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T. Exercice type bac sur les fonctions (page Facebook).

Exercice 

Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0;+\infty[ par : f(x)=\frac{e^x}{x}
On note C_f la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé.
Avant de commencer l’exercice, il est bon de programmer sa TI 83 Premium CE.

je programme ma calculatrice

Au cours de l’exercice, on peut aussi utiliser la fenêtre active Géogébra ci-dessous pour conjecturer ou valider. Elle est composée de trois colonnes : la colonne à gauche est la colonne Algèbre, celle de milieu permet de faire du calcul formel ( calcul de dérivée, développer, factoriser, résoudre,…) et celle de droite correspond au graphique.

1. a. Préciser la limite de la fonction f en +\infty.

correction

b. Justifier que l’axe des ordonnées est asymptote à la courbe C_f.

correction

2. Montrer que, pour tout nombre réel x de l’intervalle ]0;+\infty[, on a : f'(x)=\frac{e^x(x-1)}{x^2}
où f’désigne la fonction dérivée de la fonction f.

correction

3. Déterminer les variations de la fonction f sur l’intervalle ]0;+\infty[.
On établira un tableau de variations de la fonction f dans lequel apparaîtront les limites

correction

4. Soit m un nombre réel. Préciser, en fonction des valeurs du nombre réel m, le nombre de solutions de l’équation f(x)=m.

correction

5. On note \Delta la droite d’équation y=-x.
On note A un éventuel point de C_f d’abscisse a en lequel la tangente à la courbe C_f est parallèle à la droite \Delta.
a. Montrer que a est solution de l’équation e^x(x-1)+x^2=0.

correction

On note g la fonction définie sur [0;+\infty[par g(x)=e^x(x-1)+x^2
On admet que la fonction g est dérivable et on note g’ sa fonction dérivée

b. Calculer g'(x) pour tout nombre réel x de l’intervalle [0;+\infty[, puis dresser le tableau de variations de g sur [0;+\infty[.

correction

c. Montrer qu’il existe un unique point A en lequel la tangente à C_f est parallèle à la droite \Delta.

correction

©2020 – Math’O karé SAS

Au clavier

A l’écran

Taper sur la touche f(x) en haut à gauche du clavier de la calculatrice.

En général le mode fonction est activé par défaut.

Si ce n’est pas le cas, taper sur la touche mode et sélectionner FONCTION sur la 5ème ligne. Puis quitter avec 2nde mode

On programme la fonction en complétant la ligne Y1= . Pour saisir x taper au clavier sur la touche X,T,O,n.

Pour afficher la table de valeurs, taper sur la touche 2nde et sur la touche graphe, le tableur apparaît. On peut modifier les paramètres du tableur, pour cela faire 2nde puis fenêtre et effectuer les modifications souhaitées, par exemple Début Tbl=0, Tbl=0.5,  AUTO et AUTO.

Remarque : on voit bien que 0 n’a pas d’image.

Compte-tenu du tableau obtenu précédemment, on modifie l’affichage du graphique en tapant sur la touche fenêtre et en modifiant les valeurs déjà présentes.

Voici par exemple, un paramétrage possible.

Taper sur la touche graphe, la représentation graphique de la fonction apparaît.

On veut calculer lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{e^x}{x}.

Regardons d’abord avec le tableur et la courbe de la calculatrice, vers quelle valeur se rapprochent les f(x) quand les x deviennent très grands.

Il semble que les  f(x) se rapprochent de +\infty.

La fonction est le quotient de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est un quotient, f/g.

\lim f=lll+\infty-\infty+\infty
\lim g=l’+\infty-\infty+\infty-\infty-\infty
\lim f+g=l+l’+\infty-\infty+\infty-\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.

\lim f=ll\ne0\infty0
\lim g=l’\infty\infty\infty
\lim fg=l\times l’\infty\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim f=ll\ne0l\infty\infty0
\lim g=l’\ne00\inftyl\infty0
\lim\frac{f}{g}=\frac{l}{l’}\infty0\inftyForme indéterminéeForme indéterminée

Remarque

quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c

lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}e^x=+\infty.

lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}x=+\infty 

Le théorème sur le quotient ne permet pas de conclure pour lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{e^x}{x} car on tombe sur une forme indéterminée.

Si on connaît son cours, on sait qu’on peut utiliser un résultat sur les croissances comparées et que dans le cours on a admis que :

lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{e^x}{x}=+\infty.

