T. convexité. Exercices

Sommaire

Exercice n°1

On considère la fonction f définie sur \mathbf{R} par

f(x)=-7xe^x

Cette fonction admet sur R une dérivée f’ et une dérivée seconde f".
On donne ci-contre la courbe C_f représentative de la fonction f .

Une seule des quatre réponses proposées est exacte, trouvez-la.

a. f’ est positive sur l’intervalle [-6;0].

b. f est convexe sur l’intervalle [-1;0].

c. C_f admet un point d’inflexion pour x=-1.

d. f" change de signe en x=-2.

Exercice n°2

On donne ci-dessous la courbe C_g représentant une fonction g définie sur [0;2].

Une seule des quatre réponses proposées est exacte, trouvez-la.

a. g est concave sur l’intervalle [0;2].

b. g"(x)\geq 0  pour  x\in [0;2].

c. C_g admet un point d’inflexion sur l’intervalle  [0;2].

d. g'(1)>0.

Exercice n°3

On considère la fonction f définie et dérivable sur \mathbf{R}. Sa dérivée f’ est aussi dérivable sur \mathbf{R}

La courbe ci-contre
représente la dérivée seconde f".

Une seule des quatre réponses proposées est exacte, trouvez-la.

a. f est convexe sur l’intervalle [-2;2].

b. f est concave sur l’intervalle [-2;2].

c. C_f admet un point d’inflexion sur l’intervalle  [-2;2].

d. f’ est croissante sur l’intervalle [-2;2].

Exercice n°4

On donne ci-dessous la courbe C_f représentative dans un repère donné d’une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [0;5] ainsi que les courbes représentatives C_f’ et C_f" respectivement de la dérivée f’ et de la dérivée seconde f" de la fonction f .

Dans cette partie les réponses seront obtenues à l’aide de lectures graphiques.
1. Donner un encadrement par deux entiers consécutifs du nombre réel pour lequel la fonction f
semble atteindre son maximum.

2. a. Donner un intervalle défini par deux entiers sur lequel la fonction fsemble convexe.

b. Expliquer pourquoi on peut conjecturer que la courbe C_f admet un point d’inflexion.
Donner un encadrement par deux entiers consécutifs de l’abscisse de ce point d’inflexion.

Exercice n°5

On considère la fonction f définie et dérivable sur [-10;5] par f(x)=(x-5)e^{0.2x}+5 

  1. On note  f’ sa dérivée sur [-10;5]
    a. Montrer que f'(x)=0.2xe^{0.2x}

b. Dresser le tableau de variation de la fonction f définie [-10;5].

c. Déterminer la valeur exacte du coefficient directeur de la tangente T_{-5} à C_f au point A d’abscisse -5 .

2. a. Montrer que f"(x)=(0.2+0.04x)e^{0.2x}

2. b. Etudier la convexité de  f sur [-10;5]

Exercice n°6

On considère la fonction f définie et dérivable sur [0;30] par f(x)=x^3-39x^2+315x+45 

On note C_f sa courbe représentative. 

Une seule des quatre réponses proposées est exacte, trouvez-la.

a. f est convexe sur l’intervalle [0;30].

b. f est concave sur l’intervalle [5;21].

c. C_f admet un point d’inflexion au point d’abscisse  13.

d. f’ est croissante sur l’intervalle [0;5] et sur [21;30].

Exercice n°7

On considère la fonction f définie et dérivable sur \mathbf{R} par f(x)=(-5x^2+5)e^x 
Cette fonction admet sur R une dérivée f’ et une dérivée seconde f".
On donne ci-contre la courbe C_f représentative de la fonction f.

1. a. Calculer les coordonnées du point A , intersection de la courbe C_f avec l’axe des ordonnées. Placer le point A dans le repère ci-dessus.

b. Déterminer par le calcul les coordonnées des points d’intersection de C_f et de l’axe des abscisses. Puis les placer dans le repère ci-dessus.

c. Montrer que pour tout x ∈ R, f'(x)=(-5x^2-10x+5)e^x

d. Étudier les variations de la fonction f sur l’intervalle [-5;2].

2. Soit \Delta la tangente à C_f au point d’abscisse 0.
a. Montrer qu’une équation de \Delta est y=5x+5

b. Tracer la droite \Delta dans le repère ci-dessus.

