}

\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}
e^uu’e^u
ln(u)\frac{u’}{u}

2a.on veut calculer la dérivée  u'(x)

u'(x)=(x)’ 

\hspace{0.9cm}=1

 

2b.on veut calculer la dérivée  v'(x)

v(x)=e^x c’est une fonction de référence, on utilise la  ligne n°7 du deuxième tableau.

 v'(x)=e^x 

Fonction

f(x)

Dérivable sur…

f'(x)

constante

f(x)=k\mathbf{R}f'(x)=0

identité

f(x)=x\mathbf{R}f'(x)=1

carré

f(x)=x^2\mathbf{R}f'(x)=2x

cube

f(x)=x^3\mathbf{R}f'(x)=3x^2

inverse 

f(x)=\frac{1}{x}\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[f'(x)=-\frac{1}{x^2}

racine carrée

f(x)=\sqrt{x}]0;+\infty[f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}

exponentielle

f(x)=e^x\mathbf{R}f'(x)=e^x
logarithme népérienf(x)=ln(x)]0;+\infty[f'(x)=\frac{1}{x}

3. On calcule la dérivée F'(x) 

On remplace u par  xv par e^x, u’ par  1 et v’ par e^x dans la formule u’\times v+u\times v’ 

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

F'(x)= (xe^x)’\\\hspace{0.95cm}=(x)’\times{e^x}+(x)\times{(e^x)’} \\\hspace{0.95cm}=1\times{e^x}+x\times{e^x} \\\hspace{0.95cm}=(x+1)e^x

Comme F'(x)= f(x), on a vérifié que F est une primitive de f et aussi que F est une solution de l’équation différentielle y’=f.

 f(x)=12x(3x^2-1) et F(x)=(3x^2-1)^2 définies sur \mathbf{R}

On veut calculer F'(x).

On répond à la question suivante : F(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction , le quotient de deux fonctions  , le carré d’une fonction ou ln(u(x))  ? 

C’est le carré d’une fonction avec u(x)=3x^2-1.

D’après le cours : La fonction u^2:x\rightarrow u^2(x) est dérivable et (u^2)'(x)= 2 \times{u'(x)}\times{u(x)} 

Calcul de u'(x)

u'(x)=(3x^2-1)’

\hspace{0.9cm}=(3x^2)’-(1)’

\hspace{0.9cm}=3(x^2)’-0

\hspace{0.9cm}=3\times 2x

\hspace{0.9cm}=6x

Calcul de F'(x)

On calcule en remplaçant u(x) par 3x^2-1 et u'(x) par 6x dans la formule 2 \times{u'(x)}\times{u(x)} 

Voici ce qu’il faut écrire sur la copie :

F'(x)=((3x^2-1)^2)’ \\\hspace{0.95cm}=2 \times {6x}\times {(3x^2-1)} \\\hspace{0.95cm}=12 x(3x^2-1)

Comme F'(x)= f(x), on a vérifié que F est une primitive de f et aussi que F est une solution de l’équation différentielle y’=f.

La fonction f est la somme de deux termes 3x^2 et 2x. A l’aide du tableau ci-dessous on cherche des primitives de 3x^2 et 2x.

La fonction f(x)a pour primitive F(x)sur l’intervalle
f(x)=kF(x)=kx\mathbf{R}
f(x)=xF(x)=\frac{x^2}{2}\mathbf{R}
f(x)=x^2F(x)=\frac{x^3}{3}\mathbf{R}
f(x)=x^n

( si n\in \mathbf{Z}, n\ne 0, n\ne -1)

F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1}

\mathbf{R} si n>0

]-\infty;0[\cup]0;+\infty[ si n<-1

f(x)=-\frac{1}{x^2}F(x)=\frac{1}{x}]-\infty;0[\cup]0;+\infty[
f(x)=\frac{1}{x}F(x)=ln(x)]0;+\infty[
f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}F(x)=2\sqrt{x}]0;+\infty[
f(x)=sin(x)F(x)=-cos(x)\mathbf{R}
f(x)=cos(x)F(x)=sin(x)\mathbf{R}
f(x)=e^xF(x)=e^x\mathbf{R}

Une primitive de 3x^2 est x^3.

Une primitive de 2x est x^2 

Une primitive d’une somme est la somme des primitives, donc :

F(x)=x^3+x^2

 

 

La fonction f est la somme de trois termes 5x^2,-3x et 2. A l’aide du tableau ci-dessous on cherche des primitives de 5x^2,-3x et 2

La fonction f(x)a pour primitive F(x)sur l’intervalle
f(x)=kF(x)=kx\mathbf{R}
f(x)=xF(x)=\frac{x^2}{2}\mathbf{R}
f(x)=x^2F(x)=\frac{x^3}{3}\mathbf{R}
f(x)=x^n

( si n\in \mathbf{Z}, n\ne 0, n\ne -1)

F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1}

\mathbf{R} si n>0

]-\infty;0[\cup]0;+\infty[ si n<-1

f(x)=-\frac{1}{x^2}F(x)=\frac{1}{x}]-\infty;0[\cup]0;+\infty[
f(x)=\frac{1}{x}F(x)=ln(x)]0;+\infty[
f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}F(x)=2\sqrt{x}]0;+\infty[
f(x)=sin(x)F(x)=-cos(x)\mathbf{R}
f(x)=cos(x)F(x)=sin(x)\mathbf{R}
f(x)=e^xF(x)=e^x\mathbf{R}

Une primitive de x^2 est \frac{x^3}{3}

Une primitive de k\times f est k fois la primitive de f.

Donc une primitive de 5\times x^2 est 5\times\frac{x^3}{3}

Une primitive de x est \frac{x^2}{2}

Une primitive de k\times f est k fois la primitive de f.

Donc une primitive de -3\times x est -3\times \frac{x^2}{2}

Une primitive de 1 est x

Une primitive de k\times f est k fois la primitive de f.

Donc une primitive de 2\times 1 est 2\times x

Une primitive d’une somme est la somme des primitives, donc :

F(x)=\frac{5x^3}{3}-3\times\frac{x^2}{2}+2\times x\\F(x)=\frac{5x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+2 x

 

f(x)=x^3+2x+1 pour x \in \mathbf{R}.

La fonction f est la somme de trois termes x^3,2x et 1. A l’aide du tableau ci-dessous on cherche des primitives de x^3, 2x et 1

La fonction f(x)a pour primitive F(x)sur l’intervalle
f(x)=kF(x)=kx\mathbf{R}
f(x)=xF(x)=\frac{x^2}{2}\mathbf{R}
f(x)=x^2F(x)=\frac{x^3}{3}\mathbf{R}
f(x)=x^n

( si n\in \mathbf{Z}, n\ne 0, n\ne -1)

F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1}

\mathbf{R} si n>0

]-\infty;0[\cup]0;+\infty[ si n<-1

f(x)=-\frac{1}{x^2}F(x)=\frac{1}{x}]-\infty;0[\cup]0;+\infty[
f(x)=\frac{1}{x}F(x)=ln(x)]0;+\infty[
f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}F(x)=2\sqrt{x}]0;+\infty[
f(x)=sin(x)F(x)=-cos(x)\mathbf{R}
f(x)=cos(x)F(x)=sin(x)\mathbf{R}
f(x)=e^xF(x)=e^x\mathbf{R}

Une primitive de x^3 est \frac{x^4}{4}

Une primitive de x est \frac{x^2}{2}

Une primitive de k\times f est k fois une primitive de f

Donc une primitive de 2\times x est 2\times\frac{x^2}{2}

OU

Plus simplement, on peut dire directement qu’une primitive de 2\times x est x^2.

