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TC. Problème n°5

Dans le plan muni d’un repère, on considère ci-dessous la courbe C_f représentative d’une
fonction f , deux fois dérivable sur l’intervalle ]0;+\infty[.
La courbe C_f admet une tangente horizontale T au point A(1;4).

1. Préciser les valeurs f(1) et f'(1).

correction

On admet que la fonction f est définie pour tout réel x de l’intervalle ]0;+\infty[ par :

f(x)=\frac{a+bln(x)}{x}

où a et b sont deux nombres réels.

2. Démontrer que, pour tout réel x strictement positif, on a :

f'(x)=\frac{b-a-bln(x)}{x^2}

correction

3. En déduire les valeurs des réels a et b.

correction

Dans la suite de l’exercice, on admet que la fonction f est définie sur l’intervalle ]0;+\infty[ par : f(x)=\frac{4+4ln(x)}{x}

Avant de poursuivre l’exercice, il est bon de programmer sa TI 83 Premium CE.

je programme ma calculatrice

4. Déterminer les limites de la fonction f en 0^{+} et en  +\infty.

correction limite en 0
correction limite en +\infty

5. Déterminer le tableau de variations de f sur l’intervalle ]0;+\infty[.

correction

6. Démontrer que, pour tout réel x strictement positif, on a :

f"(x)=\frac{-4+8ln(x)}{x^3}.

correction

7. Montrer que la courbe C_f possède un unique point d’inflexion B dont on précisera les coordonnées.

correction

©2020 – Math’O karé SAS

Le point de la courbe d’abscisse 1 est le point A et son ordonnée est égale à 4. Donc f(1)=4.

La tangente à la courbe au point A est horizontale donc f'(1)=0.

f(x)=\frac{a+bln(x)}{x}

1.On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est le quotient de deux fonctions \frac{u}{ v} avec  u(x)=a+bln(x) et v(x)=x.

On va utiliser la ligne n°5 du tableau n°1 ci-dessous.

Dérivées et opérations

f(x) est 

f'(x) se calcule ainsi :

une somme u+v

u’+v’

le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku

k\times u’

un produit de deux fonctions u\times v

u’\times v+u\times v’

l’inverse d’une fonction \frac{1}{u}

-\frac{u’}{u^2}

un quotient \frac{u}{v}

 \frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}

Dérivées et fonctions composées

FonctionDérivée
v\circ u (v’\circ u)\times u’
u^2 2u’u
u^3 3u’u^2
u^n nu’u^{n-1}
\frac{1}{u} -\frac{u’}{u^2}
\sqrt{u} \frac{u’}{2\sqrt{u}}
cos(u) -u’sin(u)
sin(u) u’cos(u)
e^{u} u’e^{u}
ln(u) \frac{u’}{u}
\frac{1}{u^{n}} -\frac{nu’}{u^{n+1}}

2a.on veut calculer la dérivée  u'(x)

u(x)=a+bln(x) est une  somme, on utilise la 1ère ligne du tableau « Dérivées et opérations ». 

u'(x)=(a+bln(x))’

u'(x)=(a)’+(bln(x))’

u'(x)=0+b(ln(x))’

u'(x)=b\times \frac{1}{x}

u'(x)=\frac{b}{x}

2b.on veut calculer la dérivée  v'(x)

v(x)=x est une  fonction de référence, on utilise la 2ième ligne du tableau « Dérivées des fonctions de référence ». 

v'(x)=(x)’

v'(x)=1

Dérivées des fonctions de référence

 
Fonctionf(x)Dérivable sur f'(x)
constantef(x)=k\mathbf{R}f'(x)=0
identitéf(x)=x\mathbf{R}f'(x)=1
carréf(x)=x^2\mathbf{R}f'(x)=2x
cubef(x)=x^3\mathbf{R}f'(x)=3x^2
puissance nf(x)=x^n\mathbf{R}f'(x)=nx^{n-1}
inversef(x)=\frac{1}{x}\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[f'(x)=-\frac{1}{x^2}
racine carréef(x)=\sqrt{x}]0;+\infty[ f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
exponentiellef(x)=e^x\mathbf{R}f'(x)=e^x
sinusf(x)=sin(x)\mathbf{R}f'(x)=cos(x)
cosinusf(x)=cos(x)\mathbf{R}f'(x)=-sin(x)
logarithme népérienf(x)=ln(x)]0;+\infty[ f'(x)=\frac{1}{x}

3. On calcule la dérivée f'(x) 

On remplace u par  a+bln(x),  v par x, u’ par  \frac{b}{x} et v’ par 1 dans la formule \frac{u’\times v-u\times v’}{v^2} 

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)= (\frac{a+bln(x)}{x})’\\f'(x)=\frac{(a+bln(x))’\times{(x)}-{(a+bln(x))}\times{(x)’}}{x^2}\\f'(x)=\frac{\frac{b}{x}\times{x}-(a+bln(x))\times{1}}{x^2}\\f'(x)=\frac{b-(a+bln(x))}{x^2}\\f'(x)=\frac{b-a-bln(x))}{x^2}

 

Quand on écrit : en déduire les valeurs des réels a et b, cela signifie qu’on doit utiliser les résultats des questions précédentes.

