T. bac 2022 probabilités exo n°4 (Centres étrangers 11 mai 2022 sujet 1)

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.
Au cours de la fabrication d’une paire de lunettes, la paire de verres doit subir deux traitements notés
T_1 et T_2.
Partie A
On prélève au hasard une paire de verres dans la production.
On désigne par A l’évènement : « la paire de verres présente un défaut pour le traitement T_1 ».
On désigne par B l’évènement : « la paire de verres présente un défaut pour le traitement T_2 ».
On note respectivement \overline{A} et \overline{B} les évènements contraires de A et B.
Une étude a montré que :
• la probabilité qu’une paire de verres présente un défaut pour le traitement T_1 notée P(A) est
égale à 0.1.
• la probabilité qu’une paire de verres présente un défaut pour le traitement T_2 notée P(B) est
égale à 0.2.
• la probabilité qu’une paire de verres ne présente aucun des deux défauts est 0.75.
1. Recopier et compléter le tableau suivant avec les probabilités correspondantes.

 

A

\overline{A}Total

B

   

\overline{B}

   

Total

   

2. a. Déterminer, en justifiant la réponse, la probabilité qu’une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour au moins un des deux traitements T_1 ou T_2.

b. Donner la probabilité qu’une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente deux défauts, un pour chaque traitement T_1 et T_2.

c. Les évènements A et B sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.

3. Calculer la probabilité qu’une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour un seul des deux traitements

4. Calculer la probabilité qu’une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente
un défaut pour le traitement T_2, sachant que cette paire de verres présente un défaut pour le traitement T_1.

Partie B
On prélève, au hasard, un échantillon de 50 paires de verres dans la production. On suppose que la production est suffisamment importante pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.
On note X la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de ce type, associe le nombre de paires de verres qui présentent le défaut pour le traitement T_1.
1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.

2. Donner l’expression permettant de calculer la probabilité d’avoir, dans un tel échantillon, exactement 10 paires de verres qui présentent le défaut pour le traitement T_1
Effectuer ce calcul et arrondir le résultat à 10^{-3}.

3. En moyenne, combien de paires de verres ayant le défaut pour le traitement T_1 peut-on trouver dans un échantillon
de 50 paires ?

On indique 1 dans la case en bas à droite.

la probabilité qu’une paire de verres présente un défaut pour le traitement T_1 notée P(A) est égale à 0.1.

P(\overline{A})=1-p(A)=1-0.1=0.9
 

A

\overline{A}Total

B

   

\overline{B}

   

Total

0.10.91

la probabilité qu’une paire de verres présente un défaut pour le traitement T_2 notée P(B) est égale à 0.2.

P(\overline{B})=1-p(B)=1-0.2=0.8
 

A

\overline{A}Total

B

  0.2

\overline{B}

  0.8

Total

0.10.9 1

la probabilité qu’une paire de verres ne présente aucun des deux défauts est 0.75.

 

A

\overline{A}Total

B

  0.2

\overline{B}

 0.750.8

Total

0.10.9 1

On termine de compléter le tableau en faisant des soustractions. 

 

 

A

\overline{A}Total

B

0.2-0.15=0.050.9-0.75=0.150.2

\overline{B}

0.8-0.75=0.050.750.8

Total

0.10.9 1

Voici le tableau complété :

 

A

\overline{A}Total

B

0.050.150.2

\overline{B}

0.050.750.8

Total

0.10.9 1

 

 

On veut déterminer, en justifiant la réponse, la probabilité qu’une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour au moins un des deux traitements T_1 ou T_2.

Lorsque dans un énoncé, il y a au moins un, on pense à l’évènement contraire pas du tout.

