T. Exercices de bac 2021 sur les fonctions(1)

Sommaire

Exercice n°1 : 15 mars 2021 Sujet 1

Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0;+\infty[ par : f(x)=\frac{e^x}{x}
On note C_f la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé.
Avant de commencer l’exercice, il est bon de programmer sa TI 83 Premium CE.

Au cours de l’exercice, on peut aussi utiliser la fenêtre active Géogébra ci-dessous pour conjecturer ou valider. Elle est composée de trois colonnes : la colonne à gauche est la colonne Algèbre, celle de milieu permet de faire du calcul formel ( calcul de dérivée, développer, factoriser, résoudre,…) et celle de droite correspond au graphique.

1. a. Préciser la limite de la fonction f en +\infty.

b. Justifier que l’axe des ordonnées est asymptote à la courbe C_f.

2. Montrer que, pour tout nombre réel x de l’intervalle ]0;+\infty[, on a : f'(x)=\frac{e^x(x-1)}{x^2}
f’désigne la fonction dérivée de la fonction f.

3. Déterminer les variations de la fonction f sur l’intervalle ]0;+\infty[.
On établira un tableau de variations de la fonction f dans lequel apparaîtront les limites

4. Soit m un nombre réel. Préciser, en fonction des valeurs du nombre réel m, le nombre de solutions de l’équation f(x)=m.

5. On note \Delta la droite d’équation y=-x.
On note A un éventuel point de C_f d’abscisse a en lequel la tangente à la courbe C_f est parallèle à la droite \Delta.
a. Montrer que a est solution de l’équation e^x(x-1)+x^2=0.

On note g la fonction définie sur [0;+\infty[par g(x)=e^x(x-1)+x^2
On admet que la fonction g est dérivable et on note g’ sa fonction dérivée

b. Calculer g'(x) pour tout nombre réel x de l’intervalle [0;+\infty[, puis dresser le tableau de variations de g sur [0;+\infty[.

c. Montrer qu’il existe un unique point A en lequel la tangente à C_f est parallèle à la droite \Delta.

Exercice n°2 : Session 15 mars 2021 Sujet 2

Partie I : Étude d’une fonction auxiliaire
Soit g la fonction définie sur l’intervalle ]0;+\infty[ par : g(x)=ln(x)+2x-2
Avant de commencer l’exercice, il est bon de programmer sa TI 83 Premium CE.

Au cours de l’exercice, on peut aussi utiliser la fenêtre active Géogébra ci-dessous pour conjecturer ou valider. Elle est composée de trois colonnes : la colonne à gauche est la colonne Algèbre, celle de milieu permet de faire du calcul formel ( calcul de dérivée, développer, factoriser, résoudre,…) et celle de droite correspond au graphique. A vous de saisir les fonctions dans la colonne de gauche.

1. Déterminer les limites de g en +\infty et 0.

2. Déterminer le sens de variation de la fonction g sur l’intervalle ]0;+\infty[.

3. Démontrer que l’équation g(x)=0 admet une unique solution \alpha sur l’intervalle ]0;+\infty[ (on dressera d’abord le tableau de variations de g sur ]0;+\infty[).

4. Calculer g(1) puis déterminer le signe de g sur ]0;+\infty[.

Partie II : Étude d’une fonction f
On considère la fonction f la fonction définie sur l’intervalle ]0;+\infty[ par : f(x)=(2-\frac{1}{x})(ln(x)-1).

1. a. On admet que la fonction f est dérivable sur l’intervalle ]0;+\infty[ et on note f’ sa dérivée.
Démontrer que, pour tout x de  l’intervalle ]0;+\infty[, on a :

f'(x)=\frac{g(x)}{x^2}.

b. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l’intervalle ]0;+\infty[. Le calcul des limites n’est pas demandé.

2. Résoudre l’équation f(x)=0 sur l’intervalle ]0;+\infty[ puis dresser le tableau de signes de f sur l’intervalle ]0;+\infty[.

Partie III : Étude d’une fonction F admettant pour dérivée la fonction f
On admet qu’il existe une fonction F dérivable sur ]0;+\infty[ dont la dérivée F’est égale à la fonction f.
Ainsi, on a : F’=f.
On note C_F la courbe représentative de la fonction F dans un repère orthonormé . On
ne cherchera pas à déterminer une expression de F(x).
1. Étudier les variations de F sur  ]0;+\infty[.

2. La courbe C_F représentative de F admet-elle des tangentes parallèles à l’axe des abscisses ?
Justifier la réponse.

Exercice n°3 : Amérique du Nord mai 2021

Dans le plan muni d’un repère, on considère ci-dessous la courbe C_f représentative d’une
fonction f , deux fois dérivable sur l’intervalle ]0;+\infty[.
La courbe C_f admet une tangente horizontale T au point A(1;4).

1. Préciser les valeurs f(1) et f'(1).

On admet que la fonction f est définie pour tout réel x de l’intervalle ]0;+\infty[ par :

f(x)=\frac{a+bln(x)}{x}

a et b sont deux nombres réels.

2. Démontrer que, pour tout réel x strictement positif, on a :

f'(x)=\frac{b-a-bln(x)}{x^2}

3. En déduire les valeurs des réels a et b.

Dans la suite de l’exercice, on admet que la fonction f est définie sur l’intervalle ]0;+\infty[ par : f(x)=\frac{4+4ln(x)}{x}

Avant de poursuivre l’exercice, il est bon de programmer sa TI 83 Premium CE.

4. Déterminer les limites de la fonction f en 0^{+} et en  +\infty.

5. Déterminer le tableau de variations de f sur l’intervalle ]0;+\infty[.

6. Démontrer que, pour tout réel x strictement positif, on a :

f"(x)=\frac{-4+8ln(x)}{x^3}.

7. Montrer que la courbe C_f possède un unique point d’inflexion B dont on précisera les coordonnées.

Exercice n°4 : Baccalauréat Polynésie 2 juin 2021 exercice A

Cet exercice est composé de trois parties indépendantes.
On a représenté ci-dessous, dans un repère orthonormé, une portion de la courbe représentative C_f d’une fonction  f définie sur \mathbf{R} :

Dans le plan muni d’un repère, on considère ci-dessous la courbe C_f représentative d’une
fonction f , deux fois dérivable sur l’intervalle ]0;+\infty[.
La courbe C_f admet une tangente horizontale T au point A(1;4).

On considère les points A(0;2) et B(2;0).


Partie 1


Sachant que la courbe C_f passe par A et que la droite (AB) est la tangente à la courbe C_f au point A, donner par lecture graphique :
1. La valeur de f(0) et celle de f'(0).

2. Un intervalle sur lequel la fonction f semble convexe.

Partie 2

On note (E) l’équation différentielle y’=-y+e^{-x}.
On admet que g: x\to xe^{-x} est une solution particulière de (E).
1. Donner toutes les solutions sur \mathbf{R} de l’équation différentielle (H):y’=-y

2. En déduire toute les solutions sur \mathbf{R} de l’équation différentielle (E).

3. Sachant que la fonction f est la solution particulière de (E)qui vérifie f(0)=2, déterminer une expression de f(x) en fonction de x.

Partie 3

On admet que pour tout nombre réel x , f(x)=(x+2)e^{-x}.
Avant de commencer l’exercice, il est bon de programmer sa TI 83 Premium CE.A REFAIRE

1. On rappelle que f’ désigne la fonction dérivée de la fonction f.
a. Montrer que pour tout nombre réel x , f'(x)=(-x-1)e^{-x}.

b. Étudier le signe de f'(x) sur \mathbf{R} et dresser le tableau des variations de f sur \mathbf{R}.
On ne précisera ni la limite de f en -\infty ni la limite de f en +\infty.
On calculera la valeur exacte de l’extremum de f sur \mathbf{R}.

2. On rappelle que f" désigne la fonction dérivée seconde de la fonction f.
a. Calculer f"(x)pour tout x \in \mathbf{R}.

b. Peut-on affirmer que f est convexe sur l’intervalle [0;+\infty[?

Exercice n°5 : Baccalauréat Polynésie 2 juin 2021 exercice B

Cet exercice est composé de deux parties.
Certains résultats de la première partie seront utilisés dans la deuxième.
Partie 1 : Étude d’une fonction auxiliaire
Soit la fonction f définie sur l’intervalle [1;4] par :
f(x)=-30x+50+35ln(x)

Avant de commencer l’exercice, il est bon de programmer sa TI 83 Premium CE.

Au cours de l’exercice, on peut aussi utiliser la fenêtre active Géogébra ci-dessous pour conjecturer ou valider. Elle est composée de trois colonnes : la colonne à gauche est la colonne Algèbre, celle de milieu permet de faire du calcul formel ( calcul de dérivée, développer, factoriser, résoudre,…) et celle de droite correspond au graphique. A vous de saisir les fonctions dans la colonne de gauche.

1. On rappelle que f’ désigne la fonction dérivée de la fonction f.
a. Pour tout nombre réel x de l’intervalle [1;4], montrer que :
f'(x)=\frac{35-30x}{x}.

b. Déterminer le signe de f'(x) sur l’intervalle [1;4].

c. En déduire le tableau de variations de f sur l’intervalle [1;4].

2. Justifier que l’équation f(x)=0 admet une unique solution, notée \alpha, sur l’intervalle [1;4] puis donner une valeur approchée de \alpha à 10^{-3} près.

3. Dresser le tableau de signe de f(x) sur [1;4].

Partie 2 : Optimisation

Une entreprise vend du jus de fruits. Pour x milliers de litres vendus, avec x appartenant à l’intervalle [1;4], l’analyse des ventes conduit à modéliser le bénéfice B(x) par l’expression donnée en milliers d’euros par :
B(x)=-15x^2+15x+35xln(x)

Avant de commencer l’exercice, il est bon de programmer sa TI 83 Premium CE.A

1. D’après le modèle, calculer le bénéfice réalisé par l’entreprise lorsqu’elle vend 2500 litres de jus de fruits.
On donnera une valeur approchée à l’euro près de ce bénéfice.

2. Pour tout x de l’intervalle [1;4], montrer que B'(x)=f(x)B’ désigne la fonction dérivée de B.

3. a. À l’aide des résultats de la partie 1, donner les variations de la fonction B sur l’intervalle [1;4].

b. En déduire la quantité de jus de fruits, au litre près, que l’entreprise doit vendre afin de réaliser un bénéfice maximal.

Au clavier

A l’écran

Taper sur la touche f(x) en haut à gauche du clavier de la calculatrice.

En général le mode fonction est activé par défaut.

Si ce n’est pas le cas, taper sur la touche mode et sélectionner FONCTION sur la 5ème ligne. Puis quitter avec 2nde mode

On programme la fonction en complétant la ligne Y1= . Pour saisir x taper au clavier sur la touche X,T,O,n.

Pour afficher la table de valeurs, taper sur la touche 2nde et sur la touche graphe, le tableur apparaît. On peut modifier les paramètres du tableur, pour cela faire 2nde puis fenêtre et effectuer les modifications souhaitées, par exemple Début Tbl=0, Tbl=0.5,  AUTO et AUTO.