Dans la question 1, on a lu graphiquement :

f(1)=4 et f'(1)=0.

Dans la question 2, on a montré que  :

f'(x)=\frac{b-a-bln(x)}{x^2}.

On va exprimer f(1) en remplaçant x par 1 dans f(x)=\frac{a+bln(x)}{x}

f(1)=\frac{a+bln(1)}{1}

f(1)=\frac{a+b\times 0}{1}

f(1)=\frac{a}{1}

f(1)=a

Puis on remplace f(1) par a dans f(1)=4

Donc  a=4.

On va exprimer f'(1) en remplaçant x par 1 dans f'(x)=\frac{b-a-bln(x)}{x^2}

f'(1)=\frac{b-a-bln(1)}{1^2}

f'(1)=\frac{b-a-b\times 0}{1}

f'(1)=\frac{b-a}{1}

f'(1)=b-a

On remplace a par 4.

f'(1)=b-4

Et on remplace f'(1) par b-4 dans f'(1)=0

Donc b-4=0

b=4.

Donc f(x)=\frac{4+4ln(x)}{x}.

Remarque : il arrive que dans certains énoncés comme c’est le cas ici, la fonction trouvée apparaisse dans la suite de l’exercice.

 

Au clavier

A l’écran

Taper sur la touche f(x) en haut à gauche du clavier de la calculatrice.

En général le mode fonction est activé par défaut.

Si ce n’est pas le cas, taper sur la touche mode et sélectionner FONCTION sur la 5ème ligne. Puis quitter avec 2nde mode

On programme la fonction en complétant la ligne Y1= . Pour saisir x taper au clavier sur la touche X,T,O,n.

Pour afficher la table de valeurs, taper sur la touche 2nde et sur la touche graphe, le tableur apparaît. On peut modifier les paramètres du tableur, pour cela faire 2nde puis fenêtre et effectuer les modifications souhaitées.

Compte-tenu du tableau obtenu précédemment, on modifie l’affichage du graphique en tapant sur la touche fenêtre et en modifiant les valeurs déjà présentes.

Voici par exemple, un paramétrage possible.

Taper sur la touche graphe, la représentation graphique de la fonction apparaît.

On veut calculer lim_{x\to 0^{+}}\hspace{0.2cm}f(x).

Regardons d’abord avec le tableur et la courbe de la calculatrice, vers quelle valeur se rapprochent les f(x) quand les x se rapprochent de 0 par valeurs supérieures.

En lisant le tableur du bas vers le haut, il semble que les  f(x) se rapprochent de -\infty quand les  x se rapprochent de 0.

La fonction est le quotient de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est un quotient, f/g.

\lim f=lll+\infty-\infty+\infty
\lim g=l’+\infty-\infty+\infty-\infty-\infty
\lim f+g=l+l’+\infty-\infty+\infty-\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.

\lim f=ll\ne0\infty0
\lim g=l’\infty\infty\infty
\lim fg=l\times l’\infty\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim f=ll\ne0l\infty\infty0
\lim g=l’\ne00\inftyl\infty0
\lim\frac{f}{g}=\frac{l}{l’}\infty0\inftyForme indéterminéeForme indéterminée

Remarque

quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c

lim_{x\to{0^{+}}}\hspace{0.2cm}4+4ln(x)=-\infty.

lim_{x\to{0^+}}\hspace{0.2cm}x=0^+

D’après le théorème sur le quotient,  lim_{x\to 0^+}\hspace{0.2cm}\frac{4+4ln(x)}{x}=-\infty

 

On veut calculer lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{4+4ln(x)}{x}.

Regardons d’abord avec le tableur et la courbe de la calculatrice, vers quelle valeur se rapprochent les f(x) quand les x deviennent très grands.

Il semble que les  f(x) se rapprochent de 0.

La fonction est le quotient de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est un quotient, f/g.

\lim f=lll+\infty-\infty+\infty
\lim g=l’+\infty-\infty+\infty-\infty-\infty
\lim f+g=l+l’+\infty-\infty+\infty-\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.

