Métropole sujet 2 : 12 mai 2022.
Partie A : études de deux fonctions
On considère les deux fonctions f et g définies sur l’intervalle \left[0;+\infty \right[ par :
f (x) = 0,06 (-x^2+13.7x)
et g(x) =(-0.15x+2.2)e^{0.2x}-2.2
On admet que les fonctions f et g sont dérivables et on notef’ et g’ leurs fonctions dérivées respectives.
1. On donne le tableau de variations complet de la fonction f sur l’intervalle \left[0;+\infty \right[.
a. Justifier la limite de f en +\infty.
b. Justifier les variations de la fonction f.
c. Résoudre l’équation f(x)=0.
2. a. Déterminer la limite de g en +\infty.
b. Démontrer que, pour tout réel x appartenant à \left[0;+\infty \right[ on a : g'(x)=(-0.03x+0.29)e^{0.2x}.
c. Étudier les variations de la fonction g et dresser son tableau de variations sur \left[0;+\infty \right[.
Préciser une valeur approchée à 10^{-2} près du maximum de g.
d. Montrer que l’équation g(x)=0 admet une unique solution non nulle notée \alpha et déterminer, à 10^{-2} près, une valeur approchée de cette solution.
Partie B : trajectoires d’une balle de golf
Pour frapper la balle, un joueur de golf utilise un instrument appelé « club » de golf.
On souhaite exploiter les fonctions f et g étudiées en Partie A pour modéliser de deux façons différentes la trajectoire d’une balle de golf. On suppose que le terrain est parfaitement plat.
On admettra ici que 13.7 est la valeur qui annule la fonction f et une approximation de la valeur qui annule la fonction g.
On donne ci-dessous les représentations graphiques de f et g sur l’intervalle [0;13.7].
Pour x représentant la distance horizontale parcourue par la balle en dizaine de yards après la frappe, (avec 0<x<13.7), f(x) (ou g(x) selon le modèle) représente la hauteur correspondante de la balle par rapport au sol, en dizaine de yards (1 yard correspond à environ 0,914 mètre).
On appelle « angle de décollage » de la balle, l’angle entre l’axe des abscisses et la tangente à la courbe (C_fou C_g selon le modèle) en son point d’abscisse 0. Une mesure de l’angle de décollage de la balle
est un nombre réel d tel que tan(d) est égal au coefficient directeur de cette tangente.
De même, on appelle « angle d’atterrissage » de la balle, l’angle entre l’axe des abscisses et la tangente à la courbe (C_fou C_g selon le modèle) en son point d’abscisse 13,7. Une mesure de l’angle d’atterrissage de la balle est un nombre réel a tel que tan(a) est égal à l’opposé du coefficient directeur de cette tangente.
Tous les angles sont mesurés en degré.
1. Première modélisation : on rappelle qu’ici, l’unité étant la dizaine de yards, x représente la distance horizontale parcourue par la balle après la frappe et f(x) la hauteur correspondante de
la balle.
Selon ce modèle :
a. Quelle est la hauteur maximale, en yard, atteinte par la balle au cours de sa trajectoire ?
b. Vérifier que f'(0)=0.822.
c. Donner une mesure en degré de l’angle de décollage de la balle, arrondie au dixième. (On pourra éventuellement utiliser le tableau ci-dessous).
Tableau : extrait d’une feuille de calcul donnant une mesure en degré d’un angle quand on connait sa tangente :
d. Quelle propriété graphique de la courbe C_f permet de justifier que les angles de décollage et d’atterrissage de la balle sont égaux ?
2. Seconde modélisation : on rappelle qu’ici, l’unité étant la dizaine de yards, x représente la distance horizontale parcourue par la balle après la frappe et g(x) la hauteur correspondante de la balle.
Selon ce modèle :
a. Quelle est la hauteur maximale, en yard, atteinte par la balle au cours de sa trajectoire ?
On précise que g'(0)=0.29 et g'(13.7)=-1.87.
b. Donner une mesure en degré de l’angle de décollage de la balle, arrondie au dixième. (On pourra éventuellement utiliser le tableau précédent).
c. Justifier que 62 est une valeur approchée, arrondie à l’unité près, d’une mesure en degré de l’angle d’atterrissage de la balle.
Partie C : interrogation des modèles
À partir d’un grand nombre d’observations des performances de joueurs professionnels, on a obtenu les résultats moyens suivants :
Quel modèle, parmi les deux étudiés précédemment, semble le plus adapté pour décrire la frappe de
la balle par un joueur professionnel ? La réponse sera justifiée.