Remarque : on voit bien que 0 n’a pas d’image.

Compte-tenu du tableau obtenu précédemment, on modifie l’affichage du graphique en tapant sur la touche fenêtre et en modifiant les valeurs déjà présentes.

Voici par exemple, un paramétrage possible.

Taper sur la touche graphe, la représentation graphique de la fonction apparaît.

On veut calculer lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{e^x}{x}.

Regardons d’abord avec le tableur et la courbe de la calculatrice, vers quelle valeur se rapprochent les f(x) quand les x deviennent très grands.

Il semble que les  f(x) se rapprochent de +\infty.

La fonction est le quotient de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est un quotient, f/g.

\lim f=lll+\infty-\infty+\infty
\lim g=l’+\infty-\infty+\infty-\infty-\infty
\lim f+g=l+l’+\infty-\infty+\infty-\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.

\lim f=ll\ne0\infty0
\lim g=l’\infty\infty\infty
\lim fg=l\times l’\infty\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim f=ll\ne0l\infty\infty0
\lim g=l’\ne00\inftyl\infty0
\lim\frac{f}{g}=\frac{l}{l’}\infty0\inftyForme indéterminéeForme indéterminée

Remarque

quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c

lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}e^x=+\infty.

lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}x=+\infty 

Le théorème sur le quotient ne permet pas de conclure pour lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{e^x}{x} car on tombe sur une forme indéterminée.

Si on connaît son cours, on sait qu’on peut utiliser un résultat sur les croissances comparées et que dans le cours on a admis que :

lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{e^x}{x}=+\infty.

Donc lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}f(x)=+\infty

 

Pour justifier que l’axe des ordonnées est asymptote à la courbe C_f, il faut montrer que

lim_{x\to 0}\hspace{0.2cm}f(x)=+ou-\infty.

Regardons d’abord avec le tableur et la courbe de la calculatrice, vers quelle valeur se rapprochent les f(x) quand les x se rapprochent de 0.

En lisant le tableur du bas vers le haut, il semble que les  f(x) se rapprochent de +\infty quand les  x se rapprochent de 0.

La fonction est le quotient de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est un quotient, f/g.

\lim f=lll+\infty-\infty+\infty
\lim g=l’+\infty-\infty+\infty-\infty-\infty
\lim f+g=l+l’+\infty-\infty+\infty-\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.

\lim f=ll\ne0\infty0
\lim g=l’\infty\infty\infty
\lim fg=l\times l’\infty\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim f=ll\ne0l\infty\infty0
\lim g=l’\ne00\inftyl\infty0
\lim\frac{f}{g}=\frac{l}{l’}\infty0\inftyForme indéterminéeForme indéterminée

Remarque

quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c

lim_{x\to{0}}\hspace{0.2cm}e^x=1.

lim_{x\to{0^+}}\hspace{0.2cm}x=0^+

D’après le théorème sur le quotient,  lim_{x\to 0^+}\hspace{0.2cm}\frac{e^x}{x}=+\infty

Donc l’axe des ordonnées est asymptote à la courbe C_f.

 

On veut montrer que f'(x)=\frac{e^x(x-1)}{x^2}

Ici le résultat du calcul de la dérivée est donné dans la question. Si cela n’avait pas été le cas, on peut conjecturer le résultat à l’aide de la fenêtre Géogébra donnée au début de l’exo. Pour cela saisir f(x)= \frac{e^x}{x} dans la colonne Calcul Formel ( celle du milieu) et cliquer sur l’onglet f’. La forme est bizarre mais comme ln(e)=1 ce sera la même que celle qu’obtient à la fin de la correction.

f(x)= \frac{e^x}{x} pour x\in ]0;+\infty[ .

1.On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est le quotient de 2 fonctions \frac{u}{ v} avec  u(x)=e^x et v(x)=x

On va utiliser la ligne n°5 du tableau n°1 ci-dessous.

Dérivées et opérations

f(x) est 

f'(x) se calcule ainsi :

une somme u+v

u’+v’

le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku

k\times u’

un produit de deux fonctions u\times v

u’\times v+u\times v’

l’inverse d’une fonction \frac{1}{u}

-\frac{u’}{u^2}

un quotient \frac{u}{v}

\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}

Dérivées et fonctions composées

FonctionDérivée
v\circ u (v’\circ u)\times u’
u^2 2u’u
u^3 3u’u^2
u^n nu’u^{n-1}
\frac{1}{u} -\frac{u’}{u^2}
\sqrt{u} \frac{u’}{2\sqrt{u}}
cos(u) -u’sin(u)
sin(u) u’cos(u)
e^{u} u’e^{u}
ln(u) \frac{u’}{u}
\frac{1}{u^{n}} -\frac{nu’}{u^{n+1}}

2.a.on veut calculer la dérivée  u'(x)

u(x)=e^x c’est une fonction de référence, on utilise la ligne n°8 du tableau Dérivées des fonctions de référence

u'(x)=(e^x)’

u'(x)=e^x

2.b.on veut calculer la dérivée  v'(x)

v(x)=x c’est une fonction de référence, on utilise la ligne n°2 du tableau Dérivées des fonctions de référence

v'(x)=(x)’

v'(x)=1

Dérivées des fonctions de référence

 
Fonctionf(x)Dérivable sur f'(x)
constantef(x)=k\mathbf{R}f'(x)=0
identitéf(x)=x\mathbf{R}f'(x)=1
carréf(x)=x^2\mathbf{R}f'(x)=2x
cubef(x)=x^3\mathbf{R}f'(x)=3x^2
puissance nf(x)=x^n\mathbf{R}f'(x)=nx^{n-1}
inversef(x)=\frac{1}{x}\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[f'(x)=-\frac{1}{x^2}
racine carréef(x)=\sqrt{x}]0;+\infty[ f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
exponentiellef(x)=e^x\mathbf{R}f'(x)=e^x
sinusf(x)=sin(x)\mathbf{R}f'(x)=cos(x)
cosinusf(x)=cos(x)\mathbf{R}f'(x)=-sin(x)
logarithme népérienf(x)=ln(x)]0;+\infty[ f'(x)=\frac{1}{x}

3. On calcule la dérivée f'(x) 

On remplace u(x) par  e^x, v(x) par  xu'(x) par e^x et v'(x) par  1 dans la formule \frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)= (\frac{e^x}{x})’\\f'(x)= \frac{(e^x)’\times x-e^x\times (x)’}{x^2}\\f'(x)= \frac{e^x\times x-e^x\times 1}{x^2}\\f'(x)= \frac{e^xx-e^x}{x^2}

On met e^x en facteur

f'(x)= \frac{e^x(x-1)}{x^2}

 

 

On veut déterminer les variations de la fonction f sur l’intervalle ]0;+\infty[.
On établira un tableau de variations de la fonction f dans lequel apparaîtront les limites.

Utilisons la courbe de la calculatrice pour conjecturer les variations de f.

Il semble que la fonction f soit décroissante entre 0 et 1 et croissante ensuite.

Il faut étudier le signe de f'(x)=\frac{e^x(x-1)}{x^2}.

Comme e^x et x^2 sont toujours positifs, f'(x) est du signe de x-1.

On utilise la deuxième ligne du tableau ci-dessous, cliquer sur + la quantité est de la forme ax+b.

  1. de nombres positifs alors la quantité est positive.
  2. de nombres négatifs alors la quantité est négative.
  3. de nombres de signes contraires ou indéterminés alors on ne peut pas conclure

On peut factoriser et étudier le signe d’un produit

On peut résoudre la quantité >0 

On utilise le tableau suivant :

On utilise le résultat du cours suivant :

si \Delta>0

si \Delta=0

si \Delta<0

La quantité est toujours positive.

Exemples : les quantités x^2 , (2x+5)^4 sont toujours positives

La quantité est du signe de ce qui est élevé à la puissance.

Exemple : la quantité x^3 est du signe de x, la quantité (2x-1)^5 est du signe de 2x-1.

On fait un tableau de signes comme en seconde.

On étudie le signe du numérateur et le signe du dénominateur. Si nécessaire, ensuite on fait un tableau de signes comme en seconde.

On calcule la dérivée, on étudie son signe et on fait le tableau de variations. Ensuite, sur la dernière ligne du tableau de variations, on lit le signe de la quantité.  

On a a=1, b=-1, -\frac{b}{a}=-\frac{-1}{1}=1 et le signe de a est positif.

Voici le tableau de signes de  x-1 sur ]0;+\infty[

Puis on dresse le tableau de variations de f sur ]0;+\infty[

 

 

On peut conjecturer par lecture de la courbe :

On peut lire le tableau de variations de f :

Si  m<e, alors l’équation f(x)=m n’admet aucune solution.

Si  m=e, alors l’équation f(x)=m admet une solution : 1.

Si  m>e, alors l’équation f(x)=m admet exactement deux solutions.

 

Le coefficient directeur de \Delta : y=-x est -1.
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe C_f au point d’abscisse a vaut f'(a).

La tangente et la droite \Delta sont parallèles donc elles ont même coefficient directeur : f'(a)=-1.

On peut dire aussi dire que a est solution de f'(x)=-1
On remplace f'(x) par \frac{e^x(x-1)}{x^2} dans f'(x)=-1.

a est solution de \frac{e^x(x-1)}{x^2}=-1

On multiplie par x^2 de chaque côté.

a est solution de e^x(x-1)=-x^2

On ajoute x^2 de chaque côté.

a est solution de e^x(x-1)+x^2=0.

Partie 1 : calcul de g'(x)

On peut conjecturer le résultat à l’aide de la fenêtre Géogébra donnée au début de l’exo. Pour cela saisir g(x)=e^x(x-1)+x^2 dans la colonne Calcul Formel ( celle du milieu) et cliquer sur l’onglet f’. La forme est bizarre mais comme ln(e)=1 ce sera la même que celle qu’obtient à la fin de la correction.

g(x)= e^x(x-1)+x^2 pour x\in ]0;+\infty[ .

1.On veut calculer g'(x).

On répond à la question suivante : g(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est la somme de deux fonctions u+v avec  u(x)=e^x(x-1) et v(x)=x^2.

On va utiliser la ligne n°1 du tableau n°1 ci-dessous.

