T. Loi binomiale

Sommaire

Variable aléatoire suivant une loi binomiale

Définition

On considère un schéma de Bernoulli constitué de n épreuves où la probabilité du succès est p .

X est la variable aléatoire qui donne le nombre de succès lors de ces épreuves.

La loi de probabilité de X est appelée loi binomiale de paramètres n et p et est notée B(n;p).

Exemple n°1

Un QCM comporte trois questions. Pour chacune d’elles quatre réponses sont proposées dont une seule est correcte.

Un élève répond au hasard à chaque question.

La variable X compte le nombre de réponses correctes données par l’élève.

C’est une épreuve de Bernoulli : on choisit une réponse parmi 4, la probabilité du succès est p=\frac{1}{4}.

C’est un schéma de Bernoulli : on répète 3 fois de façon indépendante une épreuve de Bernoulli donc n=3.

C’est une loi binomiale de paramètres n=3 et p=\frac{1}{4}. On la note B(3;\frac{1}{4}).

Exemple n°2

On jette une pièce de monnaie équilibrée trois fois de suite.

La variable X compte le nombre de faces obtenues.

C’est une épreuve de Bernoulli : il y a deux issues possibles : pile ou face, la probabilité du succès est p=\frac{1}{2}.

C’est un schéma de Bernoulli : on répète 3 fois de façon indépendante une épreuve de Bernoulli donc n=3.

C’est une loi binomiale de paramètres n=3 et p=\frac{1}{2}. On la note B(3;\frac{1}{2}).

Exemple n°3

On tire successivement 4 cartes dans un jeu de 32 cartes.

La variable X compte le nombre de rois obtenus.

C’est une épreuve de Bernoulli : il y a deux issues possibles : roi ou pas roi, la probabilité du succès est p=\frac{4}{32}=\frac{1}{8}.

C’est un schéma de Bernoulli : on répète 4 fois de façon indépendante une épreuve de Bernoulli donc n=4.

C’est une loi binomiale de paramètres n=4 et p=\frac{1}{8}. On la note B(4;\frac{1}{8}).

Probabilité de k succès

Propriété

X est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et p.

Alors, pour tout entier naturel k compris entre 0 et  np(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}q=1-p .

Remarque:  p(X=k)se lit la probabilité d’obtenir k succès.

Exemple n°1 

X suit une loi binomiale de paramètres n=4 et p=0.1 

Calculer  p(X=3).

Exemple n°2 

X suit une loi binomiale de paramètres n=3 et p=\frac{1}{2} 

Calculer p(X=2)

Exemple n°3 

X suit une loi binomiale de paramètres n=3 et p=\frac{1}{4} 

Calculer p(X=3).

Propriété

X est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et p.

Alors,  E(X)=np, V(X)=npq et  \sigma(X)=\sqrt{npq}.  

Exemple n°1 

X suit une loi binomiale de paramètres n=4 et p=0.1 

Calculer  E(X), V(X), \sigma(X).

Exemple n°2 

X suit une loi binomiale de paramètres n=3 et p=\frac{1}{2} 

Calculer E(X), V(X), \sigma(X).

Exemple n°3 

X suit une loi binomiale de paramètres n=3 et p=\frac{1}{4} 

Calculer E(X), V(X), \sigma(X).

Prolongement

Comment calculer p(X\geq k) à l’aide de la calculatrice comme c’est indiqué dans les programmes ?

Exemple n°1 

X suit une loi binomiale de paramètres n=4 et p=0.1 

A l’aide de la calculatrice, calculer  p(X\leq 2).

Exemple n°2 

X suit une loi binomiale de paramètres n=3 et p=\frac{1}{2} 

A l’aide de la calculatrice, calculer p(X>1)

Exemple n°3 

X suit une loi binomiale de paramètres n=3 et p=\frac{1}{4} 

A l’aide de la calculatrice, calculer p(X\leq 2).

Exercice n°1 

Alain et Benjamin pratiquent assidûment le tennis. Lorsqu’ils disputent un match l’un contre l’autre, est déclaré vainqueur le premier qui remporte deux manches.
Alain et Benjamin décident de faire un match.
On considère les évènements :
A_i : « Alain remporte la i-ième manche »;
B_i : « Benjamin remporte la i-ième manche ».
On donne ci-contre l’arbre pondéré présentant toutes les issues possibles de cette rencontre.