\lim f=ll\ne0\infty0
\lim g=l’\infty\infty\infty
\lim fg=l\times l’\infty\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim f=ll\ne0l\infty\infty0
\lim g=l’\ne00\inftyl\infty0
\lim\frac{f}{g}=\frac{l}{l’}\infty0\inftyForme indéterminéeForme indéterminée

Remarque

quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c

lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}4+4ln(x)=+\infty.

lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}x=+\infty 

Le théorème sur le quotient ne permet pas de conclure pour lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{4+4ln(x)}{x} car on tombe sur une forme indéterminée.

Si on connaît son cours, on sait qu’on peut utiliser un résultat sur les croissances comparées et que dans le cours on a admis que :

lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{ln(x)}{x}=0.

On modifie l’écriture de f(x) qui devient une somme.

lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{4}{x}+\frac{4ln(x)}{x}.

cliquer sur + La fonction est une somme f+g.

lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}\frac{4}{x}=0.

lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}4\frac{ln(x)}{x}=0 par croissance comparée

Donc par somme, lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}\frac{4}{x}+\frac{4ln(x)}{x}=0.

Donc lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}f(x)=0.

 

 

On peut conjecturer les variations de f en les lisant graphiquement à l’aide de la courbe de la calculatrice ci-dessous.

Elle semble croissante sur ]0;1] et décroissante sur [1;+\infty[.

Partie 1 : calcul de f'(x)

On sait que f'(x)= \frac{b-a-bln(x)}{x^2}

Il ne reste plus qu’à remplacer a et b par 4 dans  f'(x)= \frac{b-a-bln(x)}{x^2}.

f'(x)= \frac{4-4-4ln(x)}{x^2}\\f'(x)=- \frac{4ln(x)}{x^2}

Partie 2 : étude du signe de f'(x)

 x^2 est positif. Donc f'(x) est du signe de -4ln(x).

On dresse le tableau de signes du produit sur ]0;+\infty[.

Donc f'(x) est positif sur ]0;1] et négatif sur [1;+\infty[

Partie 3 : tableau de variations de f

Comme f'(x) est positif sur ]0;1], f est croissante sur ]0;1].

Comme f'(x) est négatif sur [1;+\infty[, f est décroissante sur [1;+\infty[.

Il ne reste plus qu’à dresser le tableau de variations de f sur ]0;+\infty[.

 

 

On veut montrer que f"(x)=\frac{-4+8ln(x)}{x^3}.

f'(x)= -\frac{4ln(x)}{x^2} pour x\in ]0;+\infty[.

1.On veut calculer f"(x).

On répond à la question suivante : f'(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est l’opposé du quotient de deux fonctions \frac{u}{ v} avec  u(x)=4ln(x) et v(x)=x^2.

On va utiliser la ligne n°5 du tableau n°1 ci-dessous.

Dérivées et opérations

f(x) est 

f'(x) se calcule ainsi :

une somme u+v

u’+v’

le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku

k\times u’

un produit de deux fonctions u\times v

u’\times v+u\times v’

l’inverse d’une fonction \frac{1}{u}

-\frac{u’}{u^2}

un quotient \frac{u}{v}

 \frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}

Dérivées et fonctions composées

FonctionDérivée
v\circ u (v’\circ u)\times u’
u^2 2u’u
u^3 3u’u^2
u^n nu’u^{n-1}
\frac{1}{u} -\frac{u’}{u^2}
\sqrt{u} \frac{u’}{2\sqrt{u}}
cos(u) -u’sin(u)
sin(u) u’cos(u)
e^{u} u’e^{u}
ln(u) \frac{u’}{u}
\frac{1}{u^{n}} -\frac{nu’}{u^{n+1}}

2a.on veut calculer la dérivée  u'(x)

u(x)=4ln(x) est le produit d’une constante et d’une fonction, on utilise la 2ième ligne du tableau « Dérivées et opérations ». 

u'(x)=(4ln(x))’

u'(x)=4(ln(x))’, ln(x)est une  fonction de référence, on utilise la dernière ligne du tableau « Dérivées des fonctions de référence »

u'(x)=4\times {\frac{1}{x}}

u'(x)={\frac{4}{x}}

2b.on veut calculer la dérivée  v'(x)

v(x)=x^2 est une  fonction de référence, on utilise la 3ième ligne du tableau « Dérivées des fonctions de référence ». 