3. a Montrer que f"(x)=(-5x^2-20x-5)e^x.

b. Étudier la convexité de la fonction f sur l’intervalle [-5;2]

Exercice n°8

On appelle fonction « satisfaction » toute fonction dérivable qui prend ses valeurs entre 0 et 100 .
Lorsque la fonction « satisfaction » atteint la valeur 100, on dit qu’il y a « saturation ».
On définit aussi la fonction « envie » comme la fonction dérivée de la fonction « satisfaction ». On dira
qu’il y a « souhait » lorsque la fonction « envie » est positive ou nulle et qu’il y a « rejet » lorsque la
fonction « envie » est strictement négative.
Dans chaque partie, on teste un modèle de fonction « satisfaction » différent.
Les parties A, B et C sont indépendantes.
Partie A
Un étudiant prépare un concours, pour lequel sa durée de travail varie entre 0 et 6 heures par jour. Il modélise sa satisfaction en fonction de son temps de travail quotidien par la fonction « satisfaction » f dont la courbe représentative est donnée ci-dessous (x est exprimé en heures).

1. Lire graphiquement la durée de travail quotidien menant à « saturation ».

2. Déterminer à l’aide du graphique, à partir de quelle durée de travail il y a « rejet ».

Partie B
Le directeur d’une agence de trekking modélise la satisfaction de ses clients en fonction de la durée
de leur séjour. On admet que la fonction « satisfaction » g est définie sur l’intervalle [0;30] par g(x)=12.5xe^{-0.125x+1}  (x est exprimé en jour).
1. Démontrer que, pour tout x de l’intervalle [0;30]g'(x)=(12.5-1.5625x)e^{-0.125x+1}.

2. Étudier le signe de g'(x) sur l’intervalle [0;30] puis dresser le tableau des variations de g sur cet intervalle.

3. Quelle durée de séjour correspond-elle à l’effet « saturation » ?

Partie C
La direction des ressources humaines d’une entreprise modélise la satisfaction d’un salarié en fonction du salaire annuel qu’il perçoit. On admet que la fonction « satisfaction » h, est définie sur l’intervalle [0;50] par
h(x)=\frac{90}{1+e^{-0.25x+6}} (x est exprimé en millier d’euros).
La courbe C_h de la fonction h est représentée dans la fenêtre active Géogébra ci-dessous :

Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :

1. Donner sans justification une expression de h"(x).

2. Résoudre dans l’intervalle [10;50] l’inéquation e^{-0.25x+6}-1>0.

3. En déduire la convexité de la fonction h sur l’intervalle [10;50].

4. À partir de quel salaire annuel peut-on estimer que la fonction « envie » décroît ? Justifier

5. Déterminer, en le justifiant, pour quel salaire annuel la fonction « satisfaction » atteint 80.
Arrondir au millier d’euros.

a. f’ est positive sur l’intervalle [-6;0].

b. f est convexe sur l’intervalle [-1;0].

c. C_f admet un point d’inflexion pour x=-1.

d. f" change de signe en x=-2.

On peut déjà éliminer les réponses qui sont fausses de façon évidente.

la réponse a est fausse car f’ n’est pas toujours positive sur l’intervalle [-6;0]. En effet, la courbe de f descend sur [-1;0] et donc f’ y est négative.

la réponse b est fausse car f est  concave sur l’intervalle [-1;0]. Sur cet intervalle, la courbe est située au-dessus de ses sécantes.

la réponse c est fausse car C_f ne traverse pas sa tangente en  x=-1.

La bonne réponse est donc la réponse d.

 

a. g est concave sur l’intervalle [0;2].

b. g"(x)\geq 0  pour  x\in [0;2].

c. C_g admet un point d’inflexion sur l’intervalle  [0;2].

d. g'(1)>0.

On peut déjà éliminer les réponses qui sont fausses de façon évidente.

la réponse a est fausse car sur l’intervalle [0;2], la courbe est d’abord située au-dessus de ses sécantes puis en-dessous. Donc la concavité change.

la réponse b est fausse car la concavité de g change donc le signe de g"(x) aussi.

la réponse d est fausse car la tangente à C_g en  x=1 descend donc son coefficient directeur est négatif donc g'(1)<0.

La bonne réponse est donc la réponse c.

 

 

a. f est convexe sur l’intervalle [-2;2].

b. f est concave sur l’intervalle [-2;2].

c. C_f admet un point d’inflexion sur l’intervalle  [-2;2].

d. f’ est croissante sur l’intervalle [-2;2].

On peut déjà éliminer les réponses qui sont fausses de façon évidente.

Les réponses a et b sont fausses car sur l’intervalle [-2;2], la courbe de f" est d’abord située en dessous de l’axe des abscisses puis au-dessus. Donc le signe de f"(x) est d’abord négatif puis positif, donc la fonction f est d’abord concave sur [-2;1] et convexe sur [1;2].

la réponse c est vraie. On a vu au-dessus que  f" change de signe pour x=1 , donc C_f admet un point d’inflexion pour x=1.

Sur la courbe de la fonction f ci-dessous, le point le plus haut de la courbe a une abscisse comprise entre 1 et 2.

Donc la fonction f admet un maximum pour une valeur de x comprise entre 1 et 2.