Dérivées et opérations

f(x) est 

f'(x) se calcule ainsi :

une somme u+v

u’+v’

le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku

k\times u’

un produit de deux fonctions u\times v

u’\times v+u\times v’

l’inverse d’une fonction \frac{1}{u}

-\frac{u’}{u^2}

un quotient \frac{u}{v}

\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}

Dérivées et fonctions composées

FonctionDérivée
v\circ u (v’\circ u)\times u’
u^2 2u’u
u^3 3u’u^2
u^n nu’u^{n-1}
\frac{1}{u} -\frac{u’}{u^2}
\sqrt{u} \frac{u’}{2\sqrt{u}}
cos(u) -u’sin(u)
sin(u) u’cos(u)
e^{u} u’e^{u}
ln(u) \frac{u’}{u}
\frac{1}{u^{n}} -\frac{nu’}{u^{n+1}}

2a.on veut calculer la dérivée  u'(x)

u(x)=e^x(x-1) est un  produit, on utilise la 3ième ligne du tableau « Dérivées et opérations »

u'(x)=(e^x)'(x-1)+e^x(x-1)’

u'(x)=e^x(x-1)+e^x\times 1

u'(x)=xe^x-e^x+e^x

u'(x)=xe^x

2b.on veut calculer la dérivée  v'(x)

v(x)=x^2 est une  fonction de référence, on utilise la 3ième ligne du tableau « Dérivées des fonctions de référence »

v'(x)=(x^2)’

v'(x)=2x

Dérivées des fonctions de référence

 
Fonctionf(x)Dérivable sur f'(x)
constantef(x)=k\mathbf{R}f'(x)=0
identitéf(x)=x\mathbf{R}f'(x)=1
carréf(x)=x^2\mathbf{R}f'(x)=2x
cubef(x)=x^3\mathbf{R}f'(x)=3x^2
puissance nf(x)=x^n\mathbf{R}f'(x)=nx^{n-1}
inversef(x)=\frac{1}{x}\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[f'(x)=-\frac{1}{x^2}
racine carréef(x)=\sqrt{x}]0;+\infty[ f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
exponentiellef(x)=e^x\mathbf{R}f'(x)=e^x
sinusf(x)=sin(x)\mathbf{R}f'(x)=cos(x)
cosinusf(x)=cos(x)\mathbf{R}f'(x)=-sin(x)
logarithme népérienf(x)=ln(x)]0;+\infty[ f'(x)=\frac{1}{x}

3. On calcule la dérivée g'(x) 

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

g'(x)= (e^x(x-1)+x^2)’\\g'(x)= (e^x(x-1))’+(x^2)’\\g'(x)= (e^x)'(x-1)+e^x(x-1)’+2x\\g'(x)=e^x(x-1)+e^x\times 1+2x\\g'(x)=xe^x-e^x+e^x+2x\\g'(x)=xe^x+2x

Partie 2 : étude du signe de g'(x)

Comme x \in ]0;+\infty[, x est positif. Par définition, e^x et x^2 sont positifs. Donc g'(x) est positif.

Partie 3 : tableau de variations de g

Comme g'(x) est positif, la fonction g est croissante sur ]0;+\infty[.

lim_{x\to 0}\hspace{0.3cm}e^x=1

et lim_{x\to 0}\hspace{0.3cm}(x-1)=-1

Donc, par produit, lim_{x\to 0}\hspace{0.3cm}e^x(x-1)=-1

lim_{x\to 0}\hspace{0.3cm}x^2=0

Donc pas somme, lim_{x\to 0}\hspace{0.3cm}e^x(x-1)+x^2=-1.

lim_{x\to +\infty}\hspace{0.3cm}e^x=+\infty

et lim_{x\to +\infty}\hspace{0.3cm}(x-1)=+\infty

Donc, par produit, lim_{x\to +\infty}\hspace{0.3cm}e^x(x-1)=+\infty

lim_{x\to +\infty}\hspace{0.3cm}x^2=+\infty

Donc pas somme, lim_{x\to +\infty}\hspace{0.3cm}e^x(x-1)+x^2=+\infty.

Il ne reste plus qu’à dresser le tableau de variations de g sur ]0;+\infty[.

 

 

On visualise d’abord le phénomène sur le tableau de variations.

La fonction g est  continue et  strictement croissante sur l’intervalle ]0;+\infty[.

Comme  0\in]-1;+\infty[ alors l’équation g(x)=0 admet une unique solution notée a sur l’intervalle ]0;+\infty[.

Donc il existe un unique point A d’abscisse a en lequel la tangente à C_f est parallèle à la droite \Delta.

Au clavier

A l’écran

Taper sur la touche f(x) en haut à gauche du clavier de la calculatrice.

En général le mode fonction est activé par défaut.

Si ce n’est pas le cas, taper sur la touche mode et sélectionner FONCTION sur la 5ème ligne. Puis quitter avec 2nde mode

On programme la fonction en complétant la ligne Y1= . Pour saisir x taper au clavier sur la touche X,T,O,n.

Pour afficher la table de valeurs, taper sur la touche 2nde et sur la touche graphe, le tableur apparaît. On peut modifier les paramètres du tableur, pour cela faire 2nde puis fenêtre et effectuer les modifications souhaitées, par exemple Début Tbl=0, Tbl=0.25,  AUTO et AUTO.

Remarque : on voit bien que 0 n’a pas d’image.

Compte-tenu du tableau obtenu précédemment, on modifie l’affichage du graphique en tapant sur la touche fenêtre et en modifiant les valeurs déjà présentes.

Voici par exemple, un paramétrage possible.

Taper sur la touche graphe, la représentation graphique de la fonction apparaît.

Soit g la fonction définie sur l’intervalle ]0;+\infty[ par : g(x)=ln(x)+2x-2

On veut calculer lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}ln(x)+2x-2.

Regardons d’abord avec le tableur et la courbe de la calculatrice, vers quelle valeur se rapprochent les g(x) quand les x deviennent très grands.

Il semble que les  g(x) se rapprochent de +\infty.

La fonction est la somme de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est une somme, f+g.

\lim f=lll+\infty-\infty+\infty
\lim g=l’+\infty-\infty+\infty-\infty-\infty
\lim f+g=l+l’+\infty-\infty+\infty-\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.

\lim f=ll\ne0\infty0
\lim g=l’\infty\infty\infty
\lim fg=l\times l’\infty\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim f=ll\ne0l\infty\infty0
\lim g=l’\ne00\inftyl\infty0
\lim\frac{f}{g}=\frac{l}{l’}\infty0\inftyForme indéterminéeForme indéterminée

Remarque

quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c

lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}ln(x)=+\infty.

lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}2x-2=+\infty

Par somme, lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}ln(x)+2x-2=+\infty.

Donc lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}g(x)=+\infty.

 

 

Soit g la fonction définie sur l’intervalle ]0;+\infty[ par : g(x)=ln(x)+2x-2

On veut calculer lim_{x\to 0}\hspace{0.2cm}ln(x)+2x-2.

Regardons d’abord avec le tableur et la courbe de la calculatrice, vers quelle valeur se rapprochent les g(x) quand les x se rapprochent de 0.

Il semble que les  g(x) se rapprochent de -\infty ( il faut lire le tableur de bas en haut).

La fonction est la somme de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est une somme, f+g.

\lim f=lll+\infty-\infty+\infty
\lim g=l’+\infty-\infty+\infty-\infty-\infty
\lim f+g=l+l’+\infty-\infty+\infty-\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.

\lim f=ll\ne0\infty0
\lim g=l’\infty\infty\infty
\lim fg=l\times l’\infty\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim f=ll\ne0l\infty\infty0
\lim g=l’\ne00\inftyl\infty0
\lim\frac{f}{g}=\frac{l}{l’}\infty0\inftyForme indéterminéeForme indéterminée

Remarque

quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c

lim_{x\to{0}}\hspace{0.2cm}ln(x)=-\infty.

lim_{x\to{0}}\hspace{0.2cm}2x-2=-2

Par somme, lim_{x\to 0}\hspace{0.2cm}ln(x)+2x-2=-\infty.

Donc lim_{x\to 0}\hspace{0.2cm}g(x)=-\infty.

 

 

On peut conjecturer les variations par lecture graphique, la courbe monte et la fonction semble croissante.

Partie 1 : calcul de g'(x)

On peut conjecturer le résultat à l’aide de la fenêtre Géogébra donnée au début de l’exo. Pour cela saisir g(x)=ln(x)+2x-2 dans la colonne Calcul Formel ( celle du milieu) et cliquer sur l’onglet f’.

g(x)= ln(x)+2x-2 pour x\in ]0;+\infty[ .

1.On veut calculer g'(x).

On répond à la question suivante : g(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est la somme de deux fonctions u+v avec  u(x)=ln(x) et v(x)=2x-2.

On va utiliser la ligne n°1 du tableau n°1 ci-dessous.

Dérivées et opérations

f(x) est 

f'(x) se calcule ainsi :

une somme u+v

u’+v’

le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku

k\times u’

un produit de deux fonctions u\times v

u’\times v+u\times v’

l’inverse d’une fonction \frac{1}{u}

-\frac{u’}{u^2}

un quotient \frac{u}{v}

\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}

Dérivées et fonctions composées

FonctionDérivée
v\circ u (v’\circ u)\times u’
u^2 2u’u
u^3 3u’u^2
u^n nu’u^{n-1}
\frac{1}{u} -\frac{u’}{u^2}
\sqrt{u} \frac{u’}{2\sqrt{u}}
cos(u) -u’sin(u)
sin(u) u’cos(u)
e^{u} u’e^{u}
ln(u) \frac{u’}{u}
\frac{1}{u^{n}} -\frac{nu’}{u^{n+1}}

2a.on veut calculer la dérivée  u'(x)

u(x)=ln(x) est une  fonction de référence, on utilise la dernière ligne du tableau « Dérivées des fonctions de référence ».  

u'(x)=(ln(x))’

u'(x)=\frac{1}{x}

 

2b.on veut calculer la dérivée  v'(x)

v(x)=2x-2 est une  somme.

v'(x)=(2x-2)’

v'(x)=(2x)’-(2)’

v'(x)=2(x)’-0

v'(x)=2\times 1

v'(x)=2

Dérivées des fonctions de référence

 
Fonctionf(x)Dérivable sur f'(x)
constantef(x)=k\mathbf{R}f'(x)=0
identitéf(x)=x\mathbf{R}f'(x)=1
carréf(x)=x^2\mathbf{R}f'(x)=2x
cubef(x)=x^3\mathbf{R}f'(x)=3x^2
puissance nf(x)=x^n\mathbf{R}f'(x)=nx^{n-1}
inversef(x)=\frac{1}{x}\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[f'(x)=-\frac{1}{x^2}
racine carréef(x)=\sqrt{x}]0;+\infty[ f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
exponentiellef(x)=e^x\mathbf{R}f'(x)=e^x
sinusf(x)=sin(x)\mathbf{R}f'(x)=cos(x)
cosinusf(x)=cos(x)\mathbf{R}f'(x)=-sin(x)
logarithme népérienf(x)=ln(x)]0;+\infty[ f'(x)=\frac{1}{x}

3. On calcule la dérivée g'(x) 

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

g'(x)= (ln(x)+2x-2)’\\g'(x)= (ln(x))’+(2x-2)’\\g'(x)= \frac{1}{x}+2

Partie 2 : étude du signe de g'(x)

Comme x \in ]0;+\infty[, \frac{1}{x} est positif. 2 est positif. Donc g'(x) est positif.

Partie 3 : Variations de g

Comme g'(x) est positif, la fonction g est croissante sur ]0;+\infty[.

 

 

On peut conjecturer la réponse avec la courbe de la calculatrice.

La courbe coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse 1.

On visualise ensuite le phénomène sur le tableau de variations.

La fonction g est  continue et  strictement croissante sur l’intervalle ]0;+\infty[.

Comme  0\in]-\infty;+\infty[ alors l’équation g(x)=0 admet une unique solution notée \alpha sur l’intervalle ]0;+\infty[.