Une primitive de 1 est x

Une primitive d’une somme est la somme des primitives.

Voilà la réponse attendue :

F(x)=\frac{x^4}{4}+2\times\frac{x^2}{2}+1\times x\\F(x)=\frac{x^4}{4}+x^2+x

 

f(x)=3x^3-3x^2+x pour x \in \mathbf{R}

La fonction f est la somme de trois termes 3x^3,-3x^2 et x. A l’aide du tableau ci-dessous on cherche des primitives de 3x^3,-3x^2 et x.

La fonction f(x)a pour primitive F(x)sur l’intervalle
f(x)=kF(x)=kx\mathbf{R}
f(x)=xF(x)=\frac{x^2}{2}\mathbf{R}
f(x)=x^2F(x)=\frac{x^3}{3}\mathbf{R}
f(x)=x^n

( si n\in \mathbf{Z}, n\ne 0, n\ne -1)

F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1}

\mathbf{R} si n>0

]-\infty;0[\cup]0;+\infty[ si n<-1

f(x)=-\frac{1}{x^2}F(x)=\frac{1}{x}]-\infty;0[\cup]0;+\infty[
f(x)=\frac{1}{x}F(x)=ln(x)]0;+\infty[
f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}F(x)=2\sqrt{x}]0;+\infty[
f(x)=sin(x)F(x)=-cos(x)\mathbf{R}
f(x)=cos(x)F(x)=sin(x)\mathbf{R}
f(x)=e^xF(x)=e^x\mathbf{R}

Une primitive de x^3 est \frac{x^4}{4}

Une primitive de k \times f est égale à k fois une primitive de f.

Donc une primitive de  3\times x^3 est 3\times \frac{x^4}{4}

Une primitive de x^2 est \frac{x^3}{3}

Une primitive de k \times f est égale à k fois une primitive de f.

Donc une primitive de -3\times x^2 est -3\times\frac{x^3}{3}

OU

Plus simplement, on peut dire directement qu’ une primitive de -3\times x^2 est -x^3

Une primitive de x est \frac{x^2}{2}

Une primitive d’une somme est la somme des primitives.

Voilà la réponse attendue :

F(x)=3\times\frac{x^4}{4}-x^3+\frac{x^2}{2}\\F(x)=\frac{3x^4}{4}-x^3+\frac{x^2}{2}

 

 f(x)=6x^2(x^3+5) pour x \in \mathbf{R}

On cherche de quelle forme est la fonction f pour pouvoir déterminer une primitive à l’aide du tableau ci-dessous.

La fonction f(x) est de la formeelle a pour primitive  F(x) Conditions
f(x)=u'(x)\times u^n(x)F(x)=\frac{u^{n+1}(x)}{n+1}si n>-1, u(x)\ne 0
f(x)=\frac{u'(x)}{u^2(x)}F(x)=-\frac{1}{u(x)}u(x)\ne  0
f(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}F(x)=ln(|u(x)|)u(x)\ne 0
f(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}F(x)=\sqrt{u(x)}u(x)> 0
f(x)=u'(x)\times e^{u(x)}F(x)=e^{u(x)} 
(v’ou)\times u’vouv est une fonction dérivable sur J et u(x)\in J

f(x)=6x^2(x^3+5) est de la forme u'(x)\times u^n(x) avec u(x)= x^3+5 et n= 1.

1.Je calcule u'(x)

u'(x)= (x^3+5)’

u'(x)= (x^3)’+(5)’

u'(x)= 3x^2+0

u'(x)= 3x^2

2.Je remplace u(x) par x^3+5, u'(x) par 3x^2 et n par 1 dans la formule ci-dessous :

u'(x)\times u^n(x) a pour primitive \frac{u^{n+1}(x)}{n+1}.

3x^2\times (x^3+5) a pour primitive \frac{(x^3+5)^2}{1+1}\\3x^2(x^3+5) a pour primitive \frac{(x^3+5)^2}{2}

Pour obtenir 6x^2(x^3+5), c’est-à-dire f(x) à gauche, on peut multiplier par 2 de chaque côté.

2\times 3x^2(x^3+5) a pour primitive 2\times \frac{(x^3+5)^2}{2}\\6x^2(x^3+5) a pour primitive (x^3+5)^2

Donc F(x)=(x^3+5)^2

 

 f(x)=e^x(e^x+1)^2 pour x \in \mathbf{R}

On cherche de quelle forme est la fonction f pour pouvoir déterminer une primitive à l’aide du tableau ci-dessous.

La fonction f(x) est de la formeelle a pour primitive  F(x) Conditions
f(x)=u'(x)\times u^n(x)F(x)=\frac{u^{n+1}(x)}{n+1}si n>-1, u(x)\ne 0
f(x)=\frac{u'(x)}{u^2(x)}F(x)=-\frac{1}{u(x)}u(x)\ne  0
f(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}F(x)=ln(|u(x)|)u(x)\ne 0
f(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}F(x)=\sqrt{u(x)}u(x)> 0
f(x)=u'(x)\times e^{u(x)}F(x)=e^{u(x)} 
(v’ou)\times u’vouv est une fonction dérivable sur J et u(x)\in J

f(x)=e^x(e^x+1) est de la forme u'(x)\times u^n(x) avec u(x)= e^x+1 et n= 2.

1.Je calcule u'(x)

u'(x)= (e^x+1)’

u'(x)= (e^x)’+(1)’

u'(x)= e^x+0

u'(x)=e^x

2.Je remplace u(x) par e^x+1, u'(x) par e^x  et n par 2 dans la formule ci-dessous :

u'(x)\times u^n(x) a pour primitive \frac{u^{n+1}(x)}{n+1}.

e^x\times (e^x+1)^2 a pour primitive \frac{(e^x+1)^{2+1}}{2+1}\\e^x\times (e^x+1)^2 a pour primitive \frac{(e^x+1)^{3}}{3}

Donc F(x)=\frac{(e^x+1)^{3}}{3}

 

f(x)=e^{2x}(e^{2x}-1)^3 pour x \in \mathbf{R}

On cherche de quelle forme est la fonction f pour pouvoir déterminer une primitive à l’aide du tableau ci-dessous.

La fonction f(x) est de la formeelle a pour primitive  F(x) Conditions
f(x)=u'(x)\times u^n(x)F(x)=\frac{u^{n+1}(x)}{n+1}si n>-1, u(x)\ne 0
f(x)=\frac{u'(x)}{u^2(x)}F(x)=-\frac{1}{u(x)}u(x)\ne  0
f(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}F(x)=ln(|u(x)|)u(x)\ne 0
f(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}F(x)=\sqrt{u(x)}u(x)> 0
f(x)=u'(x)\times e^{u(x)}F(x)=e^{u(x)} 
(v’ou)\times u’vouv est une fonction dérivable sur J et u(x)\in J

f(x)=e^{2x}(e^{2x}-1) est de la forme u'(x)\times u^n(x) avec u(x)= e^{2x}-1 et n=3.

1.Je calcule u'(x)

u'(x)= (e^{2x}-1)’

u'(x)= (e^{2x})’-(1)’

u'(x)= 2e^{2x}-0

u'(x)=2e^{2x}

2.Je remplace u(x) par e^{2x}-1, u'(x) par 2e^{2x} et n par 3 dans la formule ci-dessous :

u'(x)\times u^n(x) a pour primitive \frac{u^{n+1}(x)}{n+1}.

