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T. bac2023 probabilités exo n°5 (Centres étrangers 21 mars 2023)

Dans un souci de préservation de l’environnement, Monsieur Durand décide de se rendre chaque matin au travail en utilisant son vélo ou les transports en commun.
S’il choisit de prendre les transports en commun un matin, il reprend les transports en commun le lendemain avec une probabilité égale à 0.8.
S’il utilise son vélo un matin, il reprend son vélo le lendemain avec une probabilité égale à 0.4.
Pour tout entier naturel n non nul, on note :

• T_n l’évènement « Monsieur Durand utilise les transports en commun le n-ième jour »
• Vn l’évènement « Monsieur Durand utilise son vélo le n-ième jour »
• On note p_n la probabilité de l’évènement T_n,
Le premier matin, il décide d’utiliser les transports en commun. Ainsi, la probabilité de l’évènement
T_1 est p_1=1.
1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous représentant la situation pour les 2^{ème} et 3^{ème} jours,

correction

2. Calculer p_3.

correction

3. Le 3^{ème} jour, M. Durand utilise son vélo.
Calculer la probabilité qu’il ait pris les transports en commun la veille. 

correction

4. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous représentant la situation pour les n^{ième} et n+1^{ième} jours.

correction

5. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, 

p_{n+1}=0.2p_n+0.6.

correction

6. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul, on a

p_{n}=0.75+0.25\times 0.2^{n-1}.

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7. Déterminer la limite de la suite (p_{n}) et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

correction

©2020 – Math’O karé SAS

Faisons l’arbre :

Dans un souci de préservation de l’environnement, Monsieur Durand décide de se rendre chaque matin au travail en utilisant son vélo ou les transports en commun.
S’il choisit de prendre les transports en commun un matin, il reprend les transports en commun le lendemain avec une probabilité égale à 0.8.

On peut reformuler : Sachant qu’il prend les transports en commun le matin, la probabilité qu’il reprenne les transports en commun le lendemain est 0.8.

p_{T_1}(T_2)=0.8

« La somme des probabilités sur les branches issues d’un même noeud est égale à 1 »

p_{T_1}(T_2)+p_{T_1}(V_2)=1\\p_{T_1}(V_2)=1-p_{T_1}(T_2)\\\hspace{1cm}=1-0.8\\\hspace{1cm}=0.2.

S’il choisit de prendre les transports en commun un matin, il reprend les transports en commun le lendemain avec une probabilité égale à 0.8

On peut reformuler : Sachant qu’il prend les transports en commun le matin, la probabilité qu’il reprenne les transports en commun le lendemain est 0.8.

p_{T_2}(T_3)=0.8

« La somme des probabilités sur les branches issues d’un même noeud est égale à 1 »

p_{T_2}(T_3)+p_{T_2}(V_3)=1\\p_{T_2}(V_3)=1-p_{T_2}(T_3)\\\hspace{1cm}=1-0.8\\\hspace{1cm}=0.2.

S’il utilise son vélo un matin, il reprend son vélo le lendemain avec une probabilité égale à 0.4.

On peut reformuler : Sachant qu’il utilise son vélo un matin, la probabilité qu’il reprenne son vélo le lendemain est 0.4.

donc p_{V_2}(V_3)=0.4

« La somme des probabilités sur les branches issues d’un même noeud est égale à 1 »

p_{V_2}(T_3)+p_{V_2}(V_3)=1\\p_{V_2}(T_3)=1-p_{V_2}(V_3)\\\hspace{1.25cm}=1-0.4\\\hspace{1.25cm}=0.6.

 

On veut calculer p_3 c’est-à-dire p(T_3).

Pour calculer p( T_3), on ajoute les  probabilités de tous les chemins qui mènent à  T_3. Ce qui revient à appliquer la formule des probabilités totales

p(T_3)=p(T_2\cap T_3)+p(V_2\cap T_3).

p(T_3)=0.8\times 0.8+0.2\times 0.6 \\p(T_3)=0.64+0.12\\p(T_3)=0.76.

Donc p_3=0.76.

 

Le 3^{ème} jour, M. Durand utilise son vélo. Calculer la probabilité qu’il ait pris les transports en commun la veille. 

On reformule : sachant que la M. Durand a utilisé son vélo le 3^{ème} jour, quelle est la probabilité qu’il ait pris les transports en commun la veille, c’est-à-dire  le 2^{ème} jour ?

La condition est M. Durand a utilisé son vélo le 3^{ème} jour.

Pour calculer p_{V_3}(T_2), on ne peut pas utiliser l’arbre car pour l’arbre la condition est T_2. On applique donc la formule du cours.

p_{V_3}(T_2)=\frac{p(T_2\cap V_3)}{p(V_3)}

p_{V_3}(T_2)=\frac{p(T_2\cap V_3)}{1-p(T_3)}\\p_{V_3}(T_2)=\frac{0.8\times 0.2}{1-0.76}\\p_{V_3}(T_2)=\frac{0.16}{0.24}\\p_{V_3}(T_2)=\frac{2}{3}

Faisons l’arbre :

D’après l’énoncé p(T_n)=p_n.