 

On calcule g(1) en remplaçant tous x par 1 dans g(x)=ln(x)+2x-2.

g(1)=ln(1)+2\times 1-2

g(1)=0+2-2

g(1)=0 et donc \alpha=1.

On peut lire le signe de g(x) sur la dernière ligne du tableau de variations.

Sur l’intervalle ]0;1], g(x) est de signe négatif.

Sur l’intervalle [1;+\infty[, g(x) est de signe positif.

La fonction f définie sur l’intervalle ]0;+\infty[ par : f(x)=(2-\frac{1}{x})(ln(x)-1).

On veut montrer que, pour tout x de  l’intervalle ]0;+\infty[, on a :

f'(x)=\frac{g(x)}{x^2}.

Ici le résultat du calcul de la dérivée est donné dans la question. Si cela n’avait pas été le cas, on peut conjecturer le résultat à l’aide de la fenêtre Géogébra donnée au début de l’exo. Pour cela saisir f(x)= \frac{e^x}{x} dans la colonne Calcul Formel ( celle du milieu) et cliquer sur l’onglet f’. La forme est bizarre mais si on multiplie la première fraction en haut et en bas par x ce sera la même que celle qu’obtient à la fin de la correction.

f(x)=(2-\frac{1}{x})(ln(x)-1) pour x\in ]0;+\infty[ .

1.On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est le produit de deux fonctions u\times v avec  u(x)=2-\frac{1}{x} et v(x)=ln(x)-1.

On va utiliser la ligne n°3 du tableau n°1 ci-dessous.

Dérivées et opérations

f(x) est 

f'(x) se calcule ainsi :

une somme u+v

u’+v’

le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku

k\times u’

un produit de deux fonctions u\times v

u’\times v+u\times v’

l’inverse d’une fonction \frac{1}{u}

-\frac{u’}{u^2}

un quotient \frac{u}{v}

\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}

Dérivées et fonctions composées

FonctionDérivée
v\circ u (v’\circ u)\times u’
u^2 2u’u
u^3 3u’u^2
u^n nu’u^{n-1}
\frac{1}{u} -\frac{u’}{u^2}
\sqrt{u} \frac{u’}{2\sqrt{u}}
cos(u) -u’sin(u)
sin(u) u’cos(u)
e^{u} u’e^{u}
ln(u) \frac{u’}{u}
\frac{1}{u^{n}} -\frac{nu’}{u^{n+1}}

2a.on veut calculer la dérivée  u'(x)

u(x)=2-\frac{1}{x} est une somme, on utilise la 1ère ligne du tableau « Dérivées et opérations »

u'(x)=(2-\frac{1}{x})’

u'(x)=(2)’-(\frac{1}{x})’

on utilise la 1ère et la 6ième lignes du tableau « Dérivées des fonctions de référence ».

u'(x)=0-(-\frac{1}{x^2})

u'(x)=\frac{1}{x^2}

2b.on veut calculer la dérivée  v'(x)

v(x)=ln(x)-1 est une somme, on utilise la 1ère ligne du tableau « Dérivées et opérations ».

v'(x)=(ln(x)-1)’

v'(x)=(ln(x))’-(1)’

on utilise la 1ère et la 11ième lignes du tableau « Dérivées des fonctions de référence ».

v'(x)=\frac{1}{x}-0

v'(x)=\frac{1}{x}

Dérivées des fonctions de référence

 
Fonctionf(x)Dérivable sur f'(x)
constantef(x)=k\mathbf{R}f'(x)=0
identitéf(x)=x\mathbf{R}f'(x)=1
carréf(x)=x^2\mathbf{R}f'(x)=2x
cubef(x)=x^3\mathbf{R}f'(x)=3x^2
puissance nf(x)=x^n\mathbf{R}f'(x)=nx^{n-1}
inversef(x)=\frac{1}{x}\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[f'(x)=-\frac{1}{x^2}
racine carréef(x)=\sqrt{x}]0;+\infty[ f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
exponentiellef(x)=e^x\mathbf{R}f'(x)=e^x
sinusf(x)=sin(x)\mathbf{R}f'(x)=cos(x)
cosinusf(x)=cos(x)\mathbf{R}f'(x)=-sin(x)
logarithme népérienf(x)=ln(x)]0;+\infty[ f'(x)=\frac{1}{x}

3. On calcule la dérivée f'(x) 

On remplace u par  2-\frac{1}{x}v par ln(x)-1, u’ par  \frac{1}{x^2} et v’ par \frac{1}{x} dans la formule u’\times v+u\times v’ 

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)= ((2-\frac{1}{x})(ln(x)-1))’\\\hspace{0.8cm}=(2-\frac{1}{x})’\times (ln(x)-1)+(2-\frac{1}{x})\times (ln(x)-1)’\\\hspace{0.8cm}=\frac{1}{x^2}\times (ln(x)-1)+(2-\frac{1}{x})\times \frac{1}{x}\\\hspace{0.8cm}=\frac{ln(x)-1}{x^2}+ \frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}

On met au même dénominateur, ici  x^2 

\hspace{0.8cm}=\frac{ln(x)-1}{x^2}+ \frac{2}{x}\times \frac{x}{x}-\frac{1}{x^2}\\\hspace{0.8cm}=\frac{ln(x)-1}{x^2}+ \frac{2x}{x^2}-\frac{1}{x^2}\\\hspace{0.8cm}=\frac{ln(x)-1+2x-1}{x^2}\\\hspace{0.8cm}=\frac{ln(x)+2x-2}{x^2}\\\hspace{0.8cm}=\frac{g(x)}{x^2}

 

Il faut dresser le tableau de variation de la fonction f sur l’intervalle ]0;+\infty[. Le calcul des limites n’est pas demandé.

Comme f'(x)=\frac{g(x)}{x^2} et que x^2 est toujours positif, f'(x) est du signe de g(x).

On a établi précédemment que :

Sur l’intervalle ]0;1], g(x) est de signe négatif.

Sur l’intervalle [1;+\infty[, g(x) est de signe positif.

On en déduit le tableau de variations suivant (sans les limites).

On veut résoudre l’équation f(x)=0 sur l’intervalle ]0;+\infty[ puis dresser le tableau de signes de f sur l’intervalle ]0;+\infty[.

f(x)=0\\(2-\frac{1}{x})(ln(x)-1)=0

On applique la règle du produit nul.

2-\frac{1}{x}=0\hspace{0.5cm} ou \hspace{0.5cm}ln(x)-1=0\\-\frac{1}{x}=-2\hspace{0.5cm} ou \hspace{0.5cm}ln(x)=1\\\frac{1}{x}=2\hspace{0.5cm} ou \hspace{0.5cm}ln(x)=1

Pour la première équation on remplace 2 par \frac{2}{1} et pour la seconde on remplace 1 par ln(e).

\frac{1}{x}=\frac{2}{1}\hspace{0.5cm} ou \hspace{0.5cm}ln(x)=ln(e)

On fait le produit en croix pour la première équation

2x=1\hspace{0.5cm} ou \hspace{0.5cm}x=e\\x=\frac{1}{2}\hspace{0.5cm} ou \hspace{0.5cm}x=e

On complète le tableau de variations précédent.

On en déduit le tableau de signes de f 

 

 

 

On a F'(x)=f(x).
Pour déterminer les variations de F, il faut étudier le signe de F'(x) c’est-à-dire le signe de f(x).

On utilise le résultat précédent :

Donc sur ]0;\frac{1}{2}]\cup[e;+\infty[, la fonction F est croissante.

          sur [\frac{1}{2};e], la fonction F est décroissante.

Pour que la courbe C_F  admette une tangente parallèle à l’axe des abscisses en un point d’abscisse a, il faut que le coefficient de cette tangente soit nul, c’est-à-dire  F'(a)=0
Comme F'(x)=f(x), les solutions de l’équation F'(x)=0 sont les mêmes que les solutions de l’équation f(x)=0.

Donc la courbe C_F  admet des tangentes parallèle à l’axe des abscisses aux points d’abscisses \frac{1}{2} et e.

Le point de la courbe d’abscisse 1 est le point A et son ordonnée est égale à 4. Donc f(1)=4.

La tangente à la courbe au point A est horizontale donc f'(1)=0.

f(x)=\frac{a+bln(x)}{x}

1.On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est le quotient de deux fonctions \frac{u}{ v} avec  u(x)=a+bln(x) et v(x)=x.

On va utiliser la ligne n°5 du tableau n°1 ci-dessous.

Dérivées et opérations

f(x) est 

f'(x) se calcule ainsi :

une somme u+v

u’+v’

le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku

k\times u’

un produit de deux fonctions u\times v

u’\times v+u\times v’

l’inverse d’une fonction \frac{1}{u}

-\frac{u’}{u^2}

un quotient \frac{u}{v}

\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}

Dérivées et fonctions composées

FonctionDérivée
v\circ u (v’\circ u)\times u’
u^2 2u’u
u^3 3u’u^2
u^n nu’u^{n-1}
\frac{1}{u} -\frac{u’}{u^2}
\sqrt{u} \frac{u’}{2\sqrt{u}}
cos(u) -u’sin(u)
sin(u) u’cos(u)
e^{u} u’e^{u}
ln(u) \frac{u’}{u}
\frac{1}{u^{n}} -\frac{nu’}{u^{n+1}}

2a.on veut calculer la dérivée  u'(x)

u(x)=a+bln(x) est une  somme, on utilise la 1ère ligne du tableau « Dérivées et opérations »

u'(x)=(a+bln(x))’

u'(x)=(a)’+(bln(x))’

u'(x)=0+b(ln(x))’

u'(x)=b\times \frac{1}{x}

u'(x)=\frac{b}{x}

2b.on veut calculer la dérivée  v'(x)

v(x)=x est une  fonction de référence, on utilise la 2ième ligne du tableau « Dérivées des fonctions de référence »

v'(x)=(x)’

v'(x)=1

Dérivées des fonctions de référence

 
Fonctionf(x)Dérivable sur f'(x)
constantef(x)=k\mathbf{R}f'(x)=0
identitéf(x)=x\mathbf{R}f'(x)=1
carréf(x)=x^2\mathbf{R}f'(x)=2x
cubef(x)=x^3\mathbf{R}f'(x)=3x^2
puissance nf(x)=x^n\mathbf{R}f'(x)=nx^{n-1}
inversef(x)=\frac{1}{x}\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[f'(x)=-\frac{1}{x^2}
racine carréef(x)=\sqrt{x}]0;+\infty[ f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
exponentiellef(x)=e^x\mathbf{R}f'(x)=e^x
sinusf(x)=sin(x)\mathbf{R}f'(x)=cos(x)
cosinusf(x)=cos(x)\mathbf{R}f'(x)=-sin(x)
logarithme népérienf(x)=ln(x)]0;+\infty[ f'(x)=\frac{1}{x}

3. On calcule la dérivée f'(x) 

On remplace u par  a+bln(x)v par x, u’ par  \frac{b}{x} et v’ par 1 dans la formule \frac{u’\times v-u\times v’}{v^2} 

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)= (\frac{a+bln(x)}{x})’\\f'(x)=\frac{(a+bln(x))’\times{(x)}-{(a+bln(x))}\times{(x)’}}{x^2}\\f'(x)=\frac{\frac{b}{x}\times{x}-(a+bln(x))\times{1}}{x^2}\\f'(x)=\frac{b-(a+bln(x))}{x^2}\\f'(x)=\frac{b-a-bln(x))}{x^2}

 

Quand on écrit : en déduire les valeurs des réels a et b, cela signifie qu’on doit utiliser les résultats des questions précédentes.