2e^{2x}\times (e^{2x}-1)^3 a pour primitive \frac{(e^{2x}-1)^{3+1}}{3+1}

2e^{2x}(e^{2x}-1)^3 a pour primitive \frac{(e^{2x}-1)^4}{4}

Pour obtenir f(x) à gauche, il faut diviser par 2 les deux quantités.

\frac{2e^{2x}(e^{2x}-1)^3}{2} a pour primitive \frac{\frac{(e^{2x}-1)^4}{4}}{2}

e^{2x}(e^{2x}-1)^3 a pour primitive \frac{(e^{2x}-1)^4}{8}

Donc F(x)=\frac{(e^{2x}-1)^4}{8}

 

f(x)=\frac{2x+1}{(x^2+x)^2} pour x \in ]0:+\infty[

On cherche de quelle forme est la fonction f pour pouvoir déterminer une primitive à l’aide du tableau ci-dessous.

La fonction f(x) est de la formeelle a pour primitive  F(x) Conditions
f(x)=u'(x)\times u^n(x)F(x)=\frac{u^{n+1}(x)}{n+1}si n>-1, u(x)\ne 0
f(x)=\frac{u'(x)}{u^2(x)}F(x)=-\frac{1}{u(x)}u(x)\ne  0
f(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}F(x)=ln(|u(x)|)u(x)\ne 0
f(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}F(x)=\sqrt{u(x)}u(x)> 0
f(x)=u'(x)\times e^{u(x)}F(x)=e^{u(x)} 
(v’ou)\times u’vouv est une fonction dérivable sur J et u(x)\in J

f(x)=\frac{2x+1}{(x^2+x)^2} est de la forme \frac{u'(x)}{u^2(x)} avec u(x)= x^2+x.

1.Je calcule u'(x)

u'(x)= (x^2+x)’

u'(x)= (x^2)’+(x)’

u'(x)= 2x+1

2.Je remplace u(x) par x^2+x et u'(x) par 2x+1  dans la formule ci-dessous :

\frac{u'(x)}{u^2(x)} a pour primitive -\frac{1}{u(x)}

\frac{2x+1}{(x^2+x)^2} a pour primitive -\frac{1}{x^2+x}

Donc F(x)=-\frac{1}{x^2+x}

 

 

f(x)=\frac{e^{2x}}{(e^{2x}+1)^2} pour x \in \mathbf{R}

On cherche de quelle forme est la fonction f pour pouvoir déterminer une primitive à l’aide du tableau ci-dessous.

La fonction f(x) est de la formeelle a pour primitive  F(x) Conditions
f(x)=u'(x)\times u^n(x)F(x)=\frac{u^{n+1}(x)}{n+1}si n>-1, u(x)\ne 0
f(x)=\frac{u'(x)}{u^2(x)}F(x)=-\frac{1}{u(x)}u(x)\ne  0
f(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}F(x)=ln(|u(x)|)u(x)\ne 0
f(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}F(x)=\sqrt{u(x)}u(x)> 0
f(x)=u'(x)\times e^{u(x)}F(x)=e^{u(x)} 
(v’ou)\times u’vouv est une fonction dérivable sur J et u(x)\in J

f(x)=\frac{e^{2x}}{(e^{2x}+1)^2} est de la forme \frac{u'(x)}{u^2(x)} avec u(x)= e^{2x}+1.

1.Je calcule u'(x)

u'(x)= (e^{2x}+1)’

u'(x)= (e^{2x})’+(1)’

u'(x)= 2e^{2x}+0

u'(x)= 2e^{2x}

2.Je remplace u(x) par e^{2x}+1 et u'(x) par 2e^{2x}  dans la formule ci-dessous :

\frac{u'(x)}{u^2(x)} a pour primitive -\frac{1}{u(x)}

\frac{2e^{2x}}{(e^{2x}+1)^2} a pour primitive -\frac{1}{e^{2x}+1}

Pour obtenir f(x) c’est-à-dire \frac{e^{2x}}{(e^{2x}+1)^2}, il faut diviser les deux quantités par 2.

\frac{\frac{2e^{2x}}{(e^{2x}+1)^2}}{2} a pour primitive \frac{-\frac{1}{e^{2x}+1}}{2}

\frac{e^{2x}}{(e^{2x}+1)^2} a pour primitive -\frac{1}{2(e^{2x}+1)}

Donc F(x)=-\frac{1}{2(e^{2x}+1)}

 

f(x)=\frac{1}{(2x+1)^2} pour x \in ]0;+\infty[

On cherche de quelle forme est la fonction f pour pouvoir déterminer une primitive à l’aide du tableau ci-dessous.

La fonction f(x) est de la formeelle a pour primitive  F(x) Conditions
f(x)=u'(x)\times u^n(x)F(x)=\frac{u^{n+1}(x)}{n+1}si n>-1, u(x)\ne 0
f(x)=\frac{u'(x)}{u^2(x)}F(x)=-\frac{1}{u(x)}u(x)\ne  0
f(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}F(x)=ln(|u(x)|)u(x)\ne 0
f(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}F(x)=\sqrt{u(x)}u(x)> 0
f(x)=u'(x)\times e^{u(x)}F(x)=e^{u(x)} 
(v’ou)\times u’vouv est une fonction dérivable sur J et u(x)\in J

f(x)=\frac{1}{(2x+1)^2} est de la forme \frac{u'(x)}{u^2(x)} avec u(x)= 2x+1.

1.Je calcule u'(x)

u'(x)= (2x+1)’

u'(x)= (2x)’+(1)’

u'(x)= 2+0

u'(x)= 2

2.Je remplace u(x) par 2x+1 et u'(x) par 2  dans la formule ci-dessous :

\frac{u'(x)}{u^2(x)} a pour primitive -\frac{1}{u(x)}

\frac{2}{(2x+1)^2} a pour primitive -\frac{1}{2x+1}

Pour obtenir f(x) c’est-à-dire \frac{1}{(2x+1)^2}, il faut diviser les deux quantités par 2.

\frac{\frac{2}{(2x+1)^2}}{2} a pour primitive \frac{-\frac{1}{2x+1}}{2}

\frac{1}{(2x+1)^2} a pour primitive -\frac{1}{2(2x+1)}

Donc F(x)=-\frac{1}{2(e^{2x}+1)}

 

f(x)=\frac{2x}{x^2+1} pour x \in \mathbf{R}

On cherche de quelle forme est la fonction f pour pouvoir déterminer une primitive à l’aide du tableau ci-dessous.

f(x) est de la formeelle a pour primitive  F(x) Conditions
f(x)=u'(x)\times u^n(x)F(x)=\frac{u^{n+1}(x)}{n+1}si n>-1, u(x)\ne 0
f(x)=\frac{u'(x)}{u^2(x)}F(x)=-\frac{1}{u(x)}u(x)\ne  0
f(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}F(x)=ln(|u(x)|)u(x)\ne 0
f(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}F(x)=\sqrt{u(x)}u(x)> 0
f(x)=u'(x)\times e^{u(x)}F(x)=e^{u(x)} 
(v’ou)\times u’vouv est une fonction dérivable sur J et u(x)\in J

f(x)=\frac{2x}{x^2+1} est de la forme \frac{u'(x)}{u(x)} avec u(x)= x^2+1.