Sur la courbe de la fonction f" ci-dessous, la courbe est située au-dessus de l’axe des abscisses pour x situé dans l’intervalle  [3;5]. Donc f"(x)\geq 0 pour x\in[3;5]

Donc la fonction f est convexe sur [3;5].

Par commodité on note \alpha l’abscisse du point d’intersection de la courbe de la fonction f" et de l’axe des abscisses.

Sur la courbe de la fonction f" ci-dessous, la courbe est située en-dessous de l’axe des abscisses pour x situé dans l’intervalle  [0;\alpha]. Donc f"(x)\leq 0 pour x\in[0;\alpha].

On a vu précédemment que  f"(x)\geq 0 pour x\in[\alpha;5]

Comme f" change de signe, C_f admet un point d’inflexion dont l’abscisse est comprise entre 2 et 3.

On considère la fonction f définie et dérivable sur [-10;5] par f(x)=(x-5)e^{0.2x}+5 

f'(x)=((x-5)e^{0.2x})’+(5)’ 

f'(x)=((x-5)e^{0.2x})’+0 

f'(x)=((x-5)e^{0.2x})’ 

1.On veut calculer ((x-5)e^{0.2x})’.

On répond à la question suivante : est-ce une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est le produit de deux fonctions u\times v avec  u(x)=x-5 et v(x)=e^{0.2x}.

On va utiliser la ligne n°3 du tableau n°1 ci-dessous.

Dérivées et opérations

f(x) est 

f'(x) se calcule ainsi :

une somme u+v

u’+v’

le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku

k\times u’

un produit de deux fonctions u\times v

u’\times v+u\times v’

l’inverse d’une fonction \frac{1}{u}

-\frac{u’}{u^2}

un quotient \frac{u}{v}

\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}

2a.on veut calculer la dérivée  u'(x)

u(x)=x-5 est une somme

u'(x)=(x-5)’

u(x)=(x)’-(5)’

u(x)=1-0

u(x)=1

2b.on veut calculer la dérivée  v'(x)

v(x)=e^{0.2x}

C’est de la forme  e^{u} avec   u(x)=0.2x.

On utilise la propriété n°2 :

La fonction e^u:x\rightarrow e^{u(x)} est dérivable sur I et pour tout réel x de I , (e^u)'(x)= u'(x) \times {e^{u(x)}} 

v'(x)=(0.2x)’e^{0.2x}

v'(x)=0.2(x)’e^{0.2x}

v'(x)=0.2\times{1} e^{0.2x}

v'(x)=0.2e^{0.2x}

3. On calcule la dérivée f'(x) 

f'(x)=((x-5)e^{0.2x})’+(5)’\\f'(x)=((x-5)e^{0.2x})’+0\\f'(x)=((x-5)e^{0.2x})’

Pour continuer, on remplace u par  x-5v par e^{0.2x}, u’ par  1 et v’ par 0.2e^{0.2x} dans la formule u’\times v+u\times v’ 

f'(x)=(x-5)’e^{0.2x}+(x-5)(e^{0.2x})’\\f'(x)=1\times e^{0.2x}+(x-5)\times0.2e^{0.2x}\\f'(x)= e^{0.2x}+0.2(x-5)e^{0.2x}

On met e^{0.2x} en facteur.

f'(x)= e^{0.2x}(1+0.2(x-5))\\f'(x)= e^{0.2x}(1+0.2x-1)\\f'(x)= 0.2xe^{0.2x}

On a vu que f'(x)=0.2xe^{0.2x}.

C’est un produit et e^{0.2x} est positif, donc f'(x) est du signe 0.2x. Donc f'(x) est négatif sur [-10;0] et positif sur [0;5]].

De plus f(-10)=5-15e^{-2}\\f(0)=0\\f(5)=5

On en déduit le tableau de variations suivant :

Pour déterminer la valeur exacte du coefficient directeur de la tangente T_{-5} à C_f au point A d’abscisse -5, il faut calculer f'(-5) en remplaçant x par (-5) entre parenthèses dans f'(x)=0.2xe^{0.2x}.

f'(-5)=0.2\times(-5)e^{0.2\times(-5)}\\f'(-5)=(-1)\times e^{-1}\\f'(-5)=-\frac{1}{e}

On considère la fonction f’ définie  par f'(x)= 0.2xe^{0.2x}

1.On veut calculer f"(x).

On répond à la question suivante : est-ce une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est le produit de deux fonctions u\times v avec  u(x)=0.2x et v(x)=e^{0.2x}.

On va utiliser la ligne n°3 du tableau n°1 ci-dessous.