Dans la question 1, on a lu graphiquement :

f(1)=4 et f'(1)=0.

Dans la question 2, on a montré que  :

f'(x)=\frac{b-a-bln(x)}{x^2}.

On va exprimer f(1) en remplaçant x par 1 dans f(x)=\frac{a+bln(x)}{x}

f(1)=\frac{a+bln(1)}{1}

f(1)=\frac{a+b\times 0}{1}

f(1)=\frac{a}{1}

f(1)=a

Puis on remplace f(1) par a dans f(1)=4

Donc  a=4.

On va exprimer f'(1) en remplaçant x par 1 dans f'(x)=\frac{b-a-bln(x)}{x^2}

f'(1)=\frac{b-a-bln(1)}{1^2}

f'(1)=\frac{b-a-b\times 0}{1}

f'(1)=\frac{b-a}{1}

f'(1)=b-a

On remplace a par 4.

f'(1)=b-4

Et on remplace f'(1) par b-4 dans f'(1)=0

Donc b-4=0

b=4.

Donc f(x)=\frac{4+4ln(x)}{x}.

Remarque : il arrive que dans certains énoncés comme c’est le cas ici, la fonction trouvée apparaisse dans la suite de l’exercice.

 

Au clavier

A l’écran

Taper sur la touche f(x) en haut à gauche du clavier de la calculatrice.

En général le mode fonction est activé par défaut.

Si ce n’est pas le cas, taper sur la touche mode et sélectionner FONCTION sur la 5ème ligne. Puis quitter avec 2nde mode

On programme la fonction en complétant la ligne Y1= . Pour saisir x taper au clavier sur la touche X,T,O,n.

Pour afficher la table de valeurs, taper sur la touche 2nde et sur la touche graphe, le tableur apparaît. On peut modifier les paramètres du tableur, pour cela faire 2nde puis fenêtre et effectuer les modifications souhaitées.

Compte-tenu du tableau obtenu précédemment, on modifie l’affichage du graphique en tapant sur la touche fenêtre et en modifiant les valeurs déjà présentes.

Voici par exemple, un paramétrage possible.

Taper sur la touche graphe, la représentation graphique de la fonction apparaît.

On veut calculer lim_{x\to 0^{+}}\hspace{0.2cm}f(x).

Regardons d’abord avec le tableur et la courbe de la calculatrice, vers quelle valeur se rapprochent les f(x) quand les x se rapprochent de 0 par valeurs supérieures.

En lisant le tableur du bas vers le haut, il semble que les  f(x) se rapprochent de -\infty quand les  x se rapprochent de 0.

La fonction est le quotient de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est un quotient, f/g.

\lim f=lll+\infty-\infty+\infty
\lim g=l’+\infty-\infty+\infty-\infty-\infty
\lim f+g=l+l’+\infty-\infty+\infty-\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.

\lim f=ll\ne0\infty0
\lim g=l’\infty\infty\infty
\lim fg=l\times l’\infty\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim f=ll\ne0l\infty\infty0
\lim g=l’\ne00\inftyl\infty0
\lim\frac{f}{g}=\frac{l}{l’}\infty0\inftyForme indéterminéeForme indéterminée

Remarque

quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c

lim_{x\to{0^{+}}}\hspace{0.2cm}4+4ln(x)=-\infty.

lim_{x\to{0^+}}\hspace{0.2cm}x=0^+

D’après le théorème sur le quotient,  lim_{x\to 0^+}\hspace{0.2cm}\frac{4+4ln(x)}{x}=-\infty

 

On veut calculer lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{4+4ln(x)}{x}.

Regardons d’abord avec le tableur et la courbe de la calculatrice, vers quelle valeur se rapprochent les f(x) quand les x deviennent très grands.

Il semble que les  f(x) se rapprochent de 0.

La fonction est le quotient de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est un quotient, f/g.

\lim f=lll+\infty-\infty+\infty
\lim g=l’+\infty-\infty+\infty-\infty-\infty
\lim f+g=l+l’+\infty-\infty+\infty-\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.

\lim f=ll\ne0\infty0
\lim g=l’\infty\infty\infty
\lim fg=l\times l’\infty\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim f=ll\ne0l\infty\infty0
\lim g=l’\ne00\inftyl\infty0
\lim\frac{f}{g}=\frac{l}{l’}\infty0\inftyForme indéterminéeForme indéterminée

Remarque

quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c

lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}4+4ln(x)=+\infty.

lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}x=+\infty 

Le théorème sur le quotient ne permet pas de conclure pour lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{4+4ln(x)}{x} car on tombe sur une forme indéterminée.

Si on connaît son cours, on sait qu’on peut utiliser un résultat sur les croissances comparées et que dans le cours on a admis que :

lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{ln(x)}{x}=0.

On modifie l’écriture de f(x) qui devient une somme.

lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{4}{x}+\frac{4ln(x)}{x}.

cliquer sur + La fonction est une somme f+g.

lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}\frac{4}{x}=0.

lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}4\frac{ln(x)}{x}=0 par croissance comparée

Donc par somme, lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}\frac{4}{x}+\frac{4ln(x)}{x}=0.

Donc lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}f(x)=0.

 

 

On peut conjecturer les variations de f en les lisant graphiquement à l’aide de la courbe de la calculatrice ci-dessous.

Elle semble croissante sur ]0;1] et décroissante sur [1;+\infty[.

Partie 1 : calcul de f'(x)

On sait que f'(x)= \frac{b-a-bln(x)}{x^2}

Il ne reste plus qu’à remplacer a et b par 4 dans  f'(x)= \frac{b-a-bln(x)}{x^2}.

f'(x)= \frac{4-4-4ln(x)}{x^2}\\f'(x)=- \frac{4ln(x)}{x^2}

Partie 2 : étude du signe de f'(x)

 x^2 est positif. Donc f'(x) est du signe de -4ln(x).

On dresse le tableau de signes du produit sur ]0;+\infty[.

Donc f'(x) est positif sur ]0;1] et négatif sur [1;+\infty[

Partie 3 : tableau de variations de f

Comme f'(x) est positif sur ]0;1], f est croissante sur ]0;1].

Comme f'(x) est négatif sur [1;+\infty[, f est décroissante sur [1;+\infty[.

Il ne reste plus qu’à dresser le tableau de variations de f sur ]0;+\infty[.

 

 

On veut montrer que f"(x)=\frac{-4+8ln(x)}{x^3}.

f'(x)= -\frac{4ln(x)}{x^2} pour x\in ]0;+\infty[.

1.On veut calculer f"(x).

On répond à la question suivante : f'(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est l’opposé du quotient de deux fonctions \frac{u}{ v} avec  u(x)=4ln(x) et v(x)=x^2.

On va utiliser la ligne n°5 du tableau n°1 ci-dessous.

Dérivées et opérations

f(x) est 

f'(x) se calcule ainsi :

une somme u+v

u’+v’

le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku

k\times u’

un produit de deux fonctions u\times v

u’\times v+u\times v’

l’inverse d’une fonction \frac{1}{u}

-\frac{u’}{u^2}

un quotient \frac{u}{v}

\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}

Dérivées et fonctions composées

FonctionDérivée
v\circ u (v’\circ u)\times u’
u^2 2u’u
u^3 3u’u^2
u^n nu’u^{n-1}
\frac{1}{u} -\frac{u’}{u^2}
\sqrt{u} \frac{u’}{2\sqrt{u}}
cos(u) -u’sin(u)
sin(u) u’cos(u)
e^{u} u’e^{u}
ln(u) \frac{u’}{u}
\frac{1}{u^{n}} -\frac{nu’}{u^{n+1}}

2a.on veut calculer la dérivée  u'(x)

u(x)=4ln(x) est le produit d’une constante et d’une fonction, on utilise la 2ième ligne du tableau « Dérivées et opérations »

u'(x)=(4ln(x))’

u'(x)=4(ln(x))’, ln(x)est une  fonction de référence, on utilise la dernière ligne du tableau « Dérivées des fonctions de référence »

u'(x)=4\times {\frac{1}{x}}

u'(x)={\frac{4}{x}}

2b.on veut calculer la dérivée  v'(x)

v(x)=x^2 est une  fonction de référence, on utilise la 3ième ligne du tableau « Dérivées des fonctions de référence »

v'(x)=(x^2)’

v'(x)=2x

Dérivées des fonctions de référence

 
Fonctionf(x)Dérivable sur f'(x)
constantef(x)=k\mathbf{R}f'(x)=0
identitéf(x)=x\mathbf{R}f'(x)=1
carréf(x)=x^2\mathbf{R}f'(x)=2x
cubef(x)=x^3\mathbf{R}f'(x)=3x^2
puissance nf(x)=x^n\mathbf{R}f'(x)=nx^{n-1}
inversef(x)=\frac{1}{x}\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[f'(x)=-\frac{1}{x^2}
racine carréef(x)=\sqrt{x}]0;+\infty[ f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
exponentiellef(x)=e^x\mathbf{R}f'(x)=e^x
sinusf(x)=sin(x)\mathbf{R}f'(x)=cos(x)
cosinusf(x)=cos(x)\mathbf{R}f'(x)=-sin(x)
logarithme népérienf(x)=ln(x)]0;+\infty[ f'(x)=\frac{1}{x}

3. On calcule la dérivée f"(x) 

On remplace u par  4ln(x)v par x^2, u’ par  \frac{4}{x} et v’ par 2x dans la formule \frac{u’\times v-u\times v’}{v^2} 

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie, attention de ne pas oublier le signe moins devant :

f"(x)= -(\frac{4ln(x)}{x^2})’\\f"(x)=-\frac{(4ln(x))’\times{x^2}-{4ln(x)}\times{(x^2)’}}{(x^2)^2}\\f"(x)=-\frac{\frac{4}{x}\times{x^2}-{4ln(x)}\times{2x}}{x^4}\\f"(x)=-\frac{4x-8xln(x)}{x^4}\\f"(x)=\frac{-4x+8xln(x))}{x^4}

On met  x en facteur au numérateur.

f"(x)=\frac{x(-4+8ln(x))}{x\times x^3}

On simplifie par x

f"(x)=\frac{-4+8ln(x)}{x^3}

 

 

On veut montrer que la courbe C_f possède un unique point d’inflexion B dont on précisera les coordonnées.

On va montrer que f"(x)=\frac{-4+8ln(x)}{x^3} s’annule en changeant de signe.

Comme x\in]0;+\infty[, x^3 est positif et donc f"(x) est du signe de -4+8ln(x).

