T. Loi et schéma de Bernoulli

Définition

 Une épreuve de Bernoulli est une expérience à deux issues.

L’ une est appelée succès et notée SS et l’autre est appelée échec et est notée Sˉ\bar S.

Exemples 

  • Jeter une pièce de monnaie est une épreuve de Bernoulli où le succès pourrait être obtenir pile et l’échec obtenir face. Ici p(S)=12p(S)=\frac{1}{2} et p(Sˉ)=12p(\bar S)=\frac{1}{2}
  • Jeter un dé à six faces peut-être une épreuve de Bernoulli si on prend pour le succès SS : obtenir un six et pour l’échec Sˉ\bar S : ne pas obtenir un six. Ici p(S)=16p(S)=\frac{1}{6} et p(Sˉ)=56p(\bar S)=\frac{5}{6}.
  • Choisir une carte dans un jeu de 32 cartes peut être une épreuve de Bernoulli si on prend pour le succès SS : obtenir un as et pour l’échec Sˉ\bar S : ne pas obtenir un as. Ici p(S)=432p(S)=\frac{4}{32} et p(Sˉ)=2832p(\bar S)=\frac{28}{32}.

Définition 

On considère une épreuve de Bernoulli où la probabilité du succès est pp.

XX est la variable aléatoire qui prend la valeur 1 en cas de succès et qui prend la valeur 0 en cas d’échec.

La loi de probabilité présentée ci-dessous est appelée loi de Bernoulli de paramètre p. 

aia_i

0011
p(X=ai)p(X=a_i)1p1-p

pp

Exemples

  • On jette une pièce de monnaie ,si le succès est: obtenir face, la variable aléatoire  XX qui vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec suit une loi de Bernoulli de paramètre 0.5. 
  • On jette un dé à six faces ,si le succès est: obtenir un six, la variable aléatoire  XX qui vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec suit une loi de Bernoulli de paramètre 16\frac{1}{6}
  • On choisit une carte dans un jeu de 32 ,si le succès est: obtenir un as, la variable aléatoire  XX qui vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec suit une loi de Bernoulli de paramètre 432\frac{4}{32} ou 18\frac{1}{8}

Propriété

Soit XX une variable aléatoire qui suit la loi de Bernoulli de paramètre p alors

  • l’espérance de XXest E(X)=pE(X)=p
  • la variance de XXest V(X)=p(1p)V(X)=p(1-p)
  • l’écart-type de XXest σ(X)=p(1p)\sigma(X)=\sqrt{p(1-p)}

Exercice n°1

Dans chaque cas, dire si la variable aléatoire XX suit ou non une loi de Bernoulli. Si oui, préciser p,E(X),V(X),σ(X)p,E(X), V(X),\sigma(X) .

1) On lance un dé équilibré. XX prend la valeur  qui correspond au nombre qu’on lit sur la face supérieure. 

2) On tire une carte dans un jeu de 32 cartes, XX prend la valeur  11 si on tire une figure ( roi, dame ou valet) et XX prend la valeur  00 sinon.

3) On lance une pièce de monnaie équilibrée, XX prend la valeur  11 si on obtient face et XX prend la valeur  00 si on obtient pile.

4) Dans une entreprise  2525% des employés viennent travailler à pied, 2525% % des employés viennent travailler à vélo et  5050%%  des employés viennent travailler en voiture.

XX prend la valeur  11 si l’employé vient travailler à pied et XX prend la valeur  00 sinon. 

Définition

 L’ expérience aléatoire consistant à répéter nn fois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètre  pp s’appelle un schéma de Bernoulli de paramètres nn et pp

Exemples :

  • On lance une pièce de monnaie trois fois de suite. Le succès est : obtenir face.

C’est un schéma de Bernoulli de paramètres 33 et 12\frac{1}{2}

  • On lance un dé quatre fois de suite. Le succès est : obtenir un 6.

C’est un schéma de Bernoulli de paramètres 44 et 16\frac{1}{6}

  • On tire successivement avec remise une boule dans une urne qui contient 2 boules rouges et trois noires, trois fois de suite. Le succès est de tirer une boule rouge.

C’est un schéma de Bernoulli de paramètres 33 et 25\frac{2}{5}.

Exercice n°2

On tire successivement trois cartes avec remise dans un jeu de 32 cartes.

On compte le nombre de figures obtenues dans le tirage.

On note SS le succès obtenir une carte qui ne soit pas une figure.

  1. Modéliser la situation par un arbre de probabilités, indiquer les probabilités sur quelques branches.

2. Cette expérience constitue-t-elle un schéma de Bernoulli ? Si oui, préciser ses paramètres.

3. Déterminer la probabilité qu’exactement deux cartes ne soient pas des figures.

Exercice n°3

On tire successivement quatre boules  avec remise dans une urne qui contient six boules vertes et quatre boules rouges.

On compte le nombre de boules vertes  obtenues dans le tirage.

  1. Expliquer pourquoi on peut modéliser cette expérience par un schéma de Bernoulli, puis préciser les valeurs des paramètres nn et pp

2. Représenter ce schéma de Bernoulli par un arbre pondéré en portant quelques probabilités sur les branches.

3. Déterminer la probabilité qu’exactement trois boules soient vertes.