Dérivées et opérations

f(x) est 

f'(x) se calcule ainsi :

une somme u+v

u’+v’

le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku

k\times u’

un produit de deux fonctions u\times v

u’\times v+u\times v’

l’inverse d’une fonction \frac{1}{u}

-\frac{u’}{u^2}

un quotient \frac{u}{v}

\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}

2a.on veut calculer la dérivée  u'(x)

u(x)=0.2x est le produit d’une constante par une fonction

u'(x)=(0.2x)’

u'(x)=0.2(x)’

u'(x)=0.2\times 1

u'(x)=0.2

 

2b.on veut calculer la dérivée  v'(x)

v(x)=e^{0.2x}

C’est de la forme  e^{u} avec   u(x)=0.2x.

On utilise la propriété n°2 :

La fonction e^u:x\rightarrow e^{u(x)} est dérivable sur I et pour tout réel x de I , (e^u)'(x)= u'(x) \times {e^{u(x)}} 

v'(x)=(0.2x)’e^{0.2x}

v'(x)=0.2(x)’e^{0.2x}

v'(x)=0.2\times{1} e^{0.2x}

v'(x)=0.2e^{0.2x}

3. On calcule la dérivée f"(x) 

On remplace u par  0.2xv par e^{0.2x}, u’ par  0.2 et v’ par 0.2e^{0.2x} dans la formule u’\times v+u\times v’ 

f"(x)=(0.2x)’e^{0.2x}+0.2x(e^{0.2x})’\\f"(x)=0.2\times e^{0.2x}+0.2x\times0.2e^{0.2x}\\f"(x)= 0.2e^{0.2x}+0.04xe^{0.2x}

On met e^{0.2x} en facteur.

f"(x)= e^{0.2x}(0.2+0.04x)

 

 

On a montré précédemment que f"(x)= e^{0.2x}(0.2+0.04x).

Etudions son signe pour en déduire la convexité de f.

Comme e^{0.2x} est positif, f"(x) est du signe de 0.2+0.04x.

0.2+0.04x s’annule pour x=-\frac{0.2}{0.04}=-5.

0.2+0.04x est négatif avant -5 et positif après -5.

Donc f"(x)\leq 0  sur [-10;-5] et f"(x)\geq 0 sur [-5;5]

Donc f est concave sur [-10;-5] et convexe sur [-5;5]

a. f est convexe sur l’intervalle [0;30].

b. f est concave sur l’intervalle [5;21].

c. C_f admet un point d’inflexion au point d’abscisse  13.

d. f’ est croissante sur l’intervalle [0;5] et sur [21;30].

Si on trace la courbe, on ne peut pas déterminer la convexité de f.

Le mieux est de calculer f"(x) et d’étudier son signe.

f(x)=x^3-39x^2+315x+45 est une somme.

f'(x)=(x^3-39x^2+315x+45)’\\f'(x)=(x^3)’-(39x^2)’+(315x)’+(45)’\\f'(x)=(x^3)’-39(x^2)’+315(x)’+(45)’\\f'(x)=3x^2-39\times 2x+315\times 1+0\\f'(x)=3x^2-78x+315

Calculons maintenant f"(x).

f"(x)=(3x^2-78x+315)’\\f"(x)=(3x^2)’-(78x)’+(315)’\\f"(x)=3(x^2)’-78(x)’+(315)’\\f"(x)=3\times 2x-78\times 1+0\\f"(x)=6x-78

Etudions le signe de  f"(x).

f"(x) est de la forme ax+b avec a=6, b=-78 et -\frac{b}{a}=-\frac{(-78)}{6}=13. De plus le signe de a est positif. On présent le tout dans un tableau comme en seconde.

Le signe de f"(x) change pour x=13. Donc C_f admet un point d’inflexion au point d’abscisse  13 et la bonne réponse est la réponse c.

 

 

 Calculer les coordonnées du point A , intersection de la courbe C_f avec l’axe des ordonnées.

On pose A(x_A;y_A).

A est sur la courbe C_f donc ses coordonnées (x_A;y_A) vérifient y_A=(-5x_A^2+5)e^{x_A}.

A est l’axe des ordonnées donc  x_A=0

y_A=(-5\times 0^2+5)e^{0}

y_A=5\times 1

y_A=5

Donc A(0;5).

Déterminer par le calcul les coordonnées des points d’intersection de C_f et de l’axe des abscisses. 

Il faut d’abord résoudre f(x)=0 pour déterminer les abscisses des points d’intersection.

(-5x^2+5)e^x=0

-5x^2+5=0 ( car e^x ne s’annule jamais)

On met -5 en facteur.

-5(x^2-1)=0

On factorise x^2-1 en utilisant une identité remarquable.

-5(x-1)(x+1)=0

On applique la règle du produit nul.

x-1=0 ou x+1=0

x=1 ou x=-1

Comme les points sont sur l’axe des abscisses, leur ordonnée est nulle.