1.Je calcule u'(x)

u'(x)= (x^2+1)’

u'(x)= (x^2)’+(1)’

u'(x)= 2x+0

u'(x)= 2x

2.Je remplace u(x) par x^2+1 et u'(x) par 2x dans la formule ci-dessous :

\frac{u'(x)}{u(x)} a pour primitive ln|u(x)|.

\frac{2x}{x^2+1} a pour primitive ln(|x^2+1|)

Comme x^2+1| est positif, |x^2+1|=x^2+1

Donc F(x)=ln(x^2+1)

 

f(x)=\frac{5}{2x+1} pour x \in ]-\frac{1}{2};+\infty[

On cherche de quelle forme est la fonction f pour pouvoir déterminer une primitive à l’aide du tableau ci-dessous.

La fonction f(x) est de la formeelle a pour primitive  F(x) Conditions
f(x)=u'(x)\times u^n(x)F(x)=\frac{u^{n+1}(x)}{n+1}si n>-1, u(x)\ne 0
f(x)=\frac{u'(x)}{u^2(x)}F(x)=-\frac{1}{u(x)}u(x)\ne  0
f(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}F(x)=ln(|u(x)|)u(x)\ne 0
f(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}F(x)=\sqrt{u(x)}u(x)> 0
f(x)=u'(x)\times e^{u(x)}F(x)=e^{u(x)} 
(v’ou)\times u’vouv est une fonction dérivable sur J et u(x)\in J

f(x)=\frac{5}{2x+1}  est de la forme \frac{u'(x)}{u(x)} avec u(x)= 2x+1.

1.Je calcule u'(x)

u'(x)= (2x+1)’

u'(x)= (2x)’+(1)’

u'(x)= 2+0

u'(x)= 2

2.Je remplace u(x) par 2x+1 et u'(x) par 2 dans la formule ci-dessous :

\frac{u'(x)}{u(x)} a pour primitive ln(|u(x)|.

\frac{2}{2x+1} a pour primitive ln(|2x+1|)

Pour obtenir f(x)=\frac{5}{2x+1} à gauche, il faut diviser par 2 et multiplier par 5 les deux membres.

{\frac{5}{2}}\times{\frac{2}{2x+1}} a pour primitive {\frac{5}{2}}\times{(ln(|2x+1|))}

\frac{5}{2x+1} a pour primitive \frac{5ln(|2x+1|)}{2}

Comme 2x+1 est positif car x>-\frac{1}{2}, |2x+1|=2x+1

Donc F(x)=\frac{5ln(2x+1)}{2}

 

 

f(x)=\frac{e^x}{e^x+2} pour x \in \mathbf{R}

On cherche de quelle forme est la fonction f pour pouvoir déterminer une primitive à l’aide du tableau ci-dessous.

La fonction f(x) est de la formeelle a pour primitive  F(x) Conditions
f(x)=u'(x)\times u^n(x)F(x)=\frac{u^{n+1}(x)}{n+1}si n>-1, u(x)\ne 0
f(x)=\frac{u'(x)}{u^2(x)}F(x)=-\frac{1}{u(x)}u(x)\ne  0
f(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}F(x)=ln(|u(x)|)u(x)\ne 0
f(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}F(x)=\sqrt{u(x)}u(x)> 0
f(x)=u'(x)\times e^{u(x)}F(x)=e^{u(x)} 
(v’ou)\times u’vouv est une fonction dérivable sur J et u(x)\in J

f(x)=\frac{e^x}{e^x+2}  est de la forme \frac{u'(x)}{u(x)} avec u(x)= e^x+2.

1.Je calcule u'(x)

u'(x)= (e^x+2)’

u'(x)= (e^x)’+(2)’

u'(x)= e^x+0

u'(x)= e^x

2.Je remplace u(x) par e^x+2 et u'(x) par e^x dans la formule ci-dessous :

\frac{u'(x)}{u(x)} a pour primitive ln(|u(x)|).

\frac{e^x}{e^x+2} a pour primitive ln(|e^x+2|)

e^x+2 est toujours positif donc |e^x+2|=e^x+2

Donc F(x)=ln(e^x+2)

 

 

f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} pour x \in \mathbf{R}

On cherche de quelle forme est la fonction f pour pouvoir déterminer une primitive à l’aide du tableau ci-dessous.

f(x) est de la formeelle a pour primitive  F(x) Conditions
f(x)=u'(x)\times u^n(x)F(x)=\frac{u^{n+1}(x)}{n+1}si n>-1, u(x)\ne 0
f(x)=\frac{u'(x)}{u^2(x)}F(x)=-\frac{1}{u(x)}u(x)\ne  0
f(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}F(x)=ln(|u(x)|)u(x)\ne 0
f(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}F(x)=\sqrt{u(x)}u(x)> 0
f(x)=u'(x)\times e^{u(x)}F(x)=e^{u(x)} 
(v’ou)\times u’vouv est une fonction dérivable sur J et u(x)\in J

f(x)=\frac{2x}{x^2+1} est de la forme \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}} avec u(x)= x^2+1.

1.Je calcule u'(x)

u'(x)= (x^2+1)’

u'(x)= (x^2)’+(1)’

u'(x)= 2x+0

u'(x)= 2x

2.Je remplace u(x) par x^2+1 et u'(x) par 2x dans la formule ci-dessous :

\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}} a pour primitive \sqrt{u(x)}.

\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} a pour primitive \sqrt{x^2+1}\\\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} a pour primitive \sqrt{x^2+1}

Donc F(x)=\sqrt{x^2+1}

 

f(x)=\frac{3}{\sqrt{2x+1}} pour x \in ]-\frac{1}{2};+\infty[.

On cherche de quelle forme est la fonction f pour pouvoir déterminer une primitive à l’aide du tableau ci-dessous.

f(x) est de la formeelle a pour primitive  F(x) Conditions
f(x)=u'(x)\times u^n(x)F(x)=\frac{u^{n+1}(x)}{n+1}si n>-1, u(x)\ne 0
f(x)=\frac{u'(x)}{u^2(x)}F(x)=-\frac{1}{u(x)}u(x)\ne  0
f(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}F(x)=ln(|u(x)|)u(x)\ne 0
f(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}F(x)=\sqrt{u(x)}u(x)> 0
f(x)=u'(x)\times e^{u(x)}F(x)=e^{u(x)} 
(v’ou)\times u’vouv est une fonction dérivable sur J et u(x)\in J

f(x)=\frac{3}{\sqrt{2x+1}} est de la forme \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}} avec u(x)= 2x+1.

1.Je calcule u'(x)

u'(x)= (2x+1)’

u'(x)= (2x)’+(1)’

u'(x)= 2+0

u'(x)= 2

2.Je remplace u(x) par 2x+1 et u'(x) par 2 dans la formule ci-dessous :

\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}} a pour primitive \sqrt{u(x)}.

\frac{2}{2\sqrt{2x+1}} a pour primitive \sqrt{2x+1}\\\frac{1}{\sqrt{2x+1}} a pour primitive \sqrt{2x+1}

Pour retrouver f(x)=\frac{3}{\sqrt{2x+1}} à gauche, il faut multiplier les deux quantités par 3

\frac{3}{\sqrt{2x+1}} a pour primitive 3\sqrt{2x+1}

Donc F(x)=3\sqrt{2x+1}

 

 

f(x)=\frac{e^x}{\sqrt{e^x+2}} pour x \in \mathbf{R}.