« La somme des probabilités sur les branches issues d’un même noeud est égale à 1 »

p(T_n)+p(V_n)=1\\p(V_n)=1-p(T_n)\\p(V_n)=1-p_n.

S’il choisit de prendre les transports en commun un matin, il reprend les transports en commun le lendemain avec une probabilité égale à 0.8.

On peut reformuler : Sachant qu’il prend les transports en commun le matin, la probabilité qu’il reprenne les transports en commun le lendemain est 0.8.

p_{T_{n}}(T_{n+1})=0.8

« La somme des probabilités sur les branches issues d’un même noeud est égale à 1 »

p_{T_{n}}(T_{n+1})+p_{T_{n}}(V_{n+1})=1\\p_{T_{n}}(V_{n+1})=1-p_{T_{n}}(T_{n+1})\\\hspace{1cm}=1-0.8\\\hspace{1cm}=0.2.

S’il utilise son vélo un matin, il reprend son vélo le lendemain avec une probabilité égale à 0.4.

On peut reformuler : Sachant qu’il utilise son vélo un matin, la probabilité qu’il reprenne son vélo le lendemain est 0.4.

donc p_{V_{n}}(V_{n+1})=0.4

« La somme des probabilités sur les branches issues d’un même noeud est égale à 1 »

p_{V_{n}}(T_{n+1})+p_{V_{n}}(V_{n+1})=1\\p_{V_{n}}(T_{n+1})=1-p_{V_{n}}(V_{n+1})\\\hspace{1.25cm}=1-0.4\\\hspace{1.25cm}=0.6.

Montrer que p_{n+1}=0.2p_n+0.6

Pour calculer p_{n+1}, on ajoute les  probabilités de tous les chemins qui mènent à  T_{n+1}. Ce qui revient à appliquer la formule des probabilités totales

p(T_{n+1})=p(T_n\cap  T_{n+1})+p(V_{n}\cap T_{n+1}).

p(T_{n+1})=p_n\times 0.8+(1-p_n)\times 0.6\\p(T_{n+1})=0.8p_n+0.6-0.6p_n\\p(T_{n+1})=0.2p_n+0.6

Donc p_{n+1}=0.2p_n+0.6

 

On a vu que la suite (p_n) vérifie p_1=1 et p_{n+1}=0.2p_n+0.6.

Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul, on a

p_{n}=0.75+0.25\times 0.2^{n-1}

Initialisation : J’écris la propriété au premier rang en remplaçant tous les n par 1.

p_{1}=1

et  0.75+0.25\times 0.2^{1-1}=0.75+0.25\times 0.2^0=0.75+0.25=1

Donc la propriété est vraie au rang 1.

Transmission ou hérédité : .

p_{n}=0.75+0.25\times 0.2^{n-1}\\0.2p_{n}=0.15+0.25\times 0.2^n\\0.2p_{n}+0.6=0.75+0.25\times 0.2^n\\p_{n+1}=0.75+0.25\times 0.2^{n}

étape n°1 : j’écris la propriété au rang  n en haut.

étape n°4 : Je multiplie par 0.2 de chaque côté de l’égalité au-dessus. J’ajoute 0.6 de chaque côté et je tombe sur l’étape 3.

étape n°3 : je remplace  p_{n+1} par 0.2p_n+0.6. 

étape n°2 : j’écris la propriété au rang n+1 en bas.

Conclusion : J’écris la propriété au rang  n et je rajoute pour tout n non nul.

pour tout entier naturel n non nul, on a

p_{n}=0.75+0.25\times 0.2^{n-1}

On applique la propriété suivante.

Soit q un nombre réel.

  • Si q \leq -1 alors la suite (q^n) diverge et n’admet pas de limite.
  • Si -1<q<1 alors la suite (q^n) converge vers 0.
  • Si q =1 alors la suite (q^n) converge vers 1.
  • Si q >1 alors la suite (q^n) diverge vers +\infty.

Comme -1<0.2<1 ,  lim_{n\to {+\infty}}\hspace{0.2cm}0.2^{n-1}=0.

Donc lim_{n\to {+\infty}}\hspace{0.2cm}0.25\times 0.2^{n-1}=0.

Et lim_{n\to {+\infty}}\hspace{0.2cm}0.25\times 0.2^{n-1}+0.75=0.75

C’est-à-dire que lim_{n\to {+\infty}}\hspace{0.2cm}p_n=0.75.

Au bout d’un certain nombre de jours Monsieur Durand prendra les transports en commun 3 jours sur 4.

 

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.