T. bac 2023 probabilités exo n°2 (centres étrangers 13 mars 2023)

Bac 2023 : Exercices, Niveau terminale spécialité, PROBABILITES

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.
Dans une grande ville française, des trottinettes électriques sont mises à disposition des usagers. Une
entreprise, chargée de l’entretien du parc de trottinettes, contrôle leur état chaque lundi.
Partie A
On estime que :
— lorsqu’une trottinette est en bon état un lundi, la probabilité qu’elle soit encore en bon état le lundi suivant est $0.9$ ;
— lorsqu’une trottinette est en mauvais état un lundi, la probabilité qu’elle soit en bon état le lundi suivant est $0.4$ .

On s’intéresse à l’état d’une trottinette lors des phases de contrôle.
Soit $n$ un entier naturel. On note $B_n$ l’évènement « la trottinette est en bon état $n$ semaines après sa mise en service » et $p_n$ la probabilité de $B_n$ .
Lors de sa mise en service, la trottinette est en bon état. On a donc $p_0=1$ .
1. Donner $p_1$ et montrer que $p_2=0.85$ .
On pourra s’appuyer sur un arbre pondéré.

2. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous :

3. En déduire que, pour tout entier naturel $n$ ,

$p_{n+1}=0.5p_n+0.4$ .

4. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ ,

$p_{n}>0.8$ .

b. À partir de ce résultat, quelle communication l’entreprise peut-elle envisager pour valoriser la fiabilité du parc ?

5. a. On considère la suite $(u_{n})$ définie pour tout entier naturel n par $u_{n}=p_n-0.8$ .

Montrer que $(u_{n})$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison.

b. En déduire l’expression de $u_{n}$ puis de $p_{n}$ en fonction de $n$ .

c. En déduire la limite de la suite $(p_{n})$ .

Partie B
Dans cette partie, on modélise la situation de la façon suivante :
— l’état d’une trottinette est indépendant de celui des autres;
— la probabilité qu’une trottinette soit en bon état est égale à $0.8$ .
On note $X$ la variable aléatoire qui, à un lot de $15$ trottinettes, associe le nombre de trottinettes en bon état.
Le nombre de trottinettes du parc étant très important, le prélèvement de $15$ trottinettes peut être assimilé à un tirage avec remise.
1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.

2. Calculer la probabilité que les $15$ trottinettes soient en bon état.

3. Calculer la probabilité qu’au moins $10$ trottinettes soient en bon état dans un lot de $15$ .

4. On admet que $E(X)=12$ . Interpréter le résultat.