On cherche de quelle forme est la fonction f pour pouvoir déterminer une primitive à l’aide du tableau ci-dessous.

f(x) est de la formeelle a pour primitive  F(x) Conditions
f(x)=u'(x)\times u^n(x)F(x)=\frac{u^{n+1}(x)}{n+1}si n>-1, u(x)\ne 0
f(x)=\frac{u'(x)}{u^2(x)}F(x)=-\frac{1}{u(x)}u(x)\ne  0
f(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}F(x)=ln(|u(x)|)u(x)\ne 0
f(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}F(x)=\sqrt{u(x)}u(x)> 0
f(x)=u'(x)\times e^{u(x)}F(x)=e^{u(x)} 
(v’ou)\times u’vouv est une fonction dérivable sur J et u(x)\in J

f(x)=\frac{e^x}{\sqrt{e^x+2}} est de la forme \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}} avec u(x)= e^x+2.

1.Je calcule u'(x)

u'(x)= (e^x+2)’

u'(x)= (e^x)’+(2)’

u'(x)= e^x+0

u'(x)= e^x

2.Je remplace u(x) par e^x+2 et u'(x) par e^x dans la formule ci-dessous :

\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}} a pour primitive \sqrt{u(x)}.

\frac{e^x}{2\sqrt{e^x+2}} a pour primitive \sqrt{e^x+2}

Pour retrouver f(x)=\frac{e^x}{\sqrt{e^x+2}} à gauche, il faut multiplier les deux quantités par 2

\frac{1}{\sqrt{2x+1}} a pour primitive 2\sqrt{e^x+2}

Donc F(x)=2\sqrt{e^x+2}

 

f(x)=4xe^{2x^2+1} pour x \in \mathbf{R}.

On cherche de quelle forme est la fonction f pour pouvoir déterminer une primitive à l’aide du tableau ci-dessous.

La fonction f(x) est de la formeelle a pour primitive  F(x) Conditions
f(x)=u'(x)\times u^n(x)F(x)=\frac{u^{n+1}(x)}{n+1}si n>-1, u(x)\ne 0
f(x)=\frac{u'(x)}{u^2(x)}F(x)=-\frac{1}{u(x)}u(x)\ne  0
f(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}F(x)=ln(|u(x)|)u(x)\ne 0
f(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}F(x)=\sqrt{u(x)}u(x)> 0
f(x)=u'(x)\times e^{u(x)}F(x)=e^{u(x)} 
(v’ou)\times u’vouv est une fonction dérivable sur J et u(x)\in J

f(x)=4xe^{2x^2+1} est de la forme u'(x)e^{u(x)} avec u(x)= 2x^2+1.

1.Je calcule u'(x)

u'(x)= (2x^2+1)’

u'(x)= 2(x^2)’+(1)’

u'(x)= 2\times 2x+0

u'(x)= 4x

2.Je remplace u(x) par 2x^2+1 et u'(x) par 4x dans la formule ci-dessous :

u'(x)e^{u(x)} a pour primitive e^{u(x)}.

4xe^{2x^2+1} a pour primitive e^{2x^2+1}

Donc F(x)=e^{2x^2+1}

 

 

f(x)=e^{2x+1} pour x \in \mathbf{R}.

On cherche de quelle forme est la fonction f pour pouvoir déterminer une primitive à l’aide du tableau ci-dessous.

La fonction f(x) est de la formeelle a pour primitive  F(x) Conditions
f(x)=u'(x)\times u^n(x)F(x)=\frac{u^{n+1}(x)}{n+1}si n>-1, u(x)\ne 0
f(x)=\frac{u'(x)}{u^2(x)}F(x)=-\frac{1}{u(x)}u(x)\ne  0
f(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}F(x)=ln(|u(x)|)u(x)\ne 0
f(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}F(x)=\sqrt{u(x)}u(x)> 0
f(x)=u'(x)\times e^{u(x)}F(x)=e^{u(x)} 
(v’ou)\times u’vouv est une fonction dérivable sur J et u(x)\in J

f(x)=e^{2x+1} est de la forme u'(x)e^{u(x)} avec u(x)= 2x+1.

1.Je calcule u'(x)

u'(x)= (2x+1)’

u'(x)= 2(x)’+(1)’

u'(x)= 2\times 1+0

u'(x)= 2

2.Je remplace u(x) par 2x+1 et u'(x) par 2 dans la formule ci-dessous :

u'(x)e^{u(x)} a pour primitive e^{u(x)}.

2e^{2x+1} a pour primitive e^{2x+1}

Pour trouver f(x) a gauche, il faut diviser les deux membres par 2 .

\frac{2e^{2x+1}}{2} a pour primitive \frac{e^{2x+1}}{2}\\e^{2x+1} a pour primitive \frac{e^{2x+1}}{2}

Donc F(x)=\frac{e^{2x+1}}{2}

 

 

f(x)=(2x+4)e^{x^2+4x+1} pour x \in \mathbf{R}.

On cherche de quelle forme est la fonction f pour pouvoir déterminer une primitive à l’aide du tableau ci-dessous.

La fonction f(x) est de la formeelle a pour primitive  F(x) Conditions
f(x)=u'(x)\times u^n(x)F(x)=\frac{u^{n+1}(x)}{n+1}si n>-1, u(x)\ne 0
f(x)=\frac{u'(x)}{u^2(x)}F(x)=-\frac{1}{u(x)}u(x)\ne  0
f(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}F(x)=ln(|u(x)|)u(x)\ne 0
f(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}F(x)=\sqrt{u(x)}u(x)> 0
f(x)=u'(x)\times e^{u(x)}F(x)=e^{u(x)} 
(v’ou)\times u’vouv est une fonction dérivable sur J et u(x)\in J

f(x)=(2x+4)e^{x^2+4x+1} est de la forme u'(x)e^{u(x)} avec u(x)=x^2+4x+1.

1.Je calcule u'(x)

u'(x)= (x^2+4x+1)’

u'(x)= (x^2)’+4(x)’+(1)’

u'(x)=2x+ 4\times 1+0

u'(x)= 2x+4

2.Je remplace u(x) par x^2+4x+1 et u'(x) par 2x+4 dans la formule ci-dessous :

u'(x)e^{u(x)} a pour primitive e^{u(x)}.

(2x+4)e^{x^2+4x+1} a pour primitive e^{x^2+4x+1}

Donc F(x)=e^{x^2+4x+1}

 

 

f(x)=2x^3+x^2-1 pour x \in \mathbf{R} et F(0)=-1.

La fonction f est la somme de trois termes 2x^3,x^2 et -1. A l’aide du tableau ci-dessous on cherche des primitives de 2x^3,x^2 et -1.

La fonction f(x) est de la formeelle a pour primitive  F(x) Conditions
f(x)=u'(x)\times u^n(x)F(x)=\frac{u^{n+1}(x)}{n+1}si n>-1, u(x)\ne 0
f(x)=\frac{u'(x)}{u^2(x)}F(x)=-\frac{1}{u(x)}u(x)\ne  0
f(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}F(x)=ln(|u(x)|)u(x)\ne 0
f(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}F(x)=\sqrt{u(x)}u(x)> 0
f(x)=u'(x)\times e^{u(x)}F(x)=e^{u(x)} 
(v’ou)\times u’vouv est une fonction dérivable sur J et u(x)\in J

Une primitive de x^3 est \frac{x^4}{4}

Une primitive de k \times f est égale à k fois une primitive de f.

Donc une primitive de  2\times x^3 est 2\times \frac{x^4}{4} soit \frac{x^4}{2}

Une primitive de x^2 est \frac{x^3}{3}

 

Une primitive de -1 est -x

Une primitive d’une somme est la somme des primitives.