1. Quelle est la probabilité qu’Alain remporte ce match en trois manches ?

2. Démontrer que la probabilité qu’Alain gagne cette rencontre est 0.6.

3. Ils décident de jouer trois matchs dans l’année (les résultats des matchs sont indépendants les uns des autres) et de faire une cagnotte pour s’offrir un repas en fin d’année. À la fin de chaque match, le perdant versera 20 euros.
Benjamin s’interroge sur sa dépense éventuelle en fin d’année.
a. Quelles sont les dépenses possibles de Benjamin ?

b. Démontrer que la probabilité que Benjamin dépense 40 euros est 0.432.

c. Quelle est la loi de probabilité associée à la dépense possible de Benjamin ?

d. Calculer l’espérance de dépense en fin d’année pour Benjamin.

Exercice n°2 

80 personnes s’apprêtent à passer le portique de sécurité. On suppose que pour chaque personne la probabilité que le portique sonne est égale à 0.02192.
Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de personnes faisant sonner le portique, parmi les 80 personnes de ce groupe.

  1. Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. Calculer l’espérance de X et interpréter le résultat.

3.a.Calculer la probabilité qu’au moins une personne du groupe fasse sonner le portique

3.b.Déterminer, à l’aide de la calculatrice, la probabilité qu’au maximum 5 personnes fassent sonner le portique.

Exercice n°3

Une agence de voyage propose des itinéraires touristiques pour lesquels chaque client effectue un
aller et un retour en utilisant soit un bateau, soit un train touristique. Le choix du mode de transport
peut changer entre l’aller et le retour.
À l’aller, le bateau est choisi dans 65 % des cas.
Lorsque le bateau est choisi à l’aller, il l’est également pour le retour 9 fois sur 10.
Lorsque le train a été choisi à l’aller, le bateau est préféré pour le retour dans 70 % des cas.
On interroge au hasard un client. On considère les évènements suivants :
A : « le client choisit de faire l’aller en bateau »;
R : « le client choisit de faire le retour en bateau ».
1. Traduire cette situation par un arbre pondéré.

2. On choisit au hasard un client de l’agence.
a. Calculer la probabilité que le client fasse l’aller-retour en bateau.

b. Montrer que la probabilité que le client utilise les deux moyens de transport est égale à
0,31.

3. On choisit au hasard 20 clients de cette agence. On note X la variable aléatoire qui compte le
nombre de clients qui utilisent les deux moyens de transport.
On admet que le nombre de clients est assez grand pour que l’on puisse considérer que X suit
une loi binomiale.
a. Préciser les paramètres de cette loi binomiale.

b. Déterminer la probabilité qu’exactement 12 clients utilisent les deux moyens de transport
différents.

c. Déterminer la probabilité qu’il y ait au moins 2 clients qui utilisent les deux moyens de transport différents.

Pour calculer p(X=3) , il faut remplacer n par 4, p par 0.1, 1-p par 0.9 et k par 3 dans

p(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}

p(X=3)=\binom{4}{3}\times 0.1^3\times 0.9^1

\hspace{1.5cm}=4\times 0.001\times 0.9

\hspace{1.5cm}=0.0036

Voici comment calculer P(X=3) avec la TI 83 Premium CE.

Pour calculer p(X=2) , il faut remplacer n par 3, p par \frac{1}{2}, 1-p par \frac{1}{2} et k par 2 dans

p(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}

p(X=2)=\binom{3}{2}\times (\frac{1}{2})^2\times (\frac{1}{2})^1

\hspace{1.5cm}=3\times (\frac{1}{2})^3

\hspace{1.5cm}=\frac{3}{8}

Voici comment calculer P(X=2) avec la TI 83 Premium CE.

Pour calculer p(X=3) , il faut remplacer n par 3, p par \frac{1}{4}, 1-p par \frac{3}{4} et k par 3 dans

p(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}

p(X=3)=\binom{3}{3}\times (\frac{1}{4})^3\times (\frac{3}{4})^0

\hspace{1.5cm}=1\times (\frac{1}{4})^3

\hspace{1.5cm}=\frac{1}{64}

Voici comment calculer P(X=3) avec la TI 83 Premium CE.

