T. Calcul intégral

Intégrale d’une fonction continue et positive

Sommaire

1. 1. Intégrale d’une fonction continue et positive
   1. 1.1. Définition
   2. 1.2. Calculer une intégrale avec Géogébra
   3. 1.3. Exercice n°1
2. 2. Intégrale d’une fonction continue
   1. 2.1. Théorème fondamental
   2. 2.2. Calcul de l’intégrale d’une fonction continue
   3. 2.3. Exercice n°2
   4. 2.4. Exercice n°3
3. 3. Propriétés et intégration par parties
   1. 3.1. Propriétés
   2. 3.2. Exercice n°4
   3. 3.3. Exercice n°5
   4. 3.4. Exercice n°6
   5. 3.5. Intégration par parties
   6. 3.6. Exercice n°7
4. 4. Applications du calcul intégral
   1. 4.1. Calculs d’aires
   2. 4.2. Exercice n°8
   3. 4.3. Exercice n°9
   4. 4.4. Propriété
   5. 4.5. Exercice n°10
   6. 4.6. Valeur moyenne d’une fonction
   7. 4.7. Propriété
   8. 4.8. Exercice n°11

Calculer une intégrale avec Géogébra

Après avoir saisi la fonction, par exemple   f(x)=\sqrt{x}.

Il faut saisir en-dessous , dans la colonne Algèbre située à gauche de l’écran, intégrale(f,0,4).

La valeur de l’intégrale s’affiche dans la colonne Algèbre et l’aire correspondante apparaît en couleur dans le repère.

Exercice n°1

En utilisant, la page Géogébra ci_dessus, calculer les intégrales suivantes ( il n’est pas nécessaire de tout retaper, modifier juste ce qui doit l’être ). On a choisi des fonctions continues et positives sur leur intervalle d’intégration.

Intégrale d’une fonction continue

Théorème fondamental

Soit f une fonction continue sur un intervalle [a;b].

La fonction F_a définie sur [a;b] par F_a(x)=\int_a^x f(f)\hspace{0.05cm}dt est la primitive de f sur  [a;b] qui s’annule en a.

C’est-à-dire que pout tout x de [a;b] , F_a'(x)=f(x).

Calcul de l’intégrale d’une fonction continue

Propriété

Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b].

Si F est une primitive de  f alors  \int_a^b f(x)\hspace{0.05cm}dx=F(b)-F(a).

Propriété

Toute fonction continue  sur un intervalle I admet des primitives sur I.

Définition

Soit f une fonction continue sur un intervalle I , F une une primitive de  f et a et b deux réels de  I. On appelle intégrale de a à b de f le réel noté \int_a^b f(x)\hspace{0.05cm}dx=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a).

Exercice n°2

Calculer les intégrales suivantes en utilisant la définition ci-dessus.

Exercice n°3

Calculer les intégrales suivantes en utilisant la définition ci-dessus.

Propriétés et intégration par parties

Propriétés

Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I.

a,b,c sont trois réels de l’intervalle I et k est une constante réelle.

1. \int_{a}^a f(x)\hspace{0.05cm}dx=0

2. \int_{b}^a f(x)\hspace{0.05cm}dx=-\int_{a}^b f(x)\hspace{0.05cm}dx

3. \int_{a}^b kf(x)\hspace{0.05cm}dx=k\int_{a}^b f(x)\hspace{0.05cm}dx

4. \int_{a}^b (f(x)+g(x))\hspace{0.05cm}dx=\int_{a}^b f(x)\hspace{0.05cm}dx +\int_{a}^b g(x)\hspace{0.05cm}dx

5. \int_{a}^b f(x)\hspace{0.05cm}dx+\int_{b}^c f(x)\hspace{0.05cm}dx =\int_{a}^c f(x)\hspace{0.05cm}dx

6. Si pour tout x de [a;b], f(x)\geq 0 alors \int_{a}^b f(x)\hspace{0.05cm}dx\geq 0

7. Si pour tout x de [a;b], f(x)\geq g(x) alors \int_{a}^b f(x)\hspace{0.05cm}dx\geq \int_{a}^b g(x)\hspace{0.05cm}dx

Exercice n°4

Soit I=\int_{0}^1 \frac{e^x}{e^x+1}\hspace{0.05cm}dx et J=\int_{0}^1 \frac{1}{e^x+1}\hspace{0.05cm}dx

1. Utiliser la propriété n°4 et calculer ensuite la valeur de I+J

2. Calculer la valeur de I

3. Déduire des questions précédentes la valeur de J.

Exercice n°5

En utilisant la relation de Chasles, calculer  \int_{-2}^4 |x|\hspace{0.05cm}dx

Exercice n°6

1. Donner un encadrement de  ln(x) sur l’intervalle [1;e]

2. En utilisant la propriété n°7, en déduire que  0\leq \int_{1}^e x^2ln(x)\hspace{0.05cm}dx\leq \frac{e^3-1}{3} .

Intégration par parties

Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I et dont les dérivées u' et v' sont continues sur I .

a,b sont deux réels de l’intervalle I.

\int_{b}^a u(x)v'(x)\hspace{0.05cm}dx=[u(x)v(x)]_{a}^b-\int_{a}^b u'(x)v(x)\hspace{0.05cm}dx

Exercice n°7

Calculer les intégrales suivantes à l’aide d’une intégration par parties..

Applications du calcul intégral

Calculs d’aires

Exercice n°8

Soit f une fonction définie sur ]0;+\infty[  par f(x)=\frac{ln(x)}{x^2}.

Calculer, en unités d’aire, l’aire du domaine compris  entre la courbe  C_f , l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives x=1 et x=e.

On utilisera une intégration par parties.

Exercice n°9

Soit f une fonction définie sur \mathbf{R}  par f(x)=-2xe^{-x^2}.

Calculer, en unités d’aire, l’aire du domaine compris  entre la courbe  C_f , l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives x=0 et x=3.

Propriété

Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I telles que f(x)\leq g(x)

Soient deux réels a et b de l’intervalle I tels que a<b.

L’aire ( en unités d’aire) de la partie du plan limitée par x=a , x=b , C_f et C_g est égale à :

\int_{a}^b (g(x)-f(x))\hspace{0.05cm}dx

Exercice n°10

Soient f et g les fonctions définies sur \mathbf{R}  par
f(x)=e^x et g(x)=2e^{\frac{x}{2}}-1.

On admet que f(x)\geq g(x) Calculer, en unité d’aire, l’aire du domaine compris entre les courbes ) Calculer, en unité d’aire, l’aire du domaine compris entre les courbes C_f et C_g et les droites d’équations respectives x=0 et x=1.

Valeur moyenne d’une fonction

Propriété

Soit f une fonction continue sur un intervalle [a;b].

On appelle valeur moyenne de f sur [a;b] le réel suivant :

\frac{1}{b-a}\int_{a}^b f(x)\hspace{0.05cm}dx

Exercice n°11

Calculer la valeur moyenne de f sur l’intervalle proposé