T. Loi et schéma de Bernoulli

Loi et schéma de Bernoulli, Niveau terminale spécialité, PROBABILITES

Définition

Une épreuve de Bernoulli est une expérience à deux issues.

L’ une est appelée succès et notée $S$ et l’autre est appelée échec et est notée $\bar S$ .

Exemples

Jeter une pièce de monnaie est une épreuve de Bernoulli où le succès pourrait être obtenir pile et l’échec obtenir face. Ici $p(S)=\frac{1}{2}$ et $p(\bar S)=\frac{1}{2}$
Jeter un dé à six faces peut-être une épreuve de Bernoulli si on prend pour le succès $S$ : obtenir un six et pour l’échec $\bar S$ : ne pas obtenir un six. Ici $p(S)=\frac{1}{6}$ et $p(\bar S)=\frac{5}{6}$ .
Choisir une carte dans un jeu de 32 cartes peut être une épreuve de Bernoulli si on prend pour le succès $S$ : obtenir un as et pour l’échec $\bar S$ : ne pas obtenir un as. Ici $p(S)=\frac{4}{32}$ et $p(\bar S)=\frac{28}{32}$ .

Définition

On considère une épreuve de Bernoulli où la probabilité du succès est $p$ .

$X$ est la variable aléatoire qui prend la valeur 1 en cas de succès et qui prend la valeur 0 en cas d’échec.

La loi de probabilité présentée ci-dessous est appelée loi de Bernoulli de paramètre p.

$a_i$	$0$	$1$
$p(X=a_i)$	$1-p$	$p$

Exemples

On jette une pièce de monnaie ,si le succès est: obtenir face, la variable aléatoire $X$ qui vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec suit une loi de Bernoulli de paramètre 0.5.
On jette un dé à six faces ,si le succès est: obtenir un six, la variable aléatoire $X$ qui vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec suit une loi de Bernoulli de paramètre $\frac{1}{6}$ .
On choisit une carte dans un jeu de 32 ,si le succès est: obtenir un as, la variable aléatoire $X$ qui vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec suit une loi de Bernoulli de paramètre $\frac{4}{32}$ ou $\frac{1}{8}$

Propriété

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi de Bernoulli de paramètre p alors

l’espérance de $X$ est $E(X)=p$
la variance de $X$ est $V(X)=p(1-p)$
l’écart-type de $X$ est $\sigma(X)=\sqrt{p(1-p)}$

Exercice n°1

Dans chaque cas, dire si la variable aléatoire $X$ suit ou non une loi de Bernoulli. Si oui, préciser $p,E(X), V(X),\sigma(X)$ .

1) On lance un dé équilibré. $X$ prend la valeur qui correspond au nombre qu’on lit sur la face supérieure.

2) On tire une carte dans un jeu de 32 cartes, $X$ prend la valeur $1$ si on tire une figure ( roi, dame ou valet) et $X$ prend la valeur $0$ sinon.

3) On lance une pièce de monnaie équilibrée, $X$ prend la valeur $1$ si on obtient face et $X$ prend la valeur $0$ si on obtient pile.

4) Dans une entreprise $25$ % des employés viennent travailler à pied, $25%$ % des employés viennent travailler à vélo et $50%$ % des employés viennent travailler en voiture.

$X$ prend la valeur $1$ si l’employé vient travailler à pied et $X$ prend la valeur $0$ sinon.

Définition

L’ expérience aléatoire consistant à répéter $n$ fois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ s’appelle un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ .

Exemples :

On lance une pièce de monnaie trois fois de suite. Le succès est : obtenir face.

C’est un schéma de Bernoulli de paramètres $3$ et $\frac{1}{2}$ .

On lance un dé quatre fois de suite. Le succès est : obtenir un 6.

C’est un schéma de Bernoulli de paramètres $4$ et $\frac{1}{6}$ .

On tire successivement avec remise une boule dans une urne qui contient 2 boules rouges et trois noires, trois fois de suite. Le succès est de tirer une boule rouge.

C’est un schéma de Bernoulli de paramètres $3$ et $\frac{2}{5}$ .

Exercice n°2

On tire successivement trois cartes avec remise dans un jeu de 32 cartes.

On compte le nombre de figures obtenues dans le tirage.

On note $S$ le succès obtenir une carte qui ne soit pas une figure.

Modéliser la situation par un arbre de probabilités, indiquer les probabilités sur quelques branches.

2. Cette expérience constitue-t-elle un schéma de Bernoulli ? Si oui, préciser ses paramètres.

3. Déterminer la probabilité qu’exactement deux cartes ne soient pas des figures.

Exercice n°3

On tire successivement quatre boules avec remise dans une urne qui contient six boules vertes et quatre boules rouges.

On compte le nombre de boules vertes obtenues dans le tirage.

Expliquer pourquoi on peut modéliser cette expérience par un schéma de Bernoulli, puis préciser les valeurs des paramètres $n$ et $p$ .

2. Représenter ce schéma de Bernoulli par un arbre pondéré en portant quelques probabilités sur les branches.

3. Déterminer la probabilité qu’exactement trois boules soient vertes.