 On va remplacer n par 4 ; p par 0.1 et q par 0.9 dans E(X)=np, V(X)=npq et  \sigma(X)=\sqrt{npq}

E(X)=np

\hspace{0.98cm}=4\times 0.1

\hspace{0.98cm}=0.4

V(X)=npq

\hspace{0.98cm}=4\times 0.1\times 0.9

\hspace{0.98cm}=0.36

\sigma(X)=\sqrt{npq}

\hspace{0.98cm}=\sqrt{0.36}

\hspace{0.98cm}=0.6

 On va remplacer n par 3 ; p par \frac{1}{2} et q par \frac{1}{2} dans E(X)=np, V(X)=npq et  \sigma(X)=\sqrt{npq}

E(X)=np

\hspace{0.98cm}=3\times \frac{1}{2}\\\hspace{0.98cm}=\frac{3}{2}

V(X)=npq

\hspace{0.98cm}=3\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}

\hspace{0.98cm}=\frac{3}{4}

\sigma(X)=\sqrt{npq}

\hspace{0.98cm}=\sqrt{\frac{3}{4}}

\hspace{0.98cm}=\frac{\sqrt{3}}{2}

 On va remplacer n par 3 ; p par \frac{1}{4} et q par \frac{3}{4} dans E(X)=np, V(X)=npq et  \sigma(X)=\sqrt{npq}

E(X)=np

\hspace{0.98cm}=3\times \frac{1}{4}\\\hspace{0.98cm}=\frac{3}{4}

V(X)=npq

\hspace{0.98cm}=3\times \frac{1}{4}\times \frac{3}{4}

\hspace{0.98cm}=\frac{9}{16}

\sigma(X)=\sqrt{npq}

\hspace{0.98cm}=\sqrt{\frac{9}{16}}

\hspace{0.98cm}=\frac{3}{4}

Pour calculer p(X\leq 2), on utilise directement la calculatrice TI 83 Premium ainsi :

A l’aide de la calculatrice TI 83 Premium, on obtient p(X\leq 2)=0.9963.

 

Pour calculer p(X> 2), on ne peut pas utiliser directement la calculatrice TI 83 Premium car elle ne calcule que p(X\leq k).

On utilise l’évènement contraire.

p(X> 1)= 1-p(X\leq 1).

Puis à l’aide de la calculatrice, on calcule p(X\leq 1)

 

A l’aide de la calculatrice TI 83 Premium, on obtient p(X\leq 1)=0.5.

p(X> 1)= 1-p(X\leq 1)\\\hspace{1.5cm}= 1-0.5\\\hspace{1.5cm}= 0.5

 

Pour calculer p(X\leq 2), on utilise directement la calculatrice TI 83 Premium ainsi :

A l’aide de la calculatrice TI 83 Premium, on obtient p(X\leq 2)=0.984375.

 

On veut déterminer la probabilité qu’Alain gagne en trois manches, c’est-à-dire p(A_3).

On ajoute les probabilités des deux chemins surlignés ci-dessous qui y mènent : A_1\cap B_2\cap A_3 et B_1\cap A_2\cap A_3.

p(A_3)=p(A_1\cap B_2\cap A_3)+p(B_1\cap A_2\cap A_3)

La probabilité d’un chemin est égal au produit des probabilités sur les branches.

p(A_3)=\frac{1}{3}\times (1-\frac{3}{5})\times \frac{3}{4} +(1-\frac{1}{3})\times \frac{3}{5}\times \frac{3}{4}\\\hspace{1cm}=\frac{1}{3}\times \frac{2}{5}\times \frac{3}{4} +\frac{2}{3}\times \frac{3}{5}\times \frac{3}{4}\\\hspace{1cm}=\frac{1}{10}+\frac{3}{10}\\\hspace{1cm}=\frac{4}{10}\\\hspace{1cm}=\frac{2}{5}

 

 

On a déterminé la probabilité qu’Alain gagne en trois manches  p(A_3)=\frac{2}{5}.

Il reste à déterminer la probabilité qu’Alain gagne en deux manches (c’est la probabilité du chemin surligné en vert ) c’est-à-dire p(A_1\cap A_2) .

La probabilité d’un chemin est égal au produit des probabilités sur les branches.

p(A_1\cap A_2)=\frac{1}{3}\times \frac{3}{5}\\\hspace{1.8cm}=\frac{1}{5}

On calcule la probabilité qu’Alain gagne la partie :  \frac{2}{5}+\frac{1}{5}=\frac{3}{5}.