Il faut donc étudier le signe de -4+8ln(x).

On utilise la première ligne du tableau ci-dessous, cliquer sur + la quantité est une somme.

  1. de nombres positifs alors la quantité est positive.
  2. de nombres négatifs alors la quantité est négative.
  3. de nombres de signes contraires ou indéterminés alors on ne peut pas conclure

On peut factoriser et étudier le signe d’un produit

On peut résoudre la quantité >0 

On utilise le tableau suivant :

On utilise le résultat du cours suivant :

si \Delta>0

si \Delta=0

si \Delta<0

La quantité est toujours positive.

Exemples : les quantités x^2 , (2x+5)^4 sont toujours positives

La quantité est du signe de ce qui est élevé à la puissance.

Exemple : la quantité x^3 est du signe de x, la quantité (2x-1)^5 est du signe de 2x-1.

On fait un tableau de signes comme en seconde.

On étudie le signe du numérateur et le signe du dénominateur. Si nécessaire, ensuite on fait un tableau de signes comme en seconde.

On calcule la dérivée, on étudie son signe et on fait le tableau de variations. Ensuite, sur la dernière ligne du tableau de variations, on lit le signe de la quantité.  

On va résoudre -4+8ln(x)\geq 0

-4+8ln(x)\geq 0

8ln(x)\geq 4

ln(x)\geq \frac{4}{8}

ln(x)\geq \frac{1}{2}

ln(x)\geq ln(e^{\frac{1}{2}})

x\geq e^{\frac{1}{2}}

x\geq \sqrt{e}

Sur la ligne de signe de  -4+8ln(x), on met des + à droite de la valeur \sqrt{e} puis on complète avec des

Ainsi f"(x)=\frac{-4+8ln(x)}{x^3} s’annule en changeant de signe pour x=\sqrt{e} et donc C_f admet un point d’inflexion B d’abscisse \sqrt{e}.

Calculons l’ordonnée de B.

f(\sqrt{e})=\frac{4+4ln(\sqrt{e})}{\sqrt{e}}\\f(\sqrt{e})=\frac{4+4ln(e^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{e}}\\f(\sqrt{e})=\frac{4+4\times \frac{1}{2} ln(e)}{\sqrt{e}}\\f(\sqrt{e})=\frac{4+4\times \frac{1}{2} \times 1}{\sqrt{e}}\\f(\sqrt{e})=\frac{4+2}{\sqrt{e}}\\f(\sqrt{e})=\frac{6}{\sqrt{e}}

Donc le point B a pour coordonnées (\sqrt{e};\frac{6}{\sqrt{e}})

 

 

On veut déterminer graphiquement la valeur de f(0) et celle de f'(0).

Le point A(0;2) est le point de la courbe d’abscisse  0 ainsi, f(0)=2.

(AB) est la tangente à la courbe C_f au point A. A partir du point A, j’avance horizontalement vers la droite d’une graduation et pour retomber sur la droite (AB), je dois descendre verticalement d’une graduation. Le coefficient directeur de (AB) vaut -1 donc f'(0)=-1.

On veut déterminer graphiquement un intervalle sur lequel  f est convexe.

On voit qu’à partir de 0, la courbe C_f semble être au-dessus de ses tangentes. Par exemple sur [0;3] la fonction  f semble convexe. mais on aurait aussi pu proposer [0;+\infty[.

 

On veut déterminer toutes les solutions sur \mathbf{R} de l’équation différentielle (H):y’=-y

On utilise le théorème suivant :

Les équations différentielles de la forme  y’=aya est un réel non nul ont pour solutions les fonctions du type x \rightarrow ke^{ax} avec k \in \mathbf{R}.

y’=-y est une équation différentielle de la forme  y’=ay avec a=-1 donc les solutions sont les fonctions du type x \rightarrow ke^{-x} avec k \in \mathbf{R}.

On veut résoudre sur \mathbf{R}  l’équation différentielle (H):y’=-y+e^{-x}

On utilise la propriété suivante : 

a est un réel et f une fonction définie sur un intervalle I.

Toute solution dans  I de l’équation différentielle (E)y’=ay+f est la somme d’une solution quelconque de l’équation y’=ay et d’une solution particulière de (E)

Une solution quelconque de y’=-y est une fonction du type  x \rightarrow ke^{-x} avec k \in \mathbf{R}.

Une solution particulière de l’équation différentielle (H):y’=-y+e^{-x} est donnée dans l’énoncé, c’est g(x)=xe^{-x}.

Donc les solutions de l’équation différentielle (H):y’=-y+e^{-x} sont des fonctions du type

x \rightarrow ke^{-x}+xe^{-x} avec k \in \mathbf{R}.

 

 

Parmi les solutions trouvées à la question précédente :x \rightarrow ke^{-x}+xe^{-x}  , on cherche la fonction f qui vérifie la condition initiale f(0)=2.

Pour calculer f(0), on remplace x par 0 dans ke^{-x}+xe^{-x}.

ke^{-0}+0\times e^{-0}=2

k\times 1=2

k=2

Donc la fonction cherchée est f(x)=2e^{-x}+xe^{-x} qui s’écrit aussi f(x)=(2+x)e^{-x} .

 

Au clavier

A l’écran

Taper sur la touche f(x) en haut à gauche du clavier de la calculatrice.

En général le mode fonction est activé par défaut.

Si ce n’est pas le cas, taper sur la touche mode et sélectionner FONCTION sur la 5ème ligne. Puis quitter avec 2nde mode

On programme la fonction en complétant la ligne Y1= . Pour saisir x taper au clavier sur la touche X,T,O,n.

Pour afficher la table de valeurs, taper sur la touche 2nde et sur la touche graphe, le tableur apparaît. On peut modifier les paramètres du tableur, pour cela faire 2nde puis fenêtre et effectuer les modifications souhaitées.

Compte-tenu du tableau obtenu précédemment, on modifie l’affichage du graphique en tapant sur la touche fenêtre et en modifiant les valeurs déjà présentes.

Voici par exemple, un paramétrage possible.

Taper sur la touche graphe, la représentation graphique de la fonction apparaît.

f(x)= (x+2)e^{-x}, on veut montrer que  f'(x)=(-x-1)e^{-x} 

Ici le résultat du calcul de la dérivée est donné dans la question. Si cela n’avait pas été le cas, on peut conjecturer le résultat à l’aide de la fenêtre Géogébra donnée au début de l’exo. Pour cela saisir f(x)= (x+2)e^{-x} dans la colonne Calcul Formel ( celle du milieu) et cliquer sur l’onglet f’. La forme est bizarre mais comme ln(e)=1 ce sera la même que celle qu’obtient à la fin de la correction.

f(x)= (x+2)e^{-x} pour x\in ]0;+\infty[ .

1.On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est le produit de deux fonctions u\times v avec  u(x)=x+2 et v(x)=e^{-x}.

On va utiliser la ligne n°5 du tableau n°1 ci-dessous.

Dérivées et opérations

f(x) est 

f'(x) se calcule ainsi :

une somme u+v

u’+v’

le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku

k\times u’

un produit de deux fonctions u\times v

u’\times v+u\times v’

l’inverse d’une fonction \frac{1}{u}

-\frac{u’}{u^2}

un quotient \frac{u}{v}

\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}

Dérivées et fonctions composées

FonctionDérivée
v\circ u (v’\circ u)\times u’
u^2 2u’u
u^3 3u’u^2
u^n nu’u^{n-1}
\frac{1}{u} -\frac{u’}{u^2}
\sqrt{u} \frac{u’}{2\sqrt{u}}
cos(u) -u’sin(u)
sin(u) u’cos(u)
e^{u} u’e^{u}
ln(u) \frac{u’}{u}
\frac{1}{u^{n}} -\frac{nu’}{u^{n+1}}

2a.on veut calculer la dérivée  u'(x)

u(x)=x+2 est somme, on utilise la 1ère ligne du tableau « Dérivées et opérations »

u'(x)=(x+2)’

u'(x)=(x)’+2′

u'(x)=1+0

u'(x)=1

2a.on veut calculer la dérivée  v'(x)

v(x)=e^{-x} est une  fonction composée, on utilise la 9ième ligne du tableau « Dérivées et fonctions de composées »

v'(x)=(e^{-x})’

v'(x)=(-x)’e^{-x}

v'(x)=(-1)\times e^{-x}

v'(x)=-e^{-x}

Dérivées des fonctions de référence

 
Fonctionf(x)Dérivable sur f'(x)
constantef(x)=k\mathbf{R}f'(x)=0
identitéf(x)=x\mathbf{R}f'(x)=1
carréf(x)=x^2\mathbf{R}f'(x)=2x
cubef(x)=x^3\mathbf{R}f'(x)=3x^2
puissance nf(x)=x^n\mathbf{R}f'(x)=nx^{n-1}
inversef(x)=\frac{1}{x}\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[f'(x)=-\frac{1}{x^2}
racine carréef(x)=\sqrt{x}]0;+\infty[ f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
exponentiellef(x)=e^x\mathbf{R}f'(x)=e^x
sinusf(x)=sin(x)\mathbf{R}f'(x)=cos(x)
cosinusf(x)=cos(x)\mathbf{R}f'(x)=-sin(x)
logarithme népérienf(x)=ln(x)]0;+\infty[ f'(x)=\frac{1}{x}

3. On calcule la dérivée f'(x) 

On remplace u par  x+2v par e^{-x}, u’ par  1 et v’ par -e^{-x} dans la formule u’\times v+u\times v’ 

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)= ((x+2)e^{-x})’\\f'(x)=(x+2)’\times{e^{-x}}+{(x+2)}\times{(e^{-x})’}\\f'(x)=1\times{e^{-x}}+{(x+2)}\times{(-e^{-x})}\\f'(x)=e^{-x}-(x+2)e^{-x}

On met  e^{-x} en facteur.

f'(x)=(1-x-2)e^{-x}\\f'(x)=(-x-1)e^{-x}

 

On veut déterminer les variations de la fonction f sur l’intervalle ]-\infty;+\infty[.
On établira un tableau de variations de la fonction f sans les limites aux bornes.

Utilisons la courbe de la calculatrice pour conjecturer les variations de f.

Il semble que la fonction f soit croissante avant  -1 et décroissante ensuite.

Il faut étudier le signe de f'(x)=(-x-1)e^{-x}.

Comme e^{-x} est toujour positif, f'(x) est du signe de -x-1.

On utilise la deuxième ligne du tableau ci-dessous, cliquer sur + la quantité est de la forme ax+b.

  1. de nombres positifs alors la quantité est positive.
  2. de nombres négatifs alors la quantité est négative.
  3. de nombres de signes contraires ou indéterminés alors on ne peut pas conclure

On peut factoriser et étudier le signe d’un produit

On peut résoudre la quantité >0 

On utilise le tableau suivant :

On utilise le résultat du cours suivant :

si \Delta>0

si \Delta=0

si \Delta<0

La quantité est toujours positive.

Exemples : les quantités x^2 , (2x+5)^4 sont toujours positives

La quantité est du signe de ce qui est élevé à la puissance.

