logo

T. bac 2022 fonctions exo n°5 ( Nouvelle calédonie 26 Octobre 2022 )

Voici la courbe de la fonction  f définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par f (x) = x^2 −6x +4ln(x) dans une fenêtre active Géogébra.

On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par f (x) = x^2 −6x +4ln(x)
On admet que la fonction f est deux fois dérivable sur l’intervalle ]0 ; +∞[ .
On note f’ sa dérivée et f" sa dérivée seconde.
On note C_f la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal.
1. a. Déterminer lim_{x\to 0}\hspace{0.2cm}f(x).

On observe la courbe pour se faire une idée du résultat (attention la lecture graphique se limite à la fenêtre d’affichage et on peut parfois avoir des surprises) 

Interpréter graphiquement ce résultat.

correction

1. b. Déterminer lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}f(x).

On observe la courbe pour se faire une idée du résultat (attention la lecture graphique se limite à la fenêtre d’affichage et on peut parfois avoir des surprises) 

correction

2. a. Déterminer f'(x) pour  x appartenant à l’intervalle ]0 ; +∞[ .

Taper f'(x)= dans la colonne du milieu : celle du calcul formel, faire entrer et la dérivée apparaît.

correction

2. b. Étudier le signe de f'(x) sur l’intervalle ]0 ; +∞[ .
En déduire le tableau de variations de f sur l’intervalle ]0 ; +∞[ .

Pour conjecturer les variations, on peut cliquer gauche sur les trois points verticaux situés à droite de f (x) = x^2 −6x +4ln(x) dans la première colonne et sélectionner Points spéciaux dans le menu déroulant. On peut lire les coordonnées des extremums. Graphiquement, la courbe monte jusqu’à x=1, descend jusqu’à x=2 puis monte.

correction

3. Montrer que l’équation f(x)=0 admet une unique solution dans l’intervalle [4;5].

Pour visualiser le phénomène, on peut cliquer gauche sur les trois points verticaux situés à droite de f (x) = x^2 −6x +4ln(x) dans la première colonne et sélectionner Points spéciaux dans le menu déroulant. Le point A est le point d’intersection de la courbe et de l’axe des ordonnées.

correction

4. On admet que, pour tout x appartenant à l’intervalle ]0 ; +∞[ , on a :
f"(x)=\frac{2x^2-4}{x^2} .
a. Étudier la convexité de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; +∞[ .
On précisera les valeurs exactes des coordonnées des éventuels points d’inflexion de C_f.

correction

b. On note A le point de coordonnées (\sqrt{2},f(\sqrt{2})).
Soit t un réel strictement positif tel que t\ne \sqrt{2}
Soit M le point de coordonnées (t,f(t))
En utilisant la question 4. a, indiquer, selon la valeur de t, les positions relatives du segment [AM] et de la courbe C_f.

correction

©2020 – Math’O karé SAS

On veut calculer lim_{x\to 0}\hspace{0.2cm}f(x).

f(x)=x^2-6x+4ln(x).

La fonction est la somme de 3 fonctions, cliquer sur + La fonction est une somme, f+g.

\lim f=lll+\infty-\infty+\infty
\lim g=l’+\infty-\infty+\infty-\infty-\infty
\lim f+g=l+l’+\infty-\infty+\infty-\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.

\lim f=ll\ne0\infty0
\lim g=l’\infty\infty\infty
\lim fg=l\times l’\infty\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim f=ll\ne0l\infty\infty0
\lim g=l’\ne00\inftyl\infty0
\lim\frac{f}{g}=\frac{l}{l’}\infty0\inftyForme indéterminéeForme indéterminée

Remarque

quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c

lim_{x\to{0}}\hspace{0.2cm}x^2=0.

lim_{x\to{0}}\hspace{0.2cm}-6x=0
lim_{x\to{0}}\hspace{0.2cm}ln(x)=-\infty

donc lim_{x\to{0}}\hspace{0.2cm}4ln(x)=-\infty

D’après le théorème sur la somme.

lim_{x\to 0}\hspace{0.2cm}x^2-6x+4ln(x)=-\infty

Donc lim_{x\to 0}\hspace{0.2cm}f(x)=-\infty

Donc l’axe des ordonnées est asymptote à la courbe en 0.

 

On veut calculer lim_{x\to +\infty}\hspace{0.3cm}f(x).

f(x)=x^2-6x+4ln(x) 

La fonction est la somme de 3 fonctions, cliquer sur + La fonction est une somme, f+g.

\lim f=lll+\infty-\infty+\infty
\lim g=l’+\infty-\infty+\infty-\infty-\infty
\lim f+g=l+l’+\infty-\infty+\infty-\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.

\lim f=ll\ne0\infty0
\lim g=l’\infty\infty\infty
\lim fg=l\times l’\infty\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim f=ll\ne0l\infty\infty0
\lim g=l’\ne00\inftyl\infty0
\lim\frac{f}{g}=\frac{l}{l’}\infty0\inftyForme indéterminéeForme indéterminée

Remarque

quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c

lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}x^2=+\infty.

lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}6x=+\infty 

donc lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}-6x=-\infty

lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}ln(x)=+\infty

donc lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}4ln(x)=+\infty

Le théorème sur la somme ne permet pas de conclure car on obtient la forme indéterminée, (-\infty)+(+\infty).