Les deux points d’intersection ont pour coordonnées : (-1;0) et (1;0).

f(x)=(-5x^2+5)e^x

1.On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : est-ce une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est le produit de deux fonctions u\times v avec  u(x)=-5x^2+5 et v(x)=e^x.

On va utiliser la ligne n°3 du tableau n°1 ci-dessous.

Dérivées et opérations

f(x) est 

f'(x) se calcule ainsi :

une somme u+v

u’+v’

le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku

k\times u’

un produit de deux fonctions u\times v

u’\times v+u\times v’

l’inverse d’une fonction \frac{1}{u}

-\frac{u’}{u^2}

un quotient \frac{u}{v}

\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}

2a.on veut calculer la dérivée  u'(x)

u(x)=-5x^2+5 est une somme

u'(x)=(-5x^2+5)’

u'(x)=(-5x^2)’+(5)’

u'(x)=-5\times(x^2)’+0

u'(x)=-5\times 2x

u'(x)=-10x

2b.on veut calculer la dérivée  v'(x)

v(x)=e^{x}

C’est une fonction de référence.

v'(x)=(e^{x})’

v'(x)=e^{x}

3. On calcule la dérivée f'(x) 

On remplace u par  -5x^2+5v par e^{x}, u’ par  -10x et v’ par e^x dans la formule u’\times v+u\times v’ 

f'(x)=(-5x^2+5)’e^{x}+(-5x^2+5)(e^{x})’\\f'(x)=-10x\times e^{x}+(-5x^2+5)\times e^{x}\\f'(x)= -10xe^{x}+(-5x^2+5)e^{x}

On met e^{x} en facteur.

f'(x)= e^{x}(-10x-5x^2+5)\\f'(x)= e^{x}(-5x^2-10x+5)

 

 

On veut étudier le signe de f'(x)=(-5x^2-10x+5)e^x.

Comme e^x est toujours positif, f'(x) est du signe de -5x^2-10x+5.

On étudie donc le signe de -5x^2-10x+5.

On utilise la troisième ligne du tableau ci-dessous : la quantité est de la forme ax^2+bx+c.

  1. de nombres positifs alors la quantité est positive.
  2. de nombres négatifs alors la quantité est négative.
  3. de nombres de signes contraires ou indéterminés alors on ne peut pas conclure

On peut factoriser et étudier le signe d’un produit

On peut résoudre la quantité >0 

On utilise le tableau suivant :

On utilise le résultat du cours suivant :

si \Delta>0

si \Delta=0

si \Delta<0

La quantité est toujours positive.

Exemples : les quantités x^2 , (2x+5)^4 sont toujours positives

La quantité est du signe de ce qui est élevé à la puissance.

Exemple : la quantité x^3 est du signe de x, la quantité (2x-1)^5 est du signe de 2x-1.

On fait un tableau de signes comme en seconde : on étudie le signe de chaque facteur et on applique la règle des signes.

On fait un tableau de signes comme en seconde : on étudie le signe du numérateur, le signe du dénominateur et on applique la règle des signes.

On calcule la dérivée, on étudie son signe et on fait le tableau de variations. Ensuite, sur la dernière ligne du tableau de variations, on lit le signe de la quantité.  

J’identifie les coefficients du polynôme. a=-5, b=-10 et c=5.

Je calcule \Delta=b²-4ac  en remplaçant a,b,c  par (-5),(-10) ,5  .

\Delta=(-10)²-4\times{(-5)}\times{5}\\\Delta=100+100\\\Delta=200

Comme \Delta>0 , l’équation admet deux solutions réelles notées

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.

ax²+bx+c est  du signe de a à l’extérieur des racines et du signe de (-a) à l’intérieur des racines.

Je calcule x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par (-5), (-10), 200.

x_1=\frac{-(-10)-\sqrt{200}}{2\times{(-5)}}\\x_1=\frac{10-10\sqrt{2}}{-10}\\x_1=-\frac{10-10\sqrt{2}}{10}\\x_1=-(1-\sqrt{2})\\x_1=-1+\sqrt{2}

Je calcule x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par (-5), (-10), 200

x_2=\frac{-(-10)+\sqrt{200}}{2\times{(-5)}}\\x_2=\frac{10+10\sqrt{2}}{-10}\\x_2=-\frac{10+10\sqrt{2}}{10}\\x_2=-(1+\sqrt{2})\\x_2=-1-\sqrt{2}

Je dresse le tableau de signes du polynôme:

Comme a=-5 le signe de a est négatif.

Sur l’intervalle [-5;-1-\sqrt{2}]\cup [-1+\sqrt{2};2] , f'(x) est négative donc  f est décroissante.

Sur l’intervalle [-1-\sqrt{2};-1+\sqrt{2}] , f'(x) est positive donc  f est croissante.

