T. bac2022 suites exo n°5 ( Polynésie 30 Août 2022 )

Soit k un nombre réel.
On considère la suite (u_n) définie par son premier terme u_0 et pour tout entier naturel n, u_{n+1}=ku_n(1-u_n).
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.
On y étudie deux cas de figure selon les valeurs de k.

Partie 1
Dans cette partie, k=1.9 et u_0=0.1.
On a donc, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=1.9u_n(1-u_n).
1. On considère la fonction f définie sur [0;1] par f(x)=1.9x(1-x).
a. Étudier les variations de f sur [0;1].

b. En déduire que si x \in [0;1] alors f(x) \in [0;1].

2. Ci-dessous sont représentés les premiers termes de la suite (u_n) construits à partir de la courbe C_fde la fonction f et de la droite D d’équation y=x.

Conjecturer le sens de variation de la suite (u_n) et sa limite éventuelle.

3. a. En utilisant les résultats de la question 1, démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n :
0\leq u_n\leq u_{n+1}\leq \frac{1}{2}.

b. En déduire que la suite (u_n) converge.

c. Déterminer sa limite.

Partie 2

Dans cette partie, k=\frac{1}{2} et u_0=\frac{1}{4}
On a donc, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n(1-u_n) et u_0=\frac{1}{4}.
On admet que pour tout entier naturel  n : 0\leq u_n \leq (\frac{1}{2})^n.

1. Démontrer que la suite (u_n) converge et déterminer sa limite.

2. On considère la fonction Python algo (p) où p désigne un entier naturel non nul :

Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel non nul p, la boucle while ne tourne pas indéfiniment, ce qui permet à la commande algo (p) de renvoyer une valeur.

La fonction f est définie sur [0;1] par f(x)=1.9x(1-x).

1.On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est le produit de deux fonctions u.v avec  u(x)=1.9x et v(x)=1-x.

On va utiliser la ligne n°3 du tableau n°1 ci-dessous.

Dérivées et opérations

f(x) est 

f'(x) se calcule ainsi :

une somme u+v

u’+v’

le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku

k\times u’

un produit de deux fonctions u\times v

u’\times v+u\times v’

l’inverse d’une fonction \frac{1}{u}

-\frac{u’}{u^2}

un quotient \frac{u}{v}

\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}

Dérivées et fonctions composées

FonctionDérivée
v\circ u (v’\circ u)\times u’
u^2 2u’u
u^3 3u’u^2
u^n nu’u^{n-1}
\frac{1}{u} -\frac{u’}{u^2}
\sqrt{u} \frac{u’}{2\sqrt{u}}
cos(u) -u’sin(u)
sin(u) u’cos(u)
e^{u} u’e^{u}
ln(u) \frac{u’}{u}
\frac{1}{u^{n}} -\frac{nu’}{u^{n+1}}

2a.on veut calculer la dérivée  u'(x)

u'(x)=(1.9x)’ 

u'(x)=1.9(x)’

u'(x)=1.9\times 1

u'(x)=1.9

2b.on veut calculer la dérivée  v'(x)

v'(x)=(1-x)’ 

v'(x)=(1)’-(x)’

v'(x)=0-1

v'(x)=-1

 

Dérivées des fonctions de référence

 
Fonctionf(x)Dérivable sur f'(x)
constantef(x)=k\mathbf{R}f'(x)=0
identitéf(x)=x\mathbf{R}f'(x)=1
carréf(x)=x^2\mathbf{R}f'(x)=2x
cubef(x)=x^3\mathbf{R}f'(x)=3x^2
puissance nf(x)=x^n\mathbf{R}f'(x)=nx^{n-1}
inversef(x)=\frac{1}{x}\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[f'(x)=-\frac{1}{x^2}
racine carréef(x)=\sqrt{x}]0;+\infty[ f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
exponentiellef(x)=e^x\mathbf{R}f'(x)=e^x
sinusf(x)=sin(x)\mathbf{R}f'(x)=cos(x)
cosinusf(x)=cos(x)\mathbf{R}f'(x)=-sin(x)
logarithme népérienf(x)=ln(x)]0;+\infty[ f'(x)=\frac{1}{x}

3. On calcule la dérivée f'(x) 

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)= (1.9x(1-x))’\\f'(x)= (1.9x)'(1-x)+1.9x(1-x)’\\f'(x)= 1.9(1-x)+1.9x\times(-1)\\f'(x)=1.9-1.9x-1.9x\\f'(x)=1.9-3.8x

Partie 2 : étude du signe de f'(x)

Comme f'(x) est de la forme ax+b avec  a=-3.8 et b=1.9. On utilise le résultat du cours vu en seconde.