La probabilité qu’Alain gagne la partie est bien égale à 0.6.

Les dépenses éventuelles de Benjamin en fin d’année seront : 0 euros (il a gagné les 3 matchs), 20 euros (il a perdu 1 match), 40 euros (il a perdu 2 matchs), 60 euros (il a perdu 3 matchs).

 

.

Benjamin dépensera  40 euros s’il perd deux fois.

On va modéliser avec un schéma de Bernoulli avec 3 répétitions ( les matchs) et avec la probabilité du succès étant la probabilité que Benjamin perde ( qui correspond à Alain gagne ) c’est-à-dire p=0.6.

Pour calculer p(X=2) , il faut remplacer n par 3, p par 0.6, 1-p par 0.4 et k par 2 dans

p(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}

p(X=2)=\binom{3}{2}\times 0.6^2\times 0.4^1

\hspace{1.5cm}=3\times 0.36 \times 0.4

\hspace{1.5cm}=0.432

La probabilité que Benjamin dépense 40 euros est bien 0.432

Je prépare le tableau de la loi de probabilité (on indique le 0.432 trouvé précédemment).

dépense0204060
probabilité  0.432 

Benjamin ne dépense rien s’il perd zéro parties.

La probabilité sera :

\binom{3}{0}\times 0.6^0\times0.4^3=0.064

Benjamin  dépense 20 euros s’il perd une partie.

La probabilité sera :

\binom{3}{1}\times 0.6^1\times0.4^2=0.288

Benjamin  dépense 60 euros s’il perd trois parties.

La probabilité sera :

\binom{3}{3}\times 0.6^3\times0.4^0=0.216

Voici le tableau de la loi de probabilité :

dépense0204060
probabilité0.0640.2880.4320.216

 

 

 

On a déterminé précédemment le tableau de la loi de probabilité  :

dépense0204060
probabilité0.0640.2880.4320.216

  Définitions 

  X est une variable aléatoire réelle définie sur \Omega  qui prend les valeurs a_1, a_2, a_3 , …a_n et dont la loi de probabilité est donnée ci-dessous 

Valeur de X

a_1a_2

a_n
P(X=a_i)p_1p_2

p_n

L’espérance de la variable aléatoire X est le nombre réel noté E(X) défini par

E(X)=p_1a_1+p_2a_2+…+p_na_n

La variance de la variable aléatoire X est le nombre réel noté V(X) défini par

V(X)=p_1(a_1-E(X))^2+p_2(a_2-E(X))^2+…+p_n(a_n-E(X))^2

L’écart-type de la variable aléatoire X est le nombre réel noté \sigma(X) défini par

\sigma(X)=\sqrt{V(X)}

On applique les résultats du cours au-dessus.

E(X)=0\times 0.064+20\times 0.288+40\times 0.432+60\times 0.216\\\hspace{1cm}=36

Sur un grand nombre d’années, Benjamin peut espérer dépenser 36 euros par an.

 

 

On est en présence d’un schéma de Bernoulli constitué de n=80 épreuves où la probabilité du succès est p=0.02192 .

X est la variable aléatoire qui donne le nombre de succès lors de ces épreuves.

La loi de probabilité de X est appelée loi binomiale de paramètres 80 et 0.02192

On applique le cours : X est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et p.Alors   E(X)=np

Ici on remplace n par 80 et p par 0.02192 dans   E(X)=np

 E(X)=80\times 0.02192

 E(X)=1.7536

Donc dans un groupe de  80 personnes, le portail sonnera à peu près 2 fois.

Parfois il est plus compréhensible de dire au minimum un plutôt que « au moins un ».

Calculer p(X\geq 1) revient à calculer p(X=1)+p(X=2)+p(X=3)+…+p(X=80) ce qui est très long.

On va utiliser l’évènement contraire : pas du tout .

p(X\geq 1)=1-p(X=0)\\p(X\geq 1)=1-\binom{n}{0}0.02192^0(1-0.02192)^{80}\\p(X\geq 1)=1-(1-0.02192)^{80}\\p(X\geq 1)=0.83

Pour calculer p(X\leq 5), on utilise directement la calculatrice TI 83 Premium ainsi :

A l’aide de la calculatrice TI 83 Premium, on obtient p(X\leq 5)=0.9916.

 

 

Conseil : il est parfois utile de reformuler les phrases pour se ramener au plus près des définitions du cours.