L’évènement une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour au moins un des deux traitements T_1 ou T_2 : A\cup B est l’évènement contraire de l’évènement « une paire de verres ne présente aucun des deux défauts » : \overline{A}\cap \overline{B} .

p(A\cup B)=1-p(\overline{A}\cap\overline{B})

On utilise le tableau suivant :

 

A

\overline{A}Total

B

0.050.150.2

\overline{B}

0.050.750.8

Total

0.10.9 1

p(A\cup B)=1-0.75=0.25

Donc la probabilité qu’une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour au moins un des deux traitements T_1 ou T_2 vaut 0.25

 

 

On veut donner la probabilité qu’une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente deux défauts, un pour chaque traitement T_1 et T_2

A l’aide du tableau ci-dessous, on lit :

p(A\cap B)=0.05.

 

A

\overline{A}Total

B

0.050.150.2

\overline{B}

0.050.750.8

Total

0.10.9 1

 

 

Pour savoir si les évènements  A et B sont indépendants, on compare p(A\cap B) et p(A)\times p(B).

p(A\cap B)=0.05 et p(A)\times p(B)=0.1\times 0.2=0.02.

Comme p(A\cap B)\ne p(A)\times p(B), les évènements A et B ne sont pas indépendants.

 

A

\overline{A}Total

B

0.050.150.2

\overline{B}

0.050.750.8

Total

0.10.9 1

 

 

On veut calculer la probabilité qu’une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour un seul des deux traitements.

Soit c’est A et pas B ou B et pas A. 

p(A\cap \overline{B})+p(\overline{A}\cap B)=0.05+0.15=0.2.

 

A

\overline{A}Total

B

0.050.150.2

\overline{B}

0.050.750.8

Total

0.10.9 1

 

 

On veut calculer la probabilité qu’une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour le traitement T2, sachant que cette paire de verres présente un défaut pour le traitement T1.

La condition est la paire de verres présente un défaut pour le traiement T_1, c’est-à-dire l’évènement A.

L’évènement est la paire de verres présente un défaut pour le traitement T_2, c’est-à-dire l’évènement B.

On va donc calculer calculer p_{A}(B) en utilisant la formule du cours.

p_{A}(B)=\frac{p(A\cap B)}{p(A)}

p_{A}(B)=\frac{0.05}{0.1}\\\hspace{1cm}=0.005

On peut modéliser cette expérience par un schéma de Bernoulli : on répète 50 fois de façon indépendante une expérience de Bernoulli à deux issues : la paire de verres présente le défaut pour le traitement T_1 : évènement  A et  la paire de verres ne présente pas le défaut pour le traitement T_1 : évènement \overline{A}.

p(A)=0.1. C’est le paramètre p, la probabilité du succès.

Il y a 50 répétitions indépendantes de l’expérience de Bernoulli donc n=50.

Donc X suit une loi binomiale de paramètres n=50 et p=0.1.

On donne l’expression permettant de calculer la probabilité d’avoir  exactement 10 paires de verres qui présentent le défaut T_1.

On a vu dans la question 2.a. qu’il s’agit d’une loi binomiale du type B(50;0.1.

On applique le cours p(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}q=1-p en remplaçant k par 10, n par 50 p par 0.1 et q par 1-0.1=0.9.

p(X=10)=\binom{50}{10}\times 0.1^{10}\times 0.9^{40}\\p(X=10)=0.015

On a obtenu le résultat avec la TI 83 de la manière suivante:

Au clavier

A l’écran

Taper sur la touche 2nde puis sur la touche var. Dans le menu déroulant, on sélectionne la ligne

A:binomFdp(

On valide avec entrer

Sur la ligne NbreEssais, on saisit le nombre de répétitions c’est-à-dire n.

Sur la ligne p, on saisit la probabilité du succès.

Sur la ligne valeur de x, on saisit le nombre de succès souhaité.

Faire entrer deux fois.

 

 

On veut déterminer combien en moyenne,  peut-on trouver de paires de verres ayant le défaut pour le traitement T_1 dans un échantillon de 50 paires ?

Il s’agit de déterminer l’espérance de la variable aléatoire X, notée  E(X).

On applique le cours E(X)=n\times p en remplaçant n par 50 et p par 0.1.

E(X)=50\times 0.1\\E(X)=5

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.