Donc lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}f(x)=+\infty

 

Pour justifier que l’axe des ordonnées est asymptote à la courbe C_f, il faut montrer que

lim_{x\to 0}\hspace{0.2cm}f(x)=+ou-\infty.

Regardons d’abord avec le tableur et la courbe de la calculatrice, vers quelle valeur se rapprochent les f(x) quand les x se rapprochent de 0.

En lisant le tableur du bas vers le haut, il semble que les  f(x) se rapprochent de +\infty quand les  x se rapprochent de 0.

La fonction est le quotient de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est un quotient, f/g.

\lim f=lll+\infty-\infty+\infty
\lim g=l’+\infty-\infty+\infty-\infty-\infty
\lim f+g=l+l’+\infty-\infty+\infty-\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.

\lim f=ll\ne0\infty0
\lim g=l’\infty\infty\infty
\lim fg=l\times l’\infty\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim f=ll\ne0l\infty\infty0
\lim g=l’\ne00\inftyl\infty0
\lim\frac{f}{g}=\frac{l}{l’}\infty0\inftyForme indéterminéeForme indéterminée

Remarque

quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c

lim_{x\to{0}}\hspace{0.2cm}e^x=1.

lim_{x\to{0^+}}\hspace{0.2cm}x=0^+

D’après le théorème sur le quotient,  lim_{x\to 0^+}\hspace{0.2cm}\frac{e^x}{x}=+\infty

Donc l’axe des ordonnées est asymptote à la courbe C_f.

 

On veut montrer que f'(x)=\frac{e^x(x-1)}{x^2}

Ici le résultat du calcul de la dérivée est donné dans la question. Si cela n’avait pas été le cas, on peut conjecturer le résultat à l’aide de la fenêtre Géogébra donnée au début de l’exo. Pour cela saisir f(x)= \frac{e^x}{x} dans la colonne Calcul Formel ( celle du milieu) et cliquer sur l’onglet f’. La forme est bizarre mais comme ln(e)=1 ce sera la même que celle qu’obtient à la fin de la correction.

f(x)= \frac{e^x}{x} pour x\in ]0;+\infty[ .

1.On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est le quotient de 2 fonctions \frac{u}{ v} avec  u(x)=e^x et v(x)=x

On va utiliser la ligne n°5 du tableau n°1 ci-dessous.

Dérivées et opérations

f(x) est 

f'(x) se calcule ainsi :

une somme u+v

u’+v’

le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku

k\times u’

un produit de deux fonctions u\times v

u’\times v+u\times v’

l’inverse d’une fonction \frac{1}{u}

-\frac{u’}{u^2}

un quotient \frac{u}{v}

 \frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}

Dérivées et fonctions composées

FonctionDérivée
v\circ u (v’\circ u)\times u’
u^2 2u’u
u^3 3u’u^2
u^n nu’u^{n-1}
\frac{1}{u} -\frac{u’}{u^2}
\sqrt{u} \frac{u’}{2\sqrt{u}}
cos(u) -u’sin(u)
sin(u) u’cos(u)
e^{u} u’e^{u}
ln(u) \frac{u’}{u}
\frac{1}{u^{n}} -\frac{nu’}{u^{n+1}}

2.a.on veut calculer la dérivée  u'(x)

u(x)=e^x c’est une fonction de référence, on utilise la ligne n°8 du tableau Dérivées des fonctions de référence

u'(x)=(e^x)’

u'(x)=e^x

2.b.on veut calculer la dérivée  v'(x)

v(x)=x c’est une fonction de référence, on utilise la ligne n°2 du tableau Dérivées des fonctions de référence

v'(x)=(x)’

v'(x)=1

Dérivées des fonctions de référence

 
Fonctionf(x)Dérivable sur f'(x)
constantef(x)=k\mathbf{R}f'(x)=0
identitéf(x)=x\mathbf{R}f'(x)=1
carréf(x)=x^2\mathbf{R}f'(x)=2x
cubef(x)=x^3\mathbf{R}f'(x)=3x^2
puissance nf(x)=x^n\mathbf{R}f'(x)=nx^{n-1}
inversef(x)=\frac{1}{x}\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[f'(x)=-\frac{1}{x^2}
racine carréef(x)=\sqrt{x}]0;+\infty[ f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
exponentiellef(x)=e^x\mathbf{R}f'(x)=e^x
sinusf(x)=sin(x)\mathbf{R}f'(x)=cos(x)
cosinusf(x)=cos(x)\mathbf{R}f'(x)=-sin(x)
logarithme népérienf(x)=ln(x)]0;+\infty[ f'(x)=\frac{1}{x}