 

 

On veut déterminer l’équation de  \Delta la tangente à C_f au point d’abscisse 0.
1.on calcule f(0) en remplaçant tous les x par 0 dans f(x)=(-5x^2+5)e^x.

f(0)=(-5\times 0^2+5)e^0

f(0)=(0+5)\times 1

f(0)=5

2.on calcule f'(0) en remplaçant tous les x par 0 dans f(x)=(-5x^2-10x+5)e^x.

f'(0)=(-5\times 0^2-10\times 0+5)e^0

f'(0)=(0+5)\times 1

f'(0)=5

3.on détermine l’équation de  \Delta en remplaçant  a par 0, f(a) par 5 et f'(a) par 5 dans

y=f'(a)(x-a)+f(a).

y=5(x-0)+5

y=5x+5

 

L’équation de la tangente est y=5x+5.

L’ordonnée à l’origine vaut 5. On fait une croix sur l’axe des ordonnées à la graduation 5.

Le coefficient directeur vaut 5 aussi. A partir du point précédent, j’avance de une graduation vers la droite et je monte verticalement de 5 graduations. Je fais alors une deuxième croix. Je trace ensuite la droite qui passe par les deux croix.

f'(x)= (-5x^2-10x+5)e^{x}.

1.On veut calculer f"(x).

On répond à la question suivante : est-ce une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est le produit de deux fonctions u\times v avec  u(x)=-5x^2-10x+5 et v(x)=e^x.

On va utiliser la ligne n°3 du tableau n°1 ci-dessous.

Dérivées et opérations

f(x) est 

f'(x) se calcule ainsi :

une somme u+v

u’+v’

le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku

k\times u’

un produit de deux fonctions u\times v

u’\times v+u\times v’

l’inverse d’une fonction \frac{1}{u}

-\frac{u’}{u^2}

un quotient \frac{u}{v}

\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}

2a.on veut calculer la dérivée  u'(x)

u(x)=-5x^2-10x+5 est une somme

u'(x)=(-5x^2-10x+5)’

u'(x)=(-5x^2)’-(10x)’+(5)’

u'(x)=-5\times(x^2)’-10(x)’+0

u'(x)=-5\times 2x-10\times 1

u'(x)=-10x-10

2b.on veut calculer la dérivée  v'(x)

v(x)=e^{x}

C’est une fonction de référence.

v'(x)=(e^{x})’

v'(x)=e^{x}

3. On calcule la dérivée f"(x) 

On remplace u par  -5x^2-10x+5v par e^{x}, u’ par  -10x-10 et v’ par e^x dans la formule u’\times v+u\times v’ 

f"(x)=(-5x^2-10x+5)’e^{x}+(-5x^2-10x+5)(e^{x})’\\f"(x)=(-10x-10)\times e^{x}+(-5x^2-10x+5)\times e^{x}

On met e^{x} en facteur.

f"(x)= e^{x}(-10x-10-5x^2-10x+5)\\f"(x)= e^{x}(-5x^2-20x-5)

On veut étudier le signe de f"(x)=(-5x^2-20x-5)e^x.

Comme e^x est toujours positif, f"(x) est du signe de -5x^2-20x-5.

On étudie donc le signe de -5x^2-20x-5.

On utilise la troisième ligne du tableau ci-dessous : la quantité est de la forme ax^2+bx+c.

  1. de nombres positifs alors la quantité est positive.
  2. de nombres négatifs alors la quantité est négative.
  3. de nombres de signes contraires ou indéterminés alors on ne peut pas conclure

On peut factoriser et étudier le signe d’un produit

On peut résoudre la quantité >0 

On utilise le tableau suivant :

On utilise le résultat du cours suivant :

si \Delta>0

si \Delta=0

si \Delta<0

La quantité est toujours positive.

Exemples : les quantités x^2 , (2x+5)^4 sont toujours positives

La quantité est du signe de ce qui est élevé à la puissance.

Exemple : la quantité x^3 est du signe de x, la quantité (2x-1)^5 est du signe de 2x-1.

On fait un tableau de signes comme en seconde : on étudie le signe de chaque facteur et on applique la règle des signes.

On fait un tableau de signes comme en seconde : on étudie le signe du numérateur, le signe du dénominateur et on applique la règle des signes.

On calcule la dérivée, on étudie son signe et on fait le tableau de variations. Ensuite, sur la dernière ligne du tableau de variations, on lit le signe de la quantité.  

J’identifie les coefficients du polynôme. a=-5, b=-20 et c=-5.

Je calcule \Delta=b²-4ac  en remplaçant a,b,c  par (-5),(-20) ,(-5)  .

\Delta=(-20)²-4\times{(-5)}\times{(-5)}\\\Delta=400-100\\\Delta=300

Comme \Delta>0 , l’équation admet deux solutions réelles notées

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.

ax²+bx+c est  du signe de a à l’extérieur des racines et du signe de (-a) à l’intérieur des racines.