Obtenir une forme indéterminée ne signifie pas qu’il n’y a pas de limite, cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On va utiliser un autre théorème. Pour cela on change la forme de x^2-6x+4ln(x) . On met en facteur  x, On pourra alors utiliser la croissance comparée lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}\frac{ln(x)}{x}=0

x^2-6x+4ln(x)=x\times x-x\times 6+x\times \frac{ln(x)}{x}\\\hspace{2.7cm}=x(x-6+\frac{ln(x)}{x})

La fonction est le produit de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est un produit, fg.

lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}x=+\infty.

lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}x=+\infty\\lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}-6=-6\\lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}\frac{ln(x)}{x}=0

Par somme, lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}x-6+\frac{ln(x)}{x}=+\infty 

Par produit, lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}x(x-6+\frac{ln(x)}{x})=+\infty.

Donc lim_{x\to +\infty}\hspace{0.3cm}f(x)=+\infty.

 

 

  f (x) = x^2 −6x +4ln(x).

1.On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est la somme de trois fonctions u + v+w avec  u(x)=x^2, v(x)=-6x et w(x)=4ln(x).

On va utiliser la ligne n°1 du tableau n°1 ci-dessous.

Dérivées et opérations

f(x) est 

f'(x) se calcule ainsi :

une somme u+v

u’+v’

le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku

k\times u’

un produit de deux fonctions u\times v

u’\times v+u\times v’

l’inverse d’une fonction \frac{1}{u}

-\frac{u’}{u^2}

un quotient \frac{u}{v}

 \frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}

Dérivées et fonctions composées

FonctionDérivée
v\circ u (v’\circ u)\times u’
u^2 2u’u
u^3 3u’u^2
u^n nu’u^{n-1}
\frac{1}{u} -\frac{u’}{u^2}
\sqrt{u} \frac{u’}{2\sqrt{u}}
cos(u) -u’sin(u)
sin(u) u’cos(u)
e^{u} u’e^{u}
ln(u) \frac{u’}{u}
\frac{1}{u^{n}} -\frac{nu’}{u^{n+1}}

2a.on veut calculer la dérivée  u'(x)

u(x)=x^2\\u'(x)=2x

2b.on veut calculer la dérivée  v'(x)

v(x)=-6x\\v'(x)=-6

2c.on veut calculer la dérivée  w'(x)

w(x)=4ln(x) est le produit d’une constante par une  fonction, on utilise la 2nde ligne du tableau « Dérivées et opérations ». 

w'(x)=(4ln(x))’\\w'(x)=4(ln(x))’

On utilise la dernière ligne du tableau « Dérivées des fonctions de référence »

w'(x)=4\times \frac{1}{x}\\w'(x)=\frac{4}{x}

Dérivées des fonctions de référence

 
Fonctionf(x)Dérivable sur f'(x)
constantef(x)=k\mathbf{R}f'(x)=0
identitéf(x)=x\mathbf{R}f'(x)=1
carréf(x)=x^2\mathbf{R}f'(x)=2x
cubef(x)=x^3\mathbf{R}f'(x)=3x^2
puissance nf(x)=x^n\mathbf{R}f'(x)=nx^{n-1}
inversef(x)=\frac{1}{x}\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[f'(x)=-\frac{1}{x^2}
racine carréef(x)=\sqrt{x}]0;+\infty[ f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
exponentiellef(x)=e^x\mathbf{R}f'(x)=e^x
sinusf(x)=sin(x)\mathbf{R}f'(x)=cos(x)
cosinusf(x)=cos(x)\mathbf{R}f'(x)=-sin(x)
logarithme népérienf(x)=ln(x)]0;+\infty[ f'(x)=\frac{1}{x}

3. On calcule la dérivée f'(x) 

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)= ( x^2 −6x +4ln(x))’\\f'(x)=(x^2)’-(6x)’+(4ln(x))’\\f'(x)=2x-6+\frac{4}{x}

On met au même dénominateur, ici x 

f'(x)=2x\times \frac{x}{x}-6\times \frac{x}{x} +\frac{4}{x}\\f'(x)= \frac{2x^2-6x+4}{x}

 

On veut étudier le signe de f'(x) sur l’intervalle ]0 ; +∞[ .

f'(x)=\frac{2x^2-6x+4}{x}

Comme x \in ]0 ; +∞[ ,  f'(x)=\frac{2x^2-6x+4}{x} est du signe de 2x^2-6x+4

Etude du signe de f(x)=2x^2-6x+4 par le calcul en utilisant le théorème .

J’identifie les coefficients l’équation a=2, b=-6 et c=4.

Je calcule \Delta=b²-4ac  en remplaçant a,b,c  par 2, (-6) ,4  .

\Delta=(-6)²-4\times{2}\times{4}\\\Delta=36-32\\\Delta=4

Comme \Delta>0 , l’équation admet deux solutions réelles notées

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.

et ax²+bx+c est  du signe de a à l’extérieur des racines et du signe de (-a) à l’intérieur des racines.

