T. bac2022 fonctions exo n°4 ( Centres étrangers 11 mai 2022 )

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des 
quatre réponses proposées est exacte. Les six questions sont indépendantes.
Une réponse incorrecte, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni
n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse
choisie.
Aucune justification n’est demandée.
1. On considère la fonction f définie pour tout réel x par f(x)=ln(1+x^2).
Sur \mathbf{R}, l’équation f(x)=2022

a. n’admet aucune solution.

b. admet exactement une solution.

c. admet exactement deux solutions.

d. admet une infinité de solutions

2. On considère la fonction g définie pour tout réel x positif par g(x)=xln(x)-x^2
On note C_g sa courbe représentative dans un repère du plan.

a. La fonction g est convexe sur ]0;+\infty[.

b. La fonction g est concave sur ]0;+\infty[.

c. La courbe C_g admet exactement un point d’inflexion sur ]0;+\infty[.

d. La courbe C_g admet exactement deux points d’inflexion sur ]0;+\infty[.

3. On considère la fonction f définie sur ]-1;1[ par f(x)=\frac{x}{1-x^2}
Une primitive de la fonction f est la fonction g définie sur l’intervalle ]-1;1[ par :

a. g(x)=-\frac{1}{2}ln(1-x^2).

b. g(x)=\frac{1+x^2}{(1-x^2)^2}.

c. g(x)=\frac{x^2}{2(x-\frac{x^3}{3})}.

d. g(x)=\frac{x^2}{2}ln(1-x^2).

4. La fonction x\to ln(-x^2-x+6) est définie sur 

a. ]-3;2[.

b. ]-\infty;6[.

c. ]0;+\infty[.

d. ]2;+\infty[.

5. On considère la fonction f définie sur ]0;5[ par
f(x)=x^2-4x+3 ln(2x-1)
Une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse 1 est : 

a. y=4x-7.

b. y=2x-4.

c. y=-3(x-1)+4.

d. y=2x-1.

6. L’ensemble S des solutions dans \mathbf{R} de l’inéquation ln(x+3)<2ln(x+1) est : 

a. S=]-\infty;-2[\cup]1;+\infty[.

b. S=]1;+\infty[.

c. S=\emptyset.

 

d. S=]-1;1[.

On considère la fonction f définie pour tout réel x par f(x)=ln(1+x^2).
On veut déterminer le nombre de solutions de l’équation f(x)=2022

On va dresser le tableau de variation de la fonction f sur \mathbf{R}.

Calcul de f'(x).

f(x) est de la forme ln(u) avec u(x)=1+x^2 et donc u'(x)=2x.

On remplace u(x) par 1+x^2 et u'(x) par 2x dans f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.

f'(x)=\frac{2x}{1+x^2}

Signe de f'(x).

1+x^2 est toujours positif, donc f'(x) est du signe de 2x c’est-à-dire négatif sur ]-\infty;0] et positif sur [0;+\infty[.

Variations de f.

Donc f est décroissante sur ]-\infty;0] et croissante sur [0;+\infty[.

calculs des limites de f aux bornes.

lim_{x\to -\infty}\hspace{0.3cm}x^2+1=+\infty

donc lim_{x\to -\infty}\hspace{0.3cm}ln(x^2+1)=+\infty

donc lim_{x\to -\infty}\hspace{0.3cm}f(x)=+\infty

lim_{x\to +\infty}\hspace{0.3cm}x^2+1=+\infty

donc lim_{x\to +\infty}\hspace{0.3cm}ln(x^2+1)=+\infty

donc lim_{x\to +\infty}\hspace{0.3cm}f(x)=+\infty

calcul de f(0).

f(0)=ln(1+0^2)=ln(1)=0

On dresse ensuite le tableau complet des variations de la fonction f.

La bonne réponse est donc la réponse  c. admet exactement deux solutions.

 

On considère la fonction f définie pour tout réel x par f(x)=ln(1+x^2).
On veut déterminer le nombre de solutions de l’équation f(x)=2022

On va résoudre l’équation f(x)=2022.

ln(1+x^2)=2022

On transforme 2022 en ln(e^{2022}) pour obtenir une écriture de la forme ln(a)=ln(b).

ln(1+x^2)=ln(e^{2022})\\1+x^2=e^{2022}\\x^2=e^{2022}-1\\x=-\sqrt{e^{2022}-1} ou x=\sqrt{e^{2022}-1}

La bonne réponse est donc la réponse  c. admet exactement deux solutions.

 

Graphiquement, il semble que la fonction  f soit d’abord convexe puis concave car sa courbe C_f est au-dessus de ses sécantes puis en dessous. Les réponses a et b ne conviennent pas.