Je calcule x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par (-5), (-20), 300.

x_1=\frac{-(-20)-\sqrt{300}}{2\times{(-5)}}\\x_1=\frac{20-10\sqrt{3}}{-10}\\x_1=-\frac{20-10\sqrt{3}}{10}\\x_1=-(2-\sqrt{3})\\x_1=-2+\sqrt{3}

Je calcule x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par (-5), (-20), 300

x_2=\frac{-(-20)+\sqrt{300}}{2\times{(-5)}}\\x_2=\frac{20+10\sqrt{3}}{-10}\\x_2=-\frac{20+10\sqrt{3}}{10}\\x_2=-(2+\sqrt{3})\\x_2=-2-\sqrt{3}

Je dresse le tableau de signes du polynôme:

Comme a=-5 le signe de a est négatif.

Sur l’intervalle [-5;-2-\sqrt{3}]\cup [-2+\sqrt{3};2] , f"(x) est négative donc  f est concave.

Sur l’intervalle [-2-\sqrt{3};-2+\sqrt{3}] , f"(x) est positive donc  f est convexe.

 

 

Lorsque la fonction « satisfaction » atteint la valeur 100, on dit qu’il y a « saturation ».

On voit sur le graphique que l’antécédent de 100 est 3.

Au bout de 3 heures, il y aura saturation.

 

 

On définit aussi la fonction « envie » comme la fonction dérivée de la fonction « satisfaction ». On dira
qu’il y a « souhait » lorsque la fonction « envie » est positive ou nulle et qu’il y a « rejet » lorsque la
fonction « envie » est strictement négative.

Il y a rejet si la fonction envie est négative, c’est-à dire que f'(x) est négative ou encore que la fonction f est décroissante.

On voit sur le graphique que la courbe de la fonction f descend sur l’intervalle [3;6].

Après 3 heures de travail, il y aura rejet.

 

 

 Démontrer que, pour tout x de l’intervalle [0;30]g'(x)=(12.5-1.5625x)e^{-0.125x+1}.

On considère la fonction g définie et dérivable sur [0;30] par g(x)=12.5xe^{-0.125x+1}

1.On veut calculer g'(x).

On répond à la question suivante : est-ce une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est le produit de deux fonctions u\times v avec  u(x)=12.5x et v(x)=e^{-0.125x+1}.

On va utiliser la ligne n°3 du tableau n°1 ci-dessous.

Dérivées et opérations

f(x) est 

f'(x) se calcule ainsi :

une somme u+v

u’+v’

le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku

k\times u’

un produit de deux fonctions u\times v

u’\times v+u\times v’

l’inverse d’une fonction \frac{1}{u}

-\frac{u’}{u^2}

un quotient \frac{u}{v}

\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}

2a.on veut calculer la dérivée  u'(x)

u(x)=12.5x 

u'(x)=(12.5x)’

u'(x)=12.5(x)’

u'(x)=12.5\times 1

u'(x)=12.5

2b.on veut calculer la dérivée  v'(x)

v(x)=e^{-0.125x+1}

C’est de la forme  e^{u} avec   u(x)=-0.125x+1.

On utilise la propriété suivante :

La fonction e^u:x\rightarrow e^{u(x)} est dérivable sur I et pour tout réel x de I , (e^u)'(x)= u'(x) \times {e^{u(x)}} 

v'(x)=(-0.125x+1)’e^{-0.125x+1}

v'(x)=(-0.125(x)’+(1)’)e^{-0.125x+1}

v'(x)=(-0.125\times{1}+0) e^{-0.125x+1}

v'(x)=-0.125e^{-0.125x+1}

3. On calcule la dérivée g'(x) 

On remplace u par  12.5xv par e^{-0.125x+1}, u’ par  12.5 et v’ par -0.125e^{-0.125x+1} dans la formule

u’\times v+u\times v’ 

g'(x)=(12.5x)’e^{-0.125x+1}+(12.5x)(e^{-0.125x+1})’\\g'(x)=12.5\times e^{-0.125x+1}+(12.5x)\times(-0.125e^{-0.125x+1})\\g'(x)=12.5\times e^{-0.125x+1}-1.5625xe^{-0.125x+1}

On met e^{-0.125x+1} en facteur.

g'(x)= (12.5-1.5625x)e^{-0.125x+1}

 

 

On a vu que pourx dans l’intervalle [0;30]g'(x)=(12.5-1.5625x)e^{-0.125x+1}.

C’est un produit.e^{-0.125x+1} est positif, donc g'(x) est du signe 12.5-1.5625x

Etudions le signe de 12.5-1.5625x. Cliquons sur La quantité est de la forme ax+b.

