Dans un laboratoire, on cultive des bactéries artificielles.
Le premier jour de l’étude, la culture compte 6000 cellules.
Un test mené sur cette culture prouve que 15 % des cellules disparaissent chaque jour. On décide alors d’ajouter 3000 cellules chaque jour dans la culture.
On note u_n le nombre de bactéries présentes dans la culture le jour n. On a alors u_0=6000.
1.a.Calculer u_{1} et u_{2}.
1.b. Montrer que la suite u_n n’est ni géométrique, ni arithmétique.
On admet dans la suite de l’exercice que u_{n+1}=0.85\times u_n+3000
2. On considère la suite v_n définie par v_{n}=u_n-20000.
a. Calculer v_0 et démontrer que la suite (v_n) est géométrique de raison 0.85 .
b. Pour tout entier naturel n, exprimer v_n en fonction de n puis montrer que u_n=-14000\times 0.85^n+20000
3. Est-il correct d’affirmer que le nombre de bactéries contenues dans la culture aura triplé au bout de 4 semaines ?
4. Calculer lim_{n\to +\infty} u_n. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