v'(x)=(x^2)’

v'(x)=2x

Dérivées des fonctions de référence

 
Fonctionf(x)Dérivable sur f'(x)
constantef(x)=k\mathbf{R}f'(x)=0
identitéf(x)=x\mathbf{R}f'(x)=1
carréf(x)=x^2\mathbf{R}f'(x)=2x
cubef(x)=x^3\mathbf{R}f'(x)=3x^2
puissance nf(x)=x^n\mathbf{R}f'(x)=nx^{n-1}
inversef(x)=\frac{1}{x}\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[f'(x)=-\frac{1}{x^2}
racine carréef(x)=\sqrt{x}]0;+\infty[ f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
exponentiellef(x)=e^x\mathbf{R}f'(x)=e^x
sinusf(x)=sin(x)\mathbf{R}f'(x)=cos(x)
cosinusf(x)=cos(x)\mathbf{R}f'(x)=-sin(x)
logarithme népérienf(x)=ln(x)]0;+\infty[ f'(x)=\frac{1}{x}

3. On calcule la dérivée f"(x) 

On remplace u par  4ln(x),  v par x^2, u’ par  \frac{4}{x} et v’ par 2x dans la formule \frac{u’\times v-u\times v’}{v^2} 

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie, attention de ne pas oublier le signe moins devant :

f"(x)= -(\frac{4ln(x)}{x^2})’\\f"(x)=-\frac{(4ln(x))’\times{x^2}-{4ln(x)}\times{(x^2)’}}{(x^2)^2}\\f"(x)=-\frac{\frac{4}{x}\times{x^2}-{4ln(x)}\times{2x}}{x^4}\\f"(x)=-\frac{4x-8xln(x)}{x^4}\\f"(x)=\frac{-4x+8xln(x))}{x^4}

On met  x en facteur au numérateur.

f"(x)=\frac{x(-4+8ln(x))}{x\times x^3}

On simplifie par x

f"(x)=\frac{-4+8ln(x)}{x^3}

 

 

On veut montrer que la courbe C_f possède un unique point d’inflexion B dont on précisera les coordonnées.

On va montrer que f"(x)=\frac{-4+8ln(x)}{x^3} s’annule en changeant de signe.

Comme x\in]0;+\infty[, x^3 est positif et donc f"(x) est du signe de -4+8ln(x).

Il faut donc étudier le signe de -4+8ln(x).

On utilise la première ligne du tableau ci-dessous, cliquer sur + la quantité est une somme.

  1. de nombres positifs alors la quantité est positive.
  2. de nombres négatifs alors la quantité est négative.
  3. de nombres de signes contraires ou indéterminés alors on ne peut pas conclure

On peut factoriser et étudier le signe d’un produit

On peut résoudre la quantité >0 

…

On utilise le tableau suivant :

On utilise le résultat du cours suivant :

si \Delta>0

si \Delta=0

si \Delta<0

La quantité est toujours positive.

Exemples : les quantités x^2 , (2x+5)^4 sont toujours positives

La quantité est du signe de ce qui est élevé à la puissance.

Exemple : la quantité x^3 est du signe de x, la quantité (2x-1)^5 est du signe de 2x-1.

On fait un tableau de signes comme en seconde.

On étudie le signe du numérateur et le signe du dénominateur. Si nécessaire, ensuite on fait un tableau de signes comme en seconde.

On calcule la dérivée, on étudie son signe et on fait le tableau de variations. Ensuite, sur la dernière ligne du tableau de variations, on lit le signe de la quantité.  

On va résoudre -4+8ln(x)\geq 0

-4+8ln(x)\geq 0

8ln(x)\geq 4

ln(x)\geq \frac{4}{8}

ln(x)\geq \frac{1}{2}

ln(x)\geq ln(e^{\frac{1}{2}})

x\geq e^{\frac{1}{2}}

x\geq \sqrt{e}

Sur la ligne de signe de  -4+8ln(x), on met des + à droite de la valeur \sqrt{e} puis on complète avec des –

Ainsi f"(x)=\frac{-4+8ln(x)}{x^3} s’annule en changeant de signe pour x=\sqrt{e} et donc C_f admet un point d’inflexion B d’abscisse \sqrt{e}.

Calculons l’ordonnée de B.

f(\sqrt{e})=\frac{4+4ln(\sqrt{e})}{\sqrt{e}}\\f(\sqrt{e})=\frac{4+4ln(e^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{e}}\\f(\sqrt{e})=\frac{4+4\times \frac{1}{2} ln(e)}{\sqrt{e}}\\f(\sqrt{e})=\frac{4+4\times \frac{1}{2} \times 1}{\sqrt{e}}\\f(\sqrt{e})=\frac{4+2}{\sqrt{e}}\\f(\sqrt{e})=\frac{6}{\sqrt{e}}

Donc le point B a pour coordonnées (\sqrt{e};\frac{6}{\sqrt{e}})

 

 

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.