Voilà la réponse attendue :

F(x)=2\times\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}-x+k\\\hspace{0.9cm}=\frac{x^4}{2}+\frac{x^3}{3}-x+k

On cherche la primitive qui vérifie F(0)=-1.

On remplace tous les x par  0 dans F(x)=\frac{x^4}{2}+\frac{x^3}{3}-x+k pour calculer F(0).

\frac{0^4}{2}+\frac{0^3}{3}-0+k=-1\\k=-1

Il ne reste plus qu’à remplacer k par -1 dans  F(x)=\frac{x^4}{2}+\frac{x^3}{3}-x+k.

La primitive cherchée est F(x)=\frac{x^4}{2}+\frac{x^3}{3}-x-1

 

 

f(x)=(2x+1)(x^2+x+3) pour x \in \mathbf{R} et F(1)=\frac{1}{2}.

On cherche de quelle forme est la fonction f pour pouvoir déterminer une primitive à l’aide du tableau ci-dessous.

La fonction f(x) est de la formeelle a pour primitive  F(x) Conditions
f(x)=u'(x)\times u^n(x)F(x)=\frac{u^{n+1}(x)}{n+1}si n>-1, u(x)\ne 0
f(x)=\frac{u'(x)}{u^2(x)}F(x)=-\frac{1}{u(x)}u(x)\ne  0
f(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}F(x)=ln(|u(x)|)u(x)\ne 0
f(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}F(x)=\sqrt{u(x)}u(x)> 0
f(x)=u'(x)\times e^{u(x)}F(x)=e^{u(x)} 
(v’ou)\times u’vouv est une fonction dérivable sur J et u(x)\in J

f(x)=(2x+1)(x^2+x+3) est de la forme 2u'(x)\times u(x) avec u(x)=x^2+x+3.

1.Je calcule u'(x)

u'(x)= (x^2+x+3)’

u'(x)= (x^2)’+(x)’+(3)’

u'(x)= 2x+1+0

u'(x)= 2x+1

2.Je remplace u(x) par x^2+x+3 et u'(x) par 2x+1 dans la formule ci-dessous :

2u'(x)\times u(x) a pour primitive u^2(x).

2\times (2x+1)\times (x^2+x+3) a pour primitive (x^2+x+3)^2

Pour faire apparaître f(x) à gauche il faut diviser les deux membres par 2.

\frac{2\times (2x+1)\times (x^2+x+3)}{2} a pour primitive \frac{(x^2+x+3)^2}{2}\\ (2x+1)(x^2+x+3) a pour primitive \frac{(x^2+x+3)^2}{2}

Donc F(x)=\frac{(x^2+x+3)^2}{2}+k.

On cherche la primitive qui vérifie F(1)=\frac{1}{2}.

On remplace tous les x par  1 dans F(x)=\frac{(x^2+x+3)^2}{2}+k pour calculer F(1).

\frac{(1^2+1+3)^2}{2}+k=\frac{1}{2}\\\frac{5^2}{2}+k=\frac{1}{2}\\\frac{25}{2}+k=\frac{1}{2}\\k=\frac{1}{2}-\frac{25}{2}\\k=-\frac{24}{2}\\k=-12

Il ne reste plus qu’à remplacer k par -12 dans  F(x)=\frac{(x^2+x+3)^2}{2}+k.

La primitive cherchée est F(x)=\frac{(x^2+x+3)^2}{2}-12

 

f(x)=2xe^{3x^2} pour x \in \mathbf{R} et F(0)=\frac{4}{3}.

On cherche de quelle forme est la fonction f pour pouvoir déterminer une primitive à l’aide du tableau ci-dessous.

La fonction f(x) est de la formeelle a pour primitive  F(x) Conditions
f(x)=u'(x)\times u^n(x)F(x)=\frac{u^{n+1}(x)}{n+1}si n>-1, u(x)\ne 0
f(x)=\frac{u'(x)}{u^2(x)}F(x)=-\frac{1}{u(x)}u(x)\ne  0
f(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}F(x)=ln(|u(x)|)u(x)\ne 0
f(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}F(x)=\sqrt{u(x)}u(x)> 0
f(x)=u'(x)\times e^{u(x)}F(x)=e^{u(x)} 
(v’ou)\times u’vouv est une fonction dérivable sur J et u(x)\in J

f(x)=2xe^{3x^2}  est de la forme u'(x)e^{u(x)} avec u(x)=3x^2.

1.Je calcule u'(x)

u'(x)= (3x^2)’

u'(x)= 3(x^2)’

u'(x)=3\times 2x

u'(x)=6x

2.Je remplace u(x) par 3 x^2 et u'(x) par 6x dans la formule ci-dessous :

u'(x)e^{u(x)} a pour primitive e^{u(x)}.

6xe^{3x^2} a pour primitive e^{3x^2}

Pour retrouver f(x)=2xe^{3x^2} à gauche, il faut diviser les deux membres par 3.

\frac{6xe^{3x^2}}{3} a pour primitive \frac{e^{3x^2}}{3}\\2xe^{3x^2} a pour primitive \frac{e^{3x^2}}{3}

Donc F(x)=\frac{e^{3x^2}}{3}+k

On cherche la primitive qui vérifie  F(0)=\frac{4}{3}.

On remplace tous les x par  0 dans F(x)=\frac{e^{3x^2}}{3}+k pour calculer F(0).

\frac{e^{3\times 0^2}}{3}+k=\frac{4}{3}

\frac{e^0}{3}+k=\frac{4}{3}

\frac{1}{3}+k=\frac{4}{3}

k=\frac{4}{3}-\frac{1}{3}\\k=\frac{3}{3}\\k=1

Il ne reste plus qu’à remplacer k par 1 dans  F(x)=\frac{e^{3x^2}}{3}+k.

La primitive cherchée est F(x)=\frac{e^{3x^2}}{3}+1

 

f(x)=\frac{3}{3x+1} pour x \in ]-\frac{1}{3};+\infty[ et F(2)=ln(2) 

On cherche de quelle forme est la fonction f pour pouvoir déterminer une primitive à l’aide du tableau ci-dessous.

La fonction f(x) est de la formeelle a pour primitive  F(x) Conditions
f(x)=u'(x)\times u^n(x)F(x)=\frac{u^{n+1}(x)}{n+1}si n>-1, u(x)\ne 0
f(x)=\frac{u'(x)}{u^2(x)}F(x)=-\frac{1}{u(x)}u(x)\ne  0
f(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}F(x)=ln(|u(x)|)u(x)\ne 0
f(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}F(x)=\sqrt{u(x)}u(x)> 0
f(x)=u'(x)\times e^{u(x)}F(x)=e^{u(x)} 
(v’ou)\times u’vouv est une fonction dérivable sur J et u(x)\in J

f(x)=\frac{3}{3x+1} est de la forme \frac{u'(x)}{u(x)} avec u(x)= 3x+1.

1.Je calcule u'(x)

u'(x)= (3x+1)’

u'(x)= (3x)’+(1)’

u'(x)= 3+0

u'(x)= 3

2.Je remplace u(x) par 3x+1 et u'(x) par 3 dans la formule ci-dessous :

\frac{u'(x)}{u(x)} a pour primitive ln(|u(x)|.

\frac{3}{3x+1} a pour primitive ln(|3x+1|)

Comme 3x+1 est positif car x>-\frac{1}{3}, |3x+1|=3x+1

Donc F(x)=ln(3x+1)+k

On cherche la primitive qui vérifie  F(2)=ln(2).