3. On calcule la dérivée f'(x) 

On remplace u(x) par  e^x, v(x) par  x ,  u'(x) par e^x et v'(x) par  1 dans la formule \frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)= (\frac{e^x}{x})’\\f'(x)= \frac{(e^x)’\times x-e^x\times (x)’}{x^2}\\f'(x)= \frac{e^x\times x-e^x\times 1}{x^2}\\f'(x)= \frac{e^xx-e^x}{x^2}

On met e^x en facteur

f'(x)= \frac{e^x(x-1)}{x^2}

 

 

On veut déterminer les variations de la fonction f sur l’intervalle ]0;+\infty[.
On établira un tableau de variations de la fonction f dans lequel apparaîtront les limites.

Utilisons la courbe de la calculatrice pour conjecturer les variations de f.

Il semble que la fonction f soit décroissante entre 0 et 1 et croissante ensuite.

Il faut étudier le signe de f'(x)=\frac{e^x(x-1)}{x^2}.

Comme e^x et x^2 sont toujours positifs, f'(x) est du signe de x-1.

On utilise la deuxième ligne du tableau ci-dessous, cliquer sur + la quantité est de la forme ax+b.

  1. de nombres positifs alors la quantité est positive.
  2. de nombres négatifs alors la quantité est négative.
  3. de nombres de signes contraires ou indéterminés alors on ne peut pas conclure

On peut factoriser et étudier le signe d’un produit

On peut résoudre la quantité >0 

…

On utilise le tableau suivant :

On utilise le résultat du cours suivant :

si \Delta>0

si \Delta=0

si \Delta<0

La quantité est toujours positive.

Exemples : les quantités x^2 , (2x+5)^4 sont toujours positives

La quantité est du signe de ce qui est élevé à la puissance.

Exemple : la quantité x^3 est du signe de x, la quantité (2x-1)^5 est du signe de 2x-1.

On fait un tableau de signes comme en seconde.

On étudie le signe du numérateur et le signe du dénominateur. Si nécessaire, ensuite on fait un tableau de signes comme en seconde.

On calcule la dérivée, on étudie son signe et on fait le tableau de variations. Ensuite, sur la dernière ligne du tableau de variations, on lit le signe de la quantité.  

On a a=1, b=-1, -\frac{b}{a}=-\frac{-1}{1}=1 et le signe de a est positif.

Voici le tableau de signes de  x-1 sur ]0;+\infty[

Puis on dresse le tableau de variations de f sur ]0;+\infty[. 

 

 

On peut conjecturer par lecture de la courbe :

On peut lire le tableau de variations de f :

Si  m<e, alors l’équation f(x)=m n’admet aucune solution.

Si  m=e, alors l’équation f(x)=m admet une solution : 1.

Si  m>e, alors l’équation f(x)=m admet exactement deux solutions.

 

Le coefficient directeur de \Delta : y=-x est -1.
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe C_f au point d’abscisse a vaut f'(a).

La tangente et la droite \Delta sont parallèles donc elles ont même coefficient directeur : f'(a)=-1.

On peut dire aussi dire que a est solution de f'(x)=-1
On remplace f'(x) par \frac{e^x(x-1)}{x^2} dans f'(x)=-1.

a est solution de \frac{e^x(x-1)}{x^2}=-1

On multiplie par x^2 de chaque côté.

a est solution de e^x(x-1)=-x^2

On ajoute x^2 de chaque côté.

a est solution de e^x(x-1)+x^2=0.

Partie 1 : calcul de g'(x)

On peut conjecturer le résultat à l’aide de la fenêtre Géogébra donnée au début de l’exo. Pour cela saisir g(x)=e^x(x-1)+x^2 dans la colonne Calcul Formel ( celle du milieu) et cliquer sur l’onglet f’. La forme est bizarre mais comme ln(e)=1 ce sera la même que celle qu’obtient à la fin de la correction.

g(x)= e^x(x-1)+x^2 pour x\in ]0;+\infty[ .

1.On veut calculer g'(x).

On répond à la question suivante : g(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est la somme de deux fonctions u+v avec  u(x)=e^x(x-1) et v(x)=x^2.

On va utiliser la ligne n°1 du tableau n°1 ci-dessous.