Exemple : la quantité x^3 est du signe de x, la quantité (2x-1)^5 est du signe de 2x-1.

On fait un tableau de signes comme en seconde.

On étudie le signe du numérateur et le signe du dénominateur. Si nécessaire, ensuite on fait un tableau de signes comme en seconde.

On calcule la dérivée, on étudie son signe et on fait le tableau de variations. Ensuite, sur la dernière ligne du tableau de variations, on lit le signe de la quantité.  

On a a=-1, b=-1, -\frac{b}{a}=-\frac{-1}{-1}=-1 et le signe de a est négatif.

Voici le tableau de signes de  -x-1 sur ]-\infty;+\infty[

f'(x) est du signe de -x-1, f'(x) est positif sur ]-\infty;-1] et f'(x) est négatif sur [-1;+\infty[.

On calcule f(-1) en remplaçant tous les x par -1 dans f(x)=(x+2)e^{-x}.

f(-1)=(-1+2)e^{-(-1)}

f(-1)=1\times e^1

f(-1)=e

Il ne reste plus qu’à dresser le tableau de variations de f sur ]-\infty;+\infty[

 

 

f'(x)=(-x-1)e^{-x}.

On veut calculer f"(x).

On peut conjecturer le résultat à l’aide de la fenêtre Géogébra donnée au début de l’exo. Pour cela saisir f(x)= (-x-1)e^{-x} dans la colonne Calcul Formel ( celle du milieu) et cliquer sur l’onglet f’. La forme est bizarre mais comme ln(e)=1 ce sera la même que celle qu’obtient à la fin de la correction.

f'(x)=(-x-1)e^{-x}.

1.On veut calculer f"(x).

On répond à la question suivante : f'(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est le produit de deux fonctions u\times v avec  u(x)=-x-1 et v(x)=e^{-x}.

On va utiliser la ligne n°3 du tableau n°1 ci-dessous.

Dérivées et opérations

f(x) est 

f'(x) se calcule ainsi :

une somme u+v

u’+v’

le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku

k\times u’

un produit de deux fonctions u\times v

u’\times v+u\times v’

l’inverse d’une fonction \frac{1}{u}

-\frac{u’}{u^2}

un quotient \frac{u}{v}

\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}

Dérivées et fonctions composées

FonctionDérivée
v\circ u (v’\circ u)\times u’
u^2 2u’u
u^3 3u’u^2
u^n nu’u^{n-1}
\frac{1}{u} -\frac{u’}{u^2}
\sqrt{u} \frac{u’}{2\sqrt{u}}
cos(u) -u’sin(u)
sin(u) u’cos(u)
e^{u} u’e^{u}
ln(u) \frac{u’}{u}
\frac{1}{u^{n}} -\frac{nu’}{u^{n+1}}

2a.on veut calculer la dérivée  u'(x)

u(x)=-x-1 est une  somme, on utilise la 1ère ligne du tableau « Dérivées et opérations »

u'(x)=(-x-1)’

u'(x)=(-x)’-1′

u'(x)=-1+0

u'(x)=-1

2b.on veut calculer la dérivée  v'(x)

v(x)=e^{-x} est une  fonction composée, on utilise la 9ième ligne du tableau « Dérivées et fonctions composées »

v'(x)=(e^{-x})’

v'(x)=(-x)’e^{-x}

v'(x)=-(x)’e^{-x}

v'(x)=-1\times e^{-x}

v'(x)=-e^{-x}

Dérivées des fonctions de référence

 
Fonctionf(x)Dérivable sur f'(x)
constantef(x)=k\mathbf{R}f'(x)=0
identitéf(x)=x\mathbf{R}f'(x)=1
carréf(x)=x^2\mathbf{R}f'(x)=2x
cubef(x)=x^3\mathbf{R}f'(x)=3x^2
puissance nf(x)=x^n\mathbf{R}f'(x)=nx^{n-1}
inversef(x)=\frac{1}{x}\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[f'(x)=-\frac{1}{x^2}
racine carréef(x)=\sqrt{x}]0;+\infty[ f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
exponentiellef(x)=e^x\mathbf{R}f'(x)=e^x
sinusf(x)=sin(x)\mathbf{R}f'(x)=cos(x)
cosinusf(x)=cos(x)\mathbf{R}f'(x)=-sin(x)
logarithme népérienf(x)=ln(x)]0;+\infty[ f'(x)=\frac{1}{x}

3. On calcule la dérivée f"(x) 

On remplace u par  -x-1v par e^{-x}, u’ par  -1 et v’ par -e^{-x} dans la formule u’\times v+u\times v’ 

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f"(x)= ((-x-1)e^{-x})’\\\hspace{0.9cm}=(-x-1)’\times e^{-x}+(-x-1)\times(e^{-x})’\\\hspace{0.9cm}=(-1)\times e^{-x}+(-x-1)\times(-e^{-x})\\\hspace{0.9cm}=-e^{-x}-(-x-1)\times(e^{-x})\\\hspace{0.9cm}=-e^{-x}+(x+1)\times(e^{-x})

On met  e^{-x} en facteur.

\hspace{0.9cm}=(-1+x+1)e^{-x}\\\hspace{0.9cm}=xe^{-x}

 

f"(x)=xe^{-x}

Comme x est positif sur l’intervalle [0;+\infty[ et comme e^{-x} est positif.

On peut en déduire que le produit  xe^{-x} est positif sur [0;+\infty[ .

Donc f"(x) est positifve sur [0;+\infty[ donc f est convexe sur [0;+\infty[ .

 

Au clavier

A l’écran

Taper sur la touche f(x) en haut à gauche du clavier de la calculatrice.

En général le mode fonction est activé par défaut.

Si ce n’est pas le cas, taper sur la touche mode et sélectionner FONCTION sur la 5ème ligne. Puis quitter avec 2nde mode

Attention : la fonction est définie sur [1;4]

On tape sur la touche math et on sélectionne la ligne B par morceaux dans le menu déroulant. On valide par la touche entrer et on saisit la valeur 1 pour le nombre de morceaux.

On sélectionne OK et on valide par entrer. Dans le premier cadre on saisit -30X+50+35\times ln(X) pour atteindre le cadre suivant, on utilise la flèche du clavier et on y saisit  X\geq1 et X\leq 4.

Pour saisir \leq ou \geq appuyer sur la touche 2nde puis la touche test , rester dans la colonne TEST et sélectionner la ligne 6 ou la ligne 4.

Pour saisir et appuyer sur la touche 2nde puis la touche test, se positionner dans la colonne LOGIQ et sélectionner la ligne 1.

Pour afficher la table de valeurs, taper sur la touche 2nde et sur la touche graphe, le tableur apparaît. On peut modifier les paramètres du tableur, pour cela faire 2nde puis fenêtre et effectuer les modifications souhaitées, par exemple Début Tbl=0.5, Tbl=0.5,  AUTO et AUTO.

Remarque : on voit bien que seuls les nombres de  [1;4] ont une image.

Compte-tenu du tableau obtenu précédemment, on modifie l’affichage du graphique en tapant sur la touche fenêtre et en modifiant les valeurs déjà présentes.

Voici par exemple, un paramétrage possible.

Taper sur la touche graphe, la représentation graphique de la fonction apparaît.

f(x)=-30x+50+35ln(x) sur [1;4].

On veut montrer que pour tout nombre réel x , f'(x)=\frac{35-30x}{x}.

Ici le résultat du calcul de la dérivée est donné dans la question. Si cela n’avait pas été le cas, on peut conjecturer le résultat à l’aide de la fenêtre Géogébra donnée au début de l’exo. Pour cela saisir f(x)= (x+2)e^{-x} dans la colonne Calcul Formel ( celle du milieu) et cliquer sur l’onglet f’. La forme est bizarre mais comme ln(e)=1 ce sera la même que celle qu’obtient à la fin de la correction.

f(x)=-30x+50+35ln(x) sur [1;4].

1.On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est la somme de deux fonctions u + v avec  u(x)=-30x+50 et v(x)=35ln(x).

On va utiliser la ligne n°1 du tableau n°1 ci-dessous.

Dérivées et opérations

f(x) est 

f'(x) se calcule ainsi :

une somme u+v

u’+v’

le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku

k\times u’

un produit de deux fonctions u\times v

u’\times v+u\times v’

l’inverse d’une fonction \frac{1}{u}

-\frac{u’}{u^2}

un quotient \frac{u}{v}

\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}

Dérivées et fonctions composées

FonctionDérivée
v\circ u (v’\circ u)\times u’
u^2 2u’u
u^3 3u’u^2
u^n nu’u^{n-1}
\frac{1}{u} -\frac{u’}{u^2}
\sqrt{u} \frac{u’}{2\sqrt{u}}
cos(u) -u’sin(u)
sin(u) u’cos(u)
e^{u} u’e^{u}
ln(u) \frac{u’}{u}
\frac{1}{u^{n}} -\frac{nu’}{u^{n+1}}

2a.on veut calculer la dérivée  u'(x)

u(x)=-30x+50 est une  somme, on utilise la 1ère ligne du tableau « Dérivées et opérations »

u'(x)=(-30x+50)’

u'(x)=(-30x)’+50′

u'(x)=-30(x)’+0

u'(x)=-30\times 1

u'(x)=-30

2b.on veut calculer la dérivée  v'(x)

v(x)=35ln(x) est le produit d’une constante par une  fonction, on utilise la 2nde ligne du tableau « Dérivées et opérations »

v'(x)=(35ln(x))’

v'(x)=35(ln(x))’

On utilise la dernière ligne du tableau « Dérivées des fonctions de référence »

v'(x)=35\times \frac{1}{x]

v'(x)=\frac{35}{x}

Dérivées des fonctions de référence

 
Fonctionf(x)Dérivable sur f'(x)
constantef(x)=k\mathbf{R}f'(x)=0
identitéf(x)=x\mathbf{R}f'(x)=1
carréf(x)=x^2\mathbf{R}f'(x)=2x
cubef(x)=x^3\mathbf{R}f'(x)=3x^2
puissance nf(x)=x^n\mathbf{R}f'(x)=nx^{n-1}
inversef(x)=\frac{1}{x}\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[f'(x)=-\frac{1}{x^2}
racine carréef(x)=\sqrt{x}]0;+\infty[ f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
exponentiellef(x)=e^x\mathbf{R}f'(x)=e^x
sinusf(x)=sin(x)\mathbf{R}f'(x)=cos(x)
cosinusf(x)=cos(x)\mathbf{R}f'(x)=-sin(x)
logarithme népérienf(x)=ln(x)]0;+\infty[ f'(x)=\frac{1}{x}

3. On calcule la dérivée f'(x) 

On remplace  u’ par  -30 et v’ par \frac{35}{x} dans la formule u’+ v’ 

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)= (-30x+50+35ln(x))’\\f'(x)=(-30x+50)’+(35ln(x))’\\f'(x)=-30+\frac{35}{x}

On met au même dénominateur, ici x 

f'(x)=-30\times \frac{x}{x} +\frac{35}{x}\\f'(x)=- \frac{30x}{x} +\frac{35}{x}\\f'(x)= \frac{-30x+35}{x}

 

Il faut étudier le signe de f'(x)=\frac{35-30x}{x} sur [1;4]

x est positif, donc f'(x) est du signe de 35-30x.

