Exercice n°1 Polynésie 4 mai 2022
Soit (u_n) la suite définie par u_0=1 et pour tout entier naturel n
u_{n+1}=\frac{u_n}{1+u_n}
1. a. Calculer les termes u_1 , u_2 et u_3 . On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles.
b. Recopier le script python ci-dessous et compléter les lignes 3 et 6 pour que liste(k)
prenne en paramètre un entier naturel k et renvoie la liste des premières valeurs
de la suite (u_n) de u_0 à u_k.
2. On admet que, pour tout entier naturel n, u_n est strictement positif.
Déterminer le sens de variation de la suite (u_n).
3. En déduire que la suite (u_n) converge.
4. Déterminer la valeur de sa limite.
5. a. Conjecturer une expression de u_n en fonction de n.
5. b. Démontrer par récurrence la conjecture précédente