On remplace tous les x par  2 dans F(x)=ln(3x+1)+k pour calculer F(2).

ln(3\times 2+1)+k=ln(2)

ln(7)+k=ln(2)

k=ln(2)-ln(7)

k=ln(\frac{2}{7})

Il ne reste plus qu’à remplacer k par ln(\frac{2}{7}) dans  F(x)=ln(3x+1)+k.

La primitive cherchée est F(x)=ln(3x+1)+ln(\frac{2}{7})

On peut aussi écrire F(x)=ln((3x+1)\times{\frac{2}{7}})

 

 

On utilise le théorème suivant :

Les équations différentielles de la forme  y’=aya est un réel non nul ont pour solutions les fonctions du type x \rightarrow ke^{ax} avec k \in \mathbf{R}.

y’=2y est une équation différentielle de la forme  y’=ay avec a=2 donc les solutions sont les fonctions du type x \rightarrow ke^{2x} avec k \in \mathbf{R}.

 

3y’=-12y n’est pas une équation différentielle de la forme  y’=ay, modifions-la.

On divise de chaque côté par 3 :

y’=-\frac{12y}{3}

On simplifie :

y’=-4y

On utilise le théorème suivant :

Les équations différentielles de la forme  y’=aya est un réel non nul ont pour solutions les fonctions du type x \rightarrow ke^{ax} avec k \in \mathbf{R}.

y’=-4y est une équation différentielle de la forme  y’=ay avec a=-4 donc les solutions sont les fonctions du type x \rightarrow ke^{-4x} avec k \in \mathbf{R}.

 

4y’+3y=0 n’est pas une équation différentielle de la forme  y’=ay, modifions-la.

On enlève 3y de chaque côté :

4y’=-3y

On divise de chaque côté par 4 :

y’=-\frac{3y}{4}

y’=-\frac{3}{4}y

On utilise le théorème suivant :

Les équations différentielles de la forme  y’=aya est un réel non nul ont pour solutions les fonctions du type x \rightarrow ke^{ax} avec k \in \mathbf{R}.

y’=-\frac{3}{4}y est une équation différentielle de la forme  y’=ay avec a=-\frac{3}{4} donc les solutions sont les fonctions du type x \rightarrow ke^{-\frac{3}{4}x} avec k \in \mathbf{R}.

 

On utilise le théorème suivant :

Les équations différentielles de la forme  y’=aya est un réel non nul ont pour solutions les fonctions du type x \rightarrow ke^{ax} avec k \in \mathbf{R}.

y’=y est une équation différentielle de la forme  y’=ay avec a=1 donc les solutions sont les fonctions du type x \rightarrow ke^{x} avec k \in \mathbf{R}.

Parmi ces fonctions, on cherche la fonction f qui vérifie la condition initiale f(1)=e.

Pour calculer f(1), on remplace x par 1 dans f(x)= ke^{x}.

ke=1

k=\frac{1}{e}

Donc la primitive cherchée est f(x)= \frac{1}{e}e^{x} qui s’écrit aussi f(x)=e^{x-1}

 

2y’=-20y n’est pas une équation différentielle de la forme  y’=ay, modifions-la.

On divise de chaque côté par 2 :

y’=-\frac{20y}{2}

On simplifie :

y’=-10y

On utilise le théorème suivant :

Les équations différentielles de la forme  y’=aya est un réel non nul ont pour solutions les fonctions du type x \rightarrow ke^{ax} avec k \in \mathbf{R}.

y’=-10y est une équation différentielle de la forme  y’=ay avec a=-10 donc les solutions sont les fonctions du type x \rightarrow ke^{-10x} avec k \in \mathbf{R}.

Parmi ces fonctions, on cherche la fonction f qui vérifie la condition initiale f(-0.1)=\frac{2}{e}.

Pour calculer f(-0.1), on remplace x par -0.1 dans f(x)= ke^{-10x}.

ke^{-10\times 0.1}=\frac{2}{e}

ke^{-1}=\frac{2}{e}

On divise par e^{-1} de chaque côté, ce qui revient à multiplier par son inverse e^{1} c’est-à-dire e

k=\frac{2}{e}\times e

k=2

Donc la primitive cherchée est f(x)= 2e^{-10x}.

 

2y’+5y=0 n’est pas une équation différentielle de la forme  y’=ay, modifions-la.

On enlève 5y de chaque côté :

2y’=-5y

On divise de chaque côté par 2 :

y’=-\frac{5y}{2}

y’=-\frac{5}{2}y

On utilise le théorème suivant :

Les équations différentielles de la forme  y’=aya est un réel non nul ont pour solutions les fonctions du type x \rightarrow ke^{ax} avec k \in \mathbf{R}.

y’=-\frac{5}{2}y est une équation différentielle de la forme  y’=ay avec a=-\frac{5}{2} donc les solutions sont les fonctions du type x \rightarrow ke^{-\frac{5}{2}x} avec k \in \mathbf{R}.

Parmi ces fonctions, on cherche la fonction f qui vérifie la condition initiale f(2)=1.

Pour calculer f(2), on remplace x par 2 dans f(x)= ke^{-\frac{5}{2}x}.

ke^{-\frac{5}{2}\times 2}=1

ke^{-5}=1

On divise par e^{-5} de chaque côté ce qui revient à multiplier par son inverse e^{5}.

k=1\times e^5

k=e^5

Donc la primitive cherchée est f(x)= e^5e^{-\frac{5}{2}x} qui s’écrit aussi f(x)=e^{5-\frac{5}{2}x}.

 

 

On utilise le théorème suivant :

Les équations différentielles de la forme  y’=ay+ba est un réel non nul et b est un réel , ont pour solutions les fonctions du type x \rightarrow ke^{ax}-\frac{b}{a} avec k \in \mathbf{R}.

y’=-y+2 est une équation différentielle de la forme  y’=ay+b avec a=-1 et b=2  les solutions sont les fonctions du type x \rightarrow ke^{-x}-\frac{2}{(-1)} plus simplement x \rightarrow ke^{-x}+2 avec k \in \mathbf{R}.

 

 

3y’-6y=12 n’est pas une équation différentielle de la forme  y’=ay+b, modifions-la.

On ajoute 6y de chaque côté :

3y’=6y+12

On divise de chaque côté par 3 :

y’=\frac{6y+12}{3}

Attention aux erreurs : \frac{6y+12}{3}=\frac{3\times(2y+4)}{3}

y’=2y+4

On utilise le théorème suivant :

Les équations différentielles de la forme  y’=ay+ba est un réel non nul et b est un réel , ont pour solutions les fonctions du type x \rightarrow ke^{ax}-\frac{b}{a} avec k \in \mathbf{R}.

y’=2y+4 est une équation différentielle de la forme  y’=ay+b avec a=2 et b=4  les solutions sont les fonctions du type x \rightarrow ke^{2x}-\frac{4}{2} plus simplement x \rightarrow ke^{2x}-2 avec k \in \mathbf{R}.

 

4y’+3y-4=0 n’est pas une équation différentielle de la forme  y’=ay+b, modifions-la.