  1. de nombres positifs alors la quantité est positive.
  2. de nombres négatifs alors la quantité est négative.
  3. de nombres de signes contraires ou indéterminés alors on ne peut pas conclure

On peut factoriser et étudier le signe d’un produit

On peut résoudre la quantité >0 

On utilise le tableau suivant :

On utilise le résultat du cours suivant :

si \Delta>0

si \Delta=0

si \Delta<0

La quantité est toujours positive.

Exemples : les quantités x^2 , (2x+5)^4 sont toujours positives

La quantité est du signe de ce qui est élevé à la puissance.

Exemple : la quantité x^3 est du signe de x, la quantité (2x-1)^5 est du signe de 2x-1.

On fait un tableau de signes comme en seconde : on étudie le signe de chaque facteur et on applique la règle des signes.

On fait un tableau de signes comme en seconde : on étudie le signe du numérateur, le signe du dénominateur et on applique la règle des signes.

On calcule la dérivée, on étudie son signe et on fait le tableau de variations. Ensuite, sur la dernière ligne du tableau de variations, on lit le signe de la quantité.  

On a a=-1.5625 , b=12.5 , -\frac{b}{a}=-\frac{12.5}{(-1.5625)}=8. De plus le signe de a est négatif. Voici donc le tableau de signes de 12.5-1.5625x.

On utilise la TI 83 Premium pour déterminer les images de 0 ,   8  et  100.

On en déduit le tableau de variations suivant de g sur [0;30] :

 

 

 

D’après le tableau de variations, l’effet « saturation » apparaît au bout d’un séjour de 8 jours.

D’après l’énoncé, le logiciel de calcul formel donne :

h"(x)=\frac{5.625e^{-0.25x+6}(e^{-0.25x+6}-1)}{(1+e^{-0.25x+6})^3}.

Résoudre dans l’intervalle [10;50] l’inéquation e^{-0.25x+6}-1>0

Pour cela il faut se ramener à une inégalité du type e^{a}>e^b. On ajoute 1 de chaque côté.

e^{-0.25x+6}>1

On remplace 1 par e^0.

e^{-0.25x+6}>e^0

Puis utiliser le fait que la fonction exponentielle esr croissante ce qui signifie que les nombres et les images varient dans le même sens :  e^{a}>e^b \iff a>b.

e^{-0.25x+6}>e^0est de la forme e^{a}>e^b avec a=-0.25x+6 et b=0.

On va résoudre a>b.

-0.25x+6>0 est une inéquation du premier degré. On remet à leur place les membres qui ne sont pas à leur place.

-0.25x+6>0

-0.25x>-6

On divise par -0.25 de chaque côté. Comme -0.25 est négatif, le sens de l’inégalité change.

x<\frac{-6}{-0.25}

x<24

Donc l’intervalle solution est [0;24].

 

 

Pour étudier la convexité de h, il faut étudier le signe de h"(x).

h"(x)=\frac{5.625e^{-0.25x+6}(e^{-0.25x+6}-1)}{(1+e^{-0.25x+6})^3} est du signe de e^{-0.25x+6}-1 car 5.625e^{-0.25x+6} et (1+e^{-0.25x+6})^3 sont positifs.

On a vu dans la question précédente que e^{-0.25x+6}-1 est positif sur l’intervalle [10;24].

Donc sur [10;24], h est convexe et sur [24;50], h est concave.

La fonction « envie » est décroissante quand h’ est décroissante donc quand h" est négative.

On a vu précédemment que h" est négative sur [24;50].

x=24 correspond à un salaire annuel de 24 milliers d’euros.

La fonction envie est décroissante après avoir atteint un salaire annuel de 24000 euros.

 

Il faut résoudre h(x)=80\\\frac{90}{1+e^{-0.25x+6}}=80\\90=80\times{(1+e^{-0.25x+6})} \\80\times{(1+e^{-0.25x+6})}=90 \\1+e^{-0.25x+6}=\frac{90}{80} \\e^{-0.25x+6}=\frac{9}{8}-1 \\e^{-0.25x+6}=\frac{1}{8}

Il faut se ramener à une équation du type e^{a}=e^b. Pour cela on remplace \frac{1}{8} par e^{ln(\frac{1}{8})} .

e^{-0.25x+6}=e^{ln(\frac{1}{8})}

On utilise la propriété : e^{a}=e^b \iff a=b.

-0.25x+6=ln(\frac{1}{8})

On utilise la propriété ln(\frac{1}{a}=-ln(a).

-0.25x+6=-ln(8)

-0.25x=-ln(8)-6

x=\frac{-ln(8)-6}{(-0.25)}

x=\frac{ln(8)+6}{0.25}

x\approx 32.3

Donc la fonction « satisfaction » atteint 80 pour un salaire annuel d’environ 32000 euros.

 

 

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.