Calculons f'(x).

f(x)=xln(x)-x^2\\f'(x)=(xln(x)-x^2)’\\\hspace{0.86cm}=(xln(x))’-(x^2)’\\\hspace{0.86cm}=(x)’ln(x)+x(ln(x))’-2x\\\hspace{0.86cm}=1\times ln(x)+x\times {\frac{1}{x}}-2x\\\hspace{0.86cm}=ln(x)+1-2x

Calculons f"(x).

f'(x)=ln(x)+1-2x\\f"(x)=(ln(x)+1-2x)’\\\hspace{0.94cm}=(ln(x))’+(1)’-(2x)’\\\hspace{0.94cm}=\frac{1}{x}+0-2\\\hspace{0.94cm}=\frac{1}{x}-2\\\hspace{0.94cm}=\frac{1-2x}{x}

Résolvons f"(x)=0

\frac{1-2x}{x}=0\\1-2x=0\\x=\frac{1}{2}

Il n’y a donc qu’un point d’inflexion, la bonne réponse est la réponse c.

 

On considère la fonction f définie sur ]-1;1[ par f(x)=\frac{x}{1-x^2}
On cherche une primitive de la fonction f.

On cherche de quelle forme est la fonction f pour pouvoir déterminer une primitive à l’aide du tableau ci-dessous.

La fonction f(x) est de la forme,elle a pour primitive  F(x) Conditions
f(x)=2u'(x)\times u(x)F(x)=u^2(x) 
f(x)=u'(x)\times e^{u(x)}F(x)=e^{u(x)} 
f(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}F(x)=ln(|u(x)|)u(x)\ne 0

f(x)=\frac{x}{1-x^2} est de la forme \frac{u'(x)}{u(x)} avec u(x)= 1-x^2.

1.Je calcule u'(x)

u'(x)= (1-x^2)’

u'(x)= (1)’-(x^2)’

u'(x)= 0-2x

u'(x)= -2x

2. Je remplace u(x) par 1-x^2 et u'(x) par -2x dans la formule ci-dessous :

\frac{u'(x)}{u(x)} a pour primitive ln(|u(x)|.

\frac{-2x}{1-x^2} a pour primitive ln(|1-x^2|)

Comme 1-x^2 est positif car -1<x<1, |1-x^2|=1-x^2

\frac{-2x}{1-x^2} a pour primitive ln(1-x^2).

Pour retomber sur f(x) à gauche, il faut tout diviser par  par -2 ou multiplier par l’inverse \frac{1}{(-2)}

\frac{1}{(-2)}\times\frac{-2x}{1-x^2} a pour primitive \frac{1}{(-2)}\times(1-x^2).

\frac{x}{1-x^2} a pour primitive -\frac{1}{2}(1-x^2).

Donc la bonne réponse est la réponse a .

 

Graphiquement, il semble que la fonction  f soit définie sur  ]-3;2[.

Comme on ne demande pas de justification, , la bonne réponse est la réponse a.

On considère la fonction f définie sur ]0;5[ par
f(x)=x^2-4x+3 ln(2x-1)
On veut déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse 1.

Utilisons la TI 83 ainsi :

Au clavier 

A l’écran 

Appuyer sur la touche f(x) et saisir f(x)=x^2-4x+3 ln(2x-1) à côté de Y1.

Appuyer sur la touche graphe

 

Appuyer sur la touche 2nde puis sur prgm. Sélectionner la ligne 5:Tangente( et faire entrer.

Puis appuyer sur 1.

Pour effacer la tangente:

Appuyer sur la touche 2nde puis pgrm puis sélectionner 1:EffDess dans le menu déroulant et appuyer sur entrer .

Une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse 1 est y=4x-7.

La bonne réponse est la réponse a.

 

 

On veut déterminer l’ensemble S des solutions dans \mathbf{R} de l’inéquation ln(x+3)<2ln(x+1).

Etape n°1: Déterminer l’ensemble d’existence.

L’inéquation ln(x+3)<2ln(x+1) existe si x+3>0 et si x+1>0

On résout l’inéquation du premier degré 

x+3>0 en mettant à leur place les membres qui ne sont pas à leur place.

x+3>0\\x>-3

On résout l’inéquation du premier degré

x+1>0 en mettant à leur place les membres qui ne sont pas à leur place.

x+1>0\\x>-1

L’ensemble d’existence est 

]-1;+\infty[

Etape n°2: On résout l’inéquation ln(x+3)<2ln(x+1)

ln(x+3)<2ln(x+1)\\ln(x+3)<ln(x+1)^2

Comme la fonction ln est croissante, les nombres et les images varient dans le même sens.

x+3<(x+1)^2

C’est une inéquation du second degré, on fait apparaître 0 à droite.

x+3-(x+1)^2<0\\x+3-(x^2+2x+1)<0\\x+3-x^2-2x-1<0\\-x^2-x+2<0

A l’aide de la calculatrice, on obtient les deux racines du polynôme  -x^2-x+2, ce sont -2 et1.

Le polynôme est du signe de a ( c’est-à-dire -1 ) à l’extérieur des racines. 

-x^2-x+2<0 a pour ensemble solution ]-\infty;–2[\cup]1;+\infty[.

Etape n°3: On détermine l’intervalle solution en fonction de l’ensemble d’existence.

Parmi les solutions trouvées à l’étape 2 seules celles supérieures à  -1 sont dans l’ensemble d’existence .

Donc S=]1;+\infty[.

La bonne réponse est la réponse b.

 

 

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.