On utilise la deuxième ligne du tableau ci-dessous, cliquer sur + la quantité est de la forme ax+b.

  1. de nombres positifs alors la quantité est positive.
  2. de nombres négatifs alors la quantité est négative.
  3. de nombres de signes contraires ou indéterminés alors on ne peut pas conclure

On peut factoriser et étudier le signe d’un produit

On peut résoudre la quantité >0 

On utilise le tableau suivant :

On utilise le résultat du cours suivant :

si \Delta>0

si \Delta=0

si \Delta<0

La quantité est toujours positive.

Exemples : les quantités x^2 , (2x+5)^4 sont toujours positives

La quantité est du signe de ce qui est élevé à la puissance.

Exemple : la quantité x^3 est du signe de x, la quantité (2x-1)^5 est du signe de 2x-1.

On fait un tableau de signes comme en seconde.

On étudie le signe du numérateur et le signe du dénominateur. Si nécessaire, ensuite on fait un tableau de signes comme en seconde.

On calcule la dérivée, on étudie son signe et on fait le tableau de variations. Ensuite, sur la dernière ligne du tableau de variations, on lit le signe de la quantité.  

On a a=-30, b=35, -\frac{b}{a}=-\frac{35}{(-30)}=\frac{7}{6} et le signe de a est négatif.

Voici le tableau de signes de  35-30x sur [1;4]

Comme f'(x) est du signe de 35-30x, f'(x) est positif sur l’intervalle [1;\frac{7}{6}]  et f'(x) est négatif sur l’intervalle [\frac{7}{6};4]  .

 

 

 

 

On veut déterminer les variations de la fonction f sur l’intervalle [1;4].
Utilisons la courbe de la calculatrice pour conjecturer les variations de f.

Il semble que la fonction f soit croissante puis  décroissante ensuite.

On a étudié le signe de f'(x) dans la question précédente : f'(x) est positif sur l’intervalle [1;\frac{7}{6}]  et f'(x) est négatif sur l’intervalle [\frac{7}{6};4]  .

On peut paramétrer la tableur de la calculatrice en mode demande pour déterminer les images de 1, \frac{7}{6}  et de 4 .

Puis on dresse le tableau de variations de f sur [1;4]

 

 

 

On va justifier que l’équation f(x)=0 admet une unique solution, notée \alpha, sur l’intervalle [1;4] puis donner une valeur approchée de \alpha à 10^{-3} près.

On peut conjecturer la réponse avec la courbe de la calculatrice.

La courbe coupe l’axe des abscisses entre  2 et 3

On visualise ensuite le phénomène sur le tableau de variations.

Sur l’intervalle [1;\frac{7}{6}], le minimum est  20 donc l’équation f(x)=0 n’y admet pas de solution .

Sur l’intervalle [\frac{7}{6};4] la fonction f est  continue et  strictement décroissante.

Comme  0\in]-21.5;20.4[ alors l’équation f(x)=0 admet une unique solution notée \alpha sur l’intervalle [\frac{7}{6};4].

Au clavier

A l’écran

Taper sur la touche f(x) en haut à gauche du clavier de la calculatrice.

En général le mode fonction est activé par défaut.

Si ce n’est pas le cas, taper sur la touche mode et sélectionner FONCTION sur la 5ème ligne. Puis quitter avec 2nde mode

On programme la fonction en complétant la ligne Y1= . Pour saisir x taper au clavier sur la touche X,T,O,n.

Puis taper Y2=0

 

Taper sur la touche  graphe

Taper sur la touche 2nde et la touche trace puis sélectionner 5:intersection dans le menu. Appuyer sur entrer.

 

La première fonction est bien le Y1 qui s’affiche en haut, on valide par entrer. L’écran suivant qui s’affiche correspond à Y2, on valide encore par entrer. Le nouvel écran demande la valeur initiale, avec les flèches du clavier on se positionne à gauche du point d’intersection. 

On fait entrer et on peut lire en bas de l’écran les coordonnées du point d’intersection.

Il ne reste plus qu’à donner un encadrement de \alpha à 10^{-3} près.

2.914\leq \alpha \leq 2.915.

 

 

En lisant le tableau de variations suivant

On peut en déduire  le tableau de signe de  f

Au clavier

A l’écran

Taper sur la touche f(x) en haut à gauche du clavier de la calculatrice.

En général le mode fonction est activé par défaut.

Si ce n’est pas le cas, taper sur la touche mode et sélectionner FONCTION sur la 5ème ligne. Puis quitter avec 2nde mode

Attention : la fonction est définie sur [1;4]

On tape sur la touche math et on sélectionne la ligne B par morceaux dans le menu déroulant. On valide par la touche entrer et on saisit la valeur 1 pour le nombre de morceaux.

On sélectionne OK et on valide par entrer. Dans le premier cadre on saisit -15X^2+15X+35X\times ln(X) pour atteindre le cadre suivant, on utilise la flèche du clavier et on y saisit  X\geq1 et X\leq 4.

Pour saisir \leq ou \geq appuyer sur la touche 2nde puis la touche test , rester dans la colonne TEST et sélectionner la ligne 6 ou la ligne 4.

Pour saisir et appuyer sur la touche 2nde puis la touche test, se positionner dans la colonne LOGIQ et sélectionner la ligne 1.

 

Pour afficher la table de valeurs, taper sur la touche 2nde et sur la touche graphe, le tableur apparaît. On peut modifier les paramètres du tableur, pour cela faire 2nde puis fenêtre et effectuer les modifications souhaitées, par exemple Début Tbl=0.5, Tbl=0.5,  AUTO et AUTO.

Remarque : on voit bien que seuls les nombres de  [1;4] ont une image.

Compte-tenu du tableau obtenu précédemment, on modifie l’affichage du graphique en tapant sur la touche fenêtre et en modifiant les valeurs déjà présentes.

Voici par exemple, un paramétrage possible.

Taper sur la touche graphe, la représentation graphique de la fonction apparaît.

2500 litres de jus de fruits représentent 2,5 milliers de litres de jus de fruits.

Pour calculer le bénéfice réalisé par l’entreprise lorsqu’elle vend 2500 litres de jus de fruits, on remplace x par 2,5 dans B(x)=-15x^2+15x+35xln(x).

B(2.5)=-15\times 2.5^2+15\times 2.5+35\times 2.5\times ln(2.5)\\B(2.5)=23.925

Le bénéfice est de 23.925 milliers d’euros, soit  23925 euros.

B(x)=-15x^2+15x+35xln(x) sur [1;4].

On veut montrer que pour tout nombre réel x , B'(x)=f(x).

Ici le résultat du calcul de la dérivée est donné dans la question. Si cela n’avait pas été le cas, on peut conjecturer le résultat à l’aide de la fenêtre Géogébra donnée au début de l’exo. Pour cela saisir B(x)=-15x^2+15x+35xln(x) dans la colonne Calcul Formel ( celle du milieu) et cliquer sur l’onglet f’

B(x)=-15x^2+15x+35xln(x)

1.On veut calculer B'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est la somme de deux fonctions u + v avec  u(x)=-15x^2+15x et v(x)=35xln(x).

On va utiliser la ligne n°1 du tableau n°1 ci-dessous.

Dérivées et opérations

f(x) est 

f'(x) se calcule ainsi :

une somme u+v

u’+v’

le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku

k\times u’

un produit de deux fonctions u\times v

u’\times v+u\times v’

l’inverse d’une fonction \frac{1}{u}

-\frac{u’}{u^2}

un quotient \frac{u}{v}

\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}

Dérivées et fonctions composées

FonctionDérivée
v\circ u (v’\circ u)\times u’
u^2 2u’u
u^3 3u’u^2
u^n nu’u^{n-1}
\frac{1}{u} -\frac{u’}{u^2}
\sqrt{u} \frac{u’}{2\sqrt{u}}
cos(u) -u’sin(u)
sin(u) u’cos(u)
e^{u} u’e^{u}
ln(u) \frac{u’}{u}
\frac{1}{u^{n}} -\frac{nu’}{u^{n+1}}

2a.on veut calculer la dérivée  u'(x)

u(x)=-15x^2+15x est une  somme, on utilise la 1ère ligne du tableau « Dérivées et opérations »

u'(x)=(-15x^2+15x)’

u'(x)=(-15x^2)’+(15x)’

u'(x)=-15(x^2)’+15(x)’

u'(x)=-15\times 2x+15\times 1

u'(x)=-30x+15

2b.on veut calculer la dérivée  v'(x)

v(x)=35xln(x) est le produit de deux fonctions, on utilise la 3ième ligne du tableau « Dérivées et opérations »

v'(x)=(35x)’\times ln(x)+35x\times (ln(x))’

v'(x)=35ln(x)+35x\times \frac{1}{x}

v'(x)=35ln(x)+35

Dérivées des fonctions de référence

 
Fonctionf(x)Dérivable sur f'(x)
constantef(x)=k\mathbf{R}f'(x)=0
identitéf(x)=x\mathbf{R}f'(x)=1
carréf(x)=x^2\mathbf{R}f'(x)=2x
cubef(x)=x^3\mathbf{R}f'(x)=3x^2
puissance nf(x)=x^n\mathbf{R}f'(x)=nx^{n-1}
inversef(x)=\frac{1}{x}\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[f'(x)=-\frac{1}{x^2}
racine carréef(x)=\sqrt{x}]0;+\infty[ f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
exponentiellef(x)=e^x\mathbf{R}f'(x)=e^x
sinusf(x)=sin(x)\mathbf{R}f'(x)=cos(x)
cosinusf(x)=cos(x)\mathbf{R}f'(x)=-sin(x)
logarithme népérienf(x)=ln(x)]0;+\infty[ f'(x)=\frac{1}{x}

3. On calcule la dérivée f'(x) 

On remplace  u’ par  -30x+15 et v’ par 35ln(x)+35 dans la formule u’+ v’ 

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

B'(x)=(-15x^2+15x+35xln(x))’\\\hspace{0.9cm}=-30x+15+(35xln(x))’\\\hspace{0.9cm}=-30x+15+(35x)’\times ln(x)+35x\times (ln(x))’\\\hspace{0.9cm}=-30x+15+35ln(x)+35x\times \frac{1}{x}\\\hspace{0.9cm}=-30x+15+35ln(x)+35\\\hspace{0.9cm}=-30x+50+35ln(x)\\\hspace{0.9cm}=f(x)

 

 

Comme B'(x)=f(x), on va utiliser le tableau de signes de f pour en déduire les variations de B.

Voici le tableau de variations de  B sur [1;4].

D’après le tableau de variations de  B sur [1;4].

Le maximum est B(\alpha).

On remplace \alpha par 2.914 dans B(x)=-15x^2+15x+35xln(x).

B(2.914)=-15\times 2.914^2+15\times 2.914+35\times 2.914 \times ln(2.914)

B(2.914)=25.42

Le maximum est 25.42 milliers d’euros, soit 25420 euros.

 

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.