Je calcule x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par 2, (-6), 4.

x_1=\frac{-(-6)-\sqrt{4}}{2\times{2}}\\x_1=\frac{6-2}{4}\\x_1=\frac{4}{4}\\x_1=1

Je calcule x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par 2, (-6), 4.

x_2=\frac{-(-6)+\sqrt{4}}{2\times{2}}\\x_2=\frac{6+2}{4}\\x_2=\frac{8}{4}\\x_2=2

Je dresse le tableau de signes du polynôme:

Comme a=2 le signe de a est positif.

On peut maintenant déduire le signe de f'(x)=\frac{2x^2-6x+4}{x} sur ]0 ; +∞[ :

On va en déduire le tableau de variations de f sur l’intervalle ]0 ; +∞[ .

On a montré que 

lim_{x\to 0}\hspace{0.2cm}f(x)=-\infty et lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}f(x)=+\infty

f(1)=1-6+4ln(1)=-5 et f(2)=4-12+4ln(2)\approx -5.23

f(4)=16-24+4ln(4)\approx -2.45 et f(5)=25-30+4ln(25)\approx 1.44.

Sur l’intervalle [4;5] la fonction f est  continue et  strictement croissante.

Comme  0\in]f(4);f(5)[ alors l’équation f(x)=0 admet une unique solution notée \alpha sur l’intervalle [4;5].

f"(x)=\frac{2x^2-4}{x^2} .
On veut étudier la convexité de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; +∞[ .
On précisera les valeurs exactes des coordonnées des éventuels points d’inflexion de C_f.

On va étudier le signe de f"(x)=\frac{2x^2-4}{x^2}.

Comme x^2 est toujours positif, f"(x) est du signe de 2x^2-4.

On étudie donc le signe de 2x^2-4.

On clique sur la troisième ligne du tableau ci-dessous : la quantité est de la forme ax^2+bx+c.

  1. de nombres positifs alors la quantité est positive.
  2. de nombres négatifs alors la quantité est négative.
  3. de nombres de signes contraires ou indéterminés alors on ne peut pas conclure

On peut factoriser et étudier le signe d’un produit

On peut résoudre la quantité >0 

…

On utilise le tableau suivant :

On utilise le résultat du cours suivant :

si \Delta>0

si \Delta=0

si \Delta<0

La quantité est toujours positive.

Exemples : les quantités x^2 , (2x+5)^4 sont toujours positives

La quantité est du signe de ce qui est élevé à la puissance.

Exemple : la quantité x^3 est du signe de x, la quantité (2x-1)^5 est du signe de 2x-1.

On fait un tableau de signes comme en seconde : on étudie le signe de chaque facteur et on applique la règle des signes.

On fait un tableau de signes comme en seconde : on étudie le signe du numérateur, le signe du dénominateur et on applique la règle des signes.

On calcule la dérivée, on étudie son signe et on fait le tableau de variations. Ensuite, sur la dernière ligne du tableau de variations, on lit le signe de la quantité.  

J’identifie les coefficients du polynôme. a=2, b=0 et c=-4.

Je calcule \Delta=b²-4ac  en remplaçant a,b,c  par 2,0 ,(-4)  .

\Delta=0²-4\times{2}\times{(-4)}\\\Delta=0+32\\\Delta=32

Comme \Delta>0 , l’équation admet deux solutions réelles notées

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.

ax²+bx+c est  du signe de a à l’extérieur des racines et du signe de (-a) à l’intérieur des racines.

Je calcule x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par 2, 0, 32.

x_1=\frac{-0-\sqrt{32}}{2\times{2}}\\x_1=\frac{-4\sqrt{2}}{4}\\x_1=-\sqrt{2}

Je calcule x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par 2,0, 32.

x_2=\frac{-0+\sqrt{32}}{2\times{2}}\\x_2=\frac{0+4\sqrt{2}}{4}\\x_2=\sqrt{2}

Je dresse le tableau de signes du polynôme:

Comme a=2 le signe de a est positif.

On en déduit le signe de f"(x)=\frac{2x^2-4}{x^2}. sur l’intervalle ]0 ; +∞[ .

Sur ]0;\sqrt{2}], f"(x) est négatif donc  f est concave.

Sur [\sqrt{2};+\infty[, f"(x) est positif donc  f est convexe.

Pour x=\sqrt{2}, f"(x) s’annule en changeant de signe  donc  C_f l’admet pour point d’inflexion.

Ses coordonnées sont : \sqrt{2} et f(\sqrt{2})=2-6\sqrt{2}+4ln(\sqrt{2}).

On note A le point de coordonnées (\sqrt{2},f(\sqrt{2})).
Soit M le point de coordonnées (t,f(t)).

Le segment [AM] coupe la courbe aux points A et M.

Si 0<t<\sqrt{2}, la fonction f est concave et donc le segment [AM] est situé en dessous de C_f.
Si t>\sqrt{2}, la fonction f est convexe et donc le segment [AM] est situé au dessus de C_f.

 

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.