On ajoute -3y+4 de chaque côté :

4y’=-3y+4

On divise de chaque côté par 4 :

y’=\frac{-3y+4}{4}

y’=\frac{-3y}{4}+\frac{4}{4}

y’=-\frac{3}{4}y+1

On utilise le théorème suivant :

Les équations différentielles de la forme  y’=ay+ba est un réel non nul et b est un réel , ont pour solutions les fonctions du type x \rightarrow ke^{ax}-\frac{b}{a} avec k \in \mathbf{R}.

y’=-\frac{3}{4}y+1 est une équation différentielle de la forme  y’=ay+b avec a=-\frac{3}{4} et b=1  les solutions sont les fonctions du type x \rightarrow ke^{-\frac{3}{4}x}-\frac{1}{(-\frac{3}{4})} plus simplement x \rightarrow ke^{-\frac{3}{4}x}+\frac{4}{3} avec k \in \mathbf{R}.

On utilise le théorème suivant :

Les équations différentielles de la forme  y’=ay+ba est un réel non nul et b est un réel , ont pour solutions les fonctions du type x \rightarrow ke^{ax}-\frac{b}{a} avec k \in \mathbf{R}.

y’=2y-5 est une équation différentielle de la forme  y’=ay+b avec a=2 et b=-5  les solutions sont les fonctions du type x \rightarrow ke^{2x}-\frac{(-5)}{2} plus simplement x \rightarrow ke^{2x}+\frac{5}{2} avec k \in \mathbf{R}.

Parmi ces fonctions, on cherche la fonction f qui vérifie la condition initiale f(1)=e.

Pour calculer f(1), on remplace x par 1 dans ke^{2x}+\frac{5}{2}.

ke^{2\times 1}+\frac{5}{2}=1

ke^2=-\frac{5}{2}+1

ke^2=-\frac{5}{2}+1\times \frac{2}{2}

ke^2=-\frac{5}{2}+ \frac{2}{2}

ke^2=-\frac{3}{2}

On divise par e^2 de chaque côté 

k=-\frac{\frac{3}{2}}{e^2}

k=-\frac{3}{2e^2}

Donc la primitive cherchée est f(x)= -\frac{3}{2e^2}e^{2x}+\frac{5}{2} qui s’écrit aussi f(x)= -\frac{3}{2}e^{2x-2}+\frac{5}{2}

 

 

3y’-12y=6 n’est pas une équation différentielle de la forme  y’=ay+b, modifions-la.

On ajoute 12y de chaque côté :

3y’=12y+6

On divise de chaque côté par 3 :

y’=\frac{12y+6}{3}

Attention aux erreurs : \frac{12y+6}{3}=\frac{3\times(4y+2)}{3}

y’=4y+2

On utilise le théorème suivant :

Les équations différentielles de la forme  y’=ay+ba est un réel non nul et b est un réel , ont pour solutions les fonctions du type x \rightarrow ke^{ax}-\frac{b}{a} avec k \in \mathbf{R}.

y’=4y+2 est une équation différentielle de la forme  y’=ay+b avec a=4 et b=2  les solutions sont les fonctions du type x \rightarrow ke^{4x}-\frac{2}{4} plus simplement x \rightarrow ke^{4x}-\frac{1}{2} avec k \in \mathbf{R}.

Parmi ces fonctions, on cherche la fonction f qui vérifie la condition initiale f(-0.25)=\frac{2}{e}.

Pour calculer f(-0.25), on remplace x par -0.25 dans ke^{4x}-\frac{1}{2}.

ke^{4\times(-0.25)}-\frac{1}{2}=\frac{2}{e}

ke^{-1}=\frac{1}{2}+\frac{2}{e}

ke^{-1}=\frac{1}{2}\times \frac{e}{e}+\frac{2}{e}\times \frac{2}{2}

ke^{-1}=\frac{e}{2e}+ \frac{4}{2e}

ke^{-1}=\frac{e+4}{2e}

On divise par e^{-1} de chaque côté, ce qui revient à multiplier par e

k=\frac{e+4}{2e}\times e

k=\frac{e+4}{2}

Donc la primitive cherchée est f(x)=\frac{e+4}{2} e^{4x}-\frac{1}{2} 

 

 

2y’+y-1=0 n’est pas une équation différentielle de la forme  y’=ay+b, modifions-la.

On ajoute -y+1 de chaque côté :

2y’=-y+1

On divise de chaque côté par 2 :

y’=\frac{-y+1}{2}

y’=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}

On utilise le théorème suivant :

Les équations différentielles de la forme  y’=ay+ba est un réel non nul et b est un réel , ont pour solutions les fonctions du type x \rightarrow ke^{ax}-\frac{b}{a} avec k \in \mathbf{R}.

y’=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2} est une équation différentielle de la forme  y’=ay+b avec a=-\frac{1}{2} et b=\frac{1}{2}  les solutions sont les fonctions du type x \rightarrow ke^{-\frac{1}{2}x}-\frac{\frac{1}{2}}{(-\frac{1}{2})} plus simplement x \rightarrow ke^{-\frac{1}{2}x}+1 avec k \in \mathbf{R}.

Parmi ces fonctions, on cherche la fonction f qui vérifie la condition initiale f(1)=2.

Pour calculer f(1), on remplace x par 1 dans ke^{-\frac{1}{2}x}+1.

ke^{-\frac{1}{2}\times 1}+1=2

ke^{-\frac{1}{2}}=2-1

ke^{-\frac{1}{2}}=1

On divise par e^{-\frac{1}{2}} de chaque côté, ce qui revient à multiplier par e^{\frac{1}{2}}

k=1\times e^{\frac{1}{2}}

k=e^{\frac{1}{2}} qui s’écrit aussi k=\sqrt{e}

Donc la primitive cherchée est f(x)=e^{\frac{1}{2}}e^{-\frac{1}{2}x}+1 qui s’écrit aussi f(x)=e^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x}+1

 

 

On veut déterminer toutes les solutions sur \mathbf{R} de l’équation différentielle (H):y’=-y

On utilise le théorème suivant :

Les équations différentielles de la forme  y’=aya est un réel non nul ont pour solutions les fonctions du type x \rightarrow ke^{ax} avec k \in \mathbf{R}.

y’=-y est une équation différentielle de la forme  y’=ay avec a=-1 donc les solutions sont les fonctions du type x \rightarrow ke^{-x} avec k \in \mathbf{R}.

On veut résoudre sur \mathbf{R}  l’équation différentielle (H):y’=-y+e^{-x}

On utilise la propriété suivante : 

a est un réel et f une fonction définie sur un intervalle I.

Toute solution dans  I de l’équation différentielle (E)y’=ay+f est la somme d’une solution quelconque de l’équation y’=ay et d’une solution particulière de (E)

Une solution quelconque de y’=-y est une fonction du type  x \rightarrow ke^{-x} avec k \in \mathbf{R}.

Une solution particulière de l’équation différentielle (H):y’=-y+e^{-x} est donnée dans l’énoncé, c’est g(x)=xe^{-x}.

Donc les solutions de l’équation différentielle (H):y’=-y+e^{-x} sont des fonctions du type

x \rightarrow ke^{-x}+xe^{-x} avec k \in \mathbf{R}.

 

 

Parmi les solutions trouvées à la question précédente :x \rightarrow ke^{-x}+xe^{-x}  , on cherche la fonction f qui vérifie la condition initiale f(0)=2.

Pour calculer f(0), on remplace x par 0 dans ke^{-x}+xe^{-x}.

ke^{-0}+0\times e^{-0}=2

k\times 1=2

k=2

Donc la fonction cherchée est f(x)=2e^{-x}+xe^{-x} qui s’écrit aussi f(x)=(2+x)e^{-x} .

 

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.