-\frac{b}{a}=-\frac{1.9}{(-3.8)}=\frac{1}{2} et le signe de a est négatif, donc :

On en déduit le signe de f'(x) sur [0;1] :

Partie 3 : tableau de variations de f

Comme

f(0)=1.9\times0 \times(1-0)=0\\f(\frac{1}{2})=1.9\times \frac{1}{2}\times(1-\frac{1}{2})=0.475\\f(1)=1.9\times 1\times(1-1)=0.

 

 

D’après le tableau de variations suivant :

Sur [0;1], f admet 0 pour minimum et 0.475 pour maximum.

Donc si x \in [0;1] alors f(x) \in [0;1].

La suite (u_n) semble croissante et semble converger vers l’abscisse du point d’intersection de C_f et D.

On veut montrer par récurrence que  0\leq u_n \leq u_{n+1}\leq \frac{1}{2} pour n \in \mathbf{N} .

Initialisation : J’écris la propriété au premier rang en remplaçant tous les n par 0.

0\leq u_0\leq u_1\leq \frac{1}{2} vraie car u_0=0.1 et u_1=1.9\times 0.1\times(1-0.1)= 0.171

Transmission ou hérédité : .

0\leq u_n \leq u_{n+1}\leq \frac{1}{2}\\f(0)\leq f(u_n) \leq f(u_{n+1})\leq f(\frac{1}{2})\\0\leq f(u_n) \leq f(u_{n+1})\leq 0.475\leq \frac{1}{2}\\0 \leq f(u_n) \leq f(u_{n+1})\leq \frac{1}{2}\\0\leq u_{n+1} \leq u_{n+2}\leq \frac{1}{2}

étape n°1 : j’écris la propriété au rang  n en haut.

étape n°4 : Comme f est croissante sur [0;\frac{1}{2}], les nombres et leurs images varient dans le même sens.

étape n°5 : on remplace f(0) par 0 et  f(\frac{1}{2}) par 0.475 qui est inférieur à \frac{1}{2}.

étape n°3 : je remplace  u_{n+1} par f(u_n) et u_{n+2} par f(u_{n+1})

étape n°2 : j’écris la propriété au rang n+1 en bas.

Conclusion : J’écris la propriété au rang  n et je rajoute pour tout n.

0\leq u_n \leq u_{n+1}\leq \frac{1}{2} pour n \in \mathbf{N}

 

 

On veut en déduire que la suite (u_n) converge.

On a montré par récurrence que  0\leq u_n \leq u_{n+1}\leq \frac{1}{2} pour n \in \mathbf{N}.

La suite (u_n) est croissante car u_n \leq u_{n+1} pour n \in \mathbf{N}.

La suite (u_n) est majorée car u_n \leq \frac{1}{2} pour n \in \mathbf{N}.

La suite (u_n) est croissante et majorée par \frac{1}{2} donc la suite (u_n) converge.

On a vu précédemment que la suite (u_n) converge. Si on nomme l sa limite, elle vérifie f(l)=l

Il faut donc résoudre l’équation 

1.9l(1-l)=l

On fait tout passer à gauche.

1.9l(1-l)-l=0

Au lieu de développer, on met l en facteur.

l(1.9-1.9l-1)=0\\l(-1.9l+0.9)=0

On applique la règle du produit nul.

l=0\hspace{0.5cm} ou \hspace{0.5cm}-1.9l+0.9=0\\l=0\hspace{0.5cm} ou \hspace{0.5cm}-1.9l=-0.9\\l=0\hspace{0.5cm} ou \hspace{0.5cm}l=\frac{-0.9}{-1.9}\\l=0\hspace{0.5cm} ou \hspace{0.5cm}l=\frac{0.9}{1.9}=\frac{9}{19}

On a vu précédemment que la suite est croissante, donc tous les termes sont plus grands que u_0=0.1 donc on ne garde que la valeur \frac{9}{19}.

Donc 
lim_{n\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}u_n=\frac{9}{19}.

 

On a admis que pour tout entier naturel  n : 0\leq u_n \leq (\frac{1}{2})^n.

La suite géométrique (\frac{1}{2})^n)) converge vers 0 car 0<\frac{1}{2}<1

Donc d’après le théorème des gendarmes :

lim_{n\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}u_n=0.

Et donc la suite (u_n) converge vers 0.

La boucle s’arrête quand u est inférieur ou égal à 10^{-p}, c’est-à-dire pour la première valeur de n vérifiant u_n\leq 10^{-p}. Comme lim_{n\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}u_n=0, il y a une première valeur n_0 à partir de laquelle u_n\leq 10^{-p} pour tout n>n_0.

La boucle while ne tourne donc pas indéfiniment, ce qui permet à la commande algo(p) de renvoyer une valeur.

 

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.