1)À l’aller, le bateau est choisi dans 65 % des cas, donc

p(A)=0.65.

2)Lorsque le bateau est choisi à l’aller, il l’est également pour le retour 9 fois sur 10.

On peut aussi écrire : sachant que le bateau est choisi à l’aller, la probabilité qu’il le soit au retour est \frac{9}{10}.

p_A(R)=\frac{9}{10}=0.9

3)Lorsque le train a été choisi à l’aller, le bateau est préféré pour le retour dans 70 % des cas.

On peut aussi écrire : sachant que le train est choisi à l’aller, la probabilité que le bateau soit choisi au retour est  \frac{70}{100}

donc p_{\bar{A}}(R)=\frac{70}{100}=0.7.

On reporte les probabilités trouvées sur les branches correspondantes de l’arbre ci-contre.

Pour les branches sans probabilités, on utilise la propriété suivante : la somme des probabilités sur les branches issues d’un même noeud est égale à 1.

 

On reformule : le client fait l’aller-retour en bateau signifie le client choisit de faire l’aller en bateau et choisit de faire le retour en bateau.

On traduit ensuite en symboles mathématiques, A\cap R.

Pour calculer la probabilité du chemin qui passe par A et par R, on fait le produit des probabilités sur les branches. Ce qui revient à appliquer la formule suivante :

p(A\cap R)=p(A)\times p_A(R)

p(A\cap R)=0.65\times 0.9

p(A\cap R)=0.585

Montrer que la probabilité que le client utilise les deux moyens de transport est égale à
0,31.

On reformule : le client utilise les deux moyens de transport signifie le client choisit de faire l’aller en bateau et choisit de faire le retour en train ou le client choisit de faire l’aller en train et choisit de faire le retour en bateau.

On traduit ensuite en symboles mathématiques, (A\cap {\bar R})\cup ({\bar A}\cap R) .

Pour calculer la probabilité du chemin qui passe par A et par {\bar R}, on fait le produit des probabilités sur les branches. Ce qui revient à appliquer la formule suivante :

p(A\cap {\bar R})=p(A)\times p_A({\bar R})\\p(A\cap {\bar R})=0.65\times 0.1\\p(A\cap {\bar R})=0.065

Pour calculer la probabilité du chemin qui passe par {\bar A} et par R, on fait le produit des probabilités sur les branches. Ce qui revient à appliquer la formule suivante :

p({\bar A}\cap R)=p({\bar A})\times p_{\bar A}(R)\\p({\bar A}\cap R)=0.35\times 0.7\\p({\bar A}\cap R)=0.245
p((A\cap {\bar R})\cup ({\bar A}\cap R))=p(A\cap {\bar R})+p ({\bar A}\cap R))\\p((A\cap {\bar R})\cup ({\bar A}\cap R))=0.065+0.245\\p((A\cap {\bar R})\cup ({\bar A}\cap R))=0.31

 

On est en présence d’un schéma de Bernoulli constitué de n=20 épreuves où la probabilité du succès est p=0.31 .

X est la variable aléatoire qui donne le nombre de clients qui utilisent les deux moyens de transport lors de ces épreuves.

La loi de probabilité de X est appelée loi binomiale de paramètres 20 et 0.31

 

On va modéliser avec un schéma de Bernoulli avec 20 répétitions ( les clients de l’agence) et avec la probabilité du succès étant la probabilité que le client utilise deux types de transport différents c’est-à-dire p=0.31.

Pour calculer p(X=12) , il faut remplacer n par 20, p par 0.31, 1-p par 0.69 et k par 12 dans

p(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}

p(X=12)=\binom{20}{12}\times 0.31^{12}\times 0.69^{20-12}

Une fois que vous avez écrit la formule, utilisez la machine pour le calcul comme ci-contre.

\hspace{1.65cm}=0.0051

Remplaçons au moins par au minimum.

La phrase : la probabilité qu’il y ait au minimum 2 clients qui utilisent les deux moyens de transport différents s’écrit en langage mathématique p(X\geq 2)

Avec la calculatrice, on peut calculer p(X\leq k), on va donc s’intéresser à l’évènement contraire.

p(X\geq 2)=1-p(X\leq 1)

On utilise la calculatrice pour calculer p(X\leq 1) comme ci-contre.

p(X\geq 2)=1-0.006

p(X\geq 2)=0.994

 

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.