Dérivées et opérations

f(x) est 

f'(x) se calcule ainsi :

une somme u+v

u’+v’

le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku

k\times u’

un produit de deux fonctions u\times v

u’\times v+u\times v’

l’inverse d’une fonction \frac{1}{u}

-\frac{u’}{u^2}

un quotient \frac{u}{v}

 \frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}

Dérivées et fonctions composées

FonctionDérivée
v\circ u (v’\circ u)\times u’
u^2 2u’u
u^3 3u’u^2
u^n nu’u^{n-1}
\frac{1}{u} -\frac{u’}{u^2}
\sqrt{u} \frac{u’}{2\sqrt{u}}
cos(u) -u’sin(u)
sin(u) u’cos(u)
e^{u} u’e^{u}
ln(u) \frac{u’}{u}
\frac{1}{u^{n}} -\frac{nu’}{u^{n+1}}

2a.on veut calculer la dérivée  u'(x)

u(x)=e^x(x-1) est un  produit, on utilise la 3ième ligne du tableau « Dérivées et opérations ». 

u'(x)=(e^x)'(x-1)+e^x(x-1)’

u'(x)=e^x(x-1)+e^x\times 1

u'(x)=xe^x-e^x+e^x

u'(x)=xe^x

2b.on veut calculer la dérivée  v'(x)

v(x)=x^2 est une  fonction de référence, on utilise la 3ième ligne du tableau « Dérivées des fonctions de référence ». 

v'(x)=(x^2)’

v'(x)=2x

Dérivées des fonctions de référence

 
Fonctionf(x)Dérivable sur f'(x)
constantef(x)=k\mathbf{R}f'(x)=0
identitéf(x)=x\mathbf{R}f'(x)=1
carréf(x)=x^2\mathbf{R}f'(x)=2x
cubef(x)=x^3\mathbf{R}f'(x)=3x^2
puissance nf(x)=x^n\mathbf{R}f'(x)=nx^{n-1}
inversef(x)=\frac{1}{x}\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[f'(x)=-\frac{1}{x^2}
racine carréef(x)=\sqrt{x}]0;+\infty[ f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
exponentiellef(x)=e^x\mathbf{R}f'(x)=e^x
sinusf(x)=sin(x)\mathbf{R}f'(x)=cos(x)
cosinusf(x)=cos(x)\mathbf{R}f'(x)=-sin(x)
logarithme népérienf(x)=ln(x)]0;+\infty[ f'(x)=\frac{1}{x}

3. On calcule la dérivée g'(x) 

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

g'(x)= (e^x(x-1)+x^2)’\\g'(x)= (e^x(x-1))’+(x^2)’\\g'(x)= (e^x)'(x-1)+e^x(x-1)’+2x\\g'(x)=e^x(x-1)+e^x\times 1+2x\\g'(x)=xe^x-e^x+e^x+2x\\g'(x)=xe^x+2x

Partie 2 : étude du signe de g'(x)

Comme x \in ]0;+\infty[, x est positif. Par définition, e^x et x^2 sont positifs. Donc g'(x) est positif.

Partie 3 : tableau de variations de g

Comme g'(x) est positif, la fonction g est croissante sur ]0;+\infty[.

lim_{x\to 0}\hspace{0.3cm}e^x=1

et lim_{x\to 0}\hspace{0.3cm}(x-1)=-1

Donc, par produit, lim_{x\to 0}\hspace{0.3cm}e^x(x-1)=-1

lim_{x\to 0}\hspace{0.3cm}x^2=0

Donc pas somme, lim_{x\to 0}\hspace{0.3cm}e^x(x-1)+x^2=-1.

lim_{x\to +\infty}\hspace{0.3cm}e^x=+\infty

et lim_{x\to +\infty}\hspace{0.3cm}(x-1)=+\infty

Donc, par produit, lim_{x\to +\infty}\hspace{0.3cm}e^x(x-1)=+\infty

lim_{x\to +\infty}\hspace{0.3cm}x^2=+\infty

Donc pas somme, lim_{x\to +\infty}\hspace{0.3cm}e^x(x-1)+x^2=+\infty.

Il ne reste plus qu’à dresser le tableau de variations de g sur ]0;+\infty[.

 

 

On visualise d’abord le phénomène sur le tableau de variations.

La fonction g est  continue et  strictement croissante sur l’intervalle ]0;+\infty[.

Comme  0\in]-1;+\infty[ alors l’équation g(x)=0 admet une unique solution notée a sur l’intervalle ]0;+\infty[.

Donc il existe un unique point A d’abscisse a en lequel la tangente à C_f est parallèle à la droite \Delta.

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.