T. bac2023 fonctions exo n°1 (Centres étrangers 14 mars 2023)

ANALYSE, Exercices fonctions Bac 2023, Niveau terminale spécialité

On considère la fonction $f$ définie sur $]-1.5;+\infty[$ par $f(x)=ln(2x+3)-1$ .
Le but de cet exercice est d’étudier la convergence de la suite $(u_n)$ définie par :

$u_0=0$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout entier naturel $n$ .
Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire
On considère la fonction g définie sur $]-1.5;+\infty[$ par $g(x)=f(x)-x$

1. Déterminer la limite de la fonction $g$ en $-1.5$ .

On admet que la limite de la fonction $g$ en $+\infty$ est $-\infty$ .

2. Étudier les variations de la fonction $g$ sur $]-1.5;+\infty[$ .

3. a. Démontrer que, dans l’intervalle $]-1.5;+\infty[$ , l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ .

b. Déterminer un encadrement de $\alpha$ d’amplitude $10^{-2}$ .

Partie B : Étude de la suite $(u_n)$
On admet que la fonction $f$ est strictement croissante sur $]-1.5;+\infty[$ .
1. Soit $x$ un nombre réel. Montrer que si $x\in\left[-1;\alpha\right]$ alors $f(x)\in]-1;\alpha]$ .

2. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ :

$-1\leq u_n\leq u_{n+1}\leq \alpha$ .

b. En déduire que la suite $(u_n)$ converge.

$\lim f=$	$l$	$l\ne0$	$\infty$	$0$
$\lim g=$	$l’$	$\infty$	$\infty$	$\infty$
$\lim fg=$	$l\times l’$	$\infty$	$\infty$	Forme indéterminée

$\lim f=$	$l$	$l\ne0$	$l$	$\infty$	$\infty$	$0$
$\lim g=$	$l’\ne0$	$0$	$\infty$	$l$	$\infty$	$0$
$\lim\frac{f}{g}=$	$\frac{l}{l’}$	$\infty$	$0$	$\infty$	Forme indéterminée	Forme indéterminée

$f(x)$ est	$f'(x)$ se calcule ainsi :
une somme $u+v$	$u’+v’$
le produit d’une constante $k$ par une fonction $u$ c’est-à-dire $ku$	$k\times u’$
un produit de deux fonctions $u\times v$	$u’\times v+u\times v’$
l’inverse d’une fonction $\frac{1}{u}$	$-\frac{u’}{u^2}$
un quotient $\frac{u}{v}$	$\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}$

Fonction	Dérivée
$v\circ u$	$(v’\circ u)\times u’$
$u^2$	$2u’u$
$u^3$	$3u’u^2$
$u^n$	$nu’u^{n-1}$
$\frac{1}{u}$	$-\frac{u’}{u^2}$
$\sqrt{u}$	$\frac{u’}{2\sqrt{u}}$
$cos(u)$	$-u’sin(u)$
$sin(u)$	$u’cos(u)$
$e^{u}$	$u’e^{u}$
$ln(u)$	$\frac{u’}{u}$
$\frac{1}{u^{n}}$	$-\frac{nu’}{u^{n+1}}$

Fonction	$f(x)$	Dérivable sur	$f'(x)$
constante	$f(x)=k$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=0$
identité	$f(x)=x$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=1$
carré	$f(x)=x^2$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=2x$
cube	$f(x)=x^3$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=3x^2$
puissance n	$f(x)=x^n$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=nx^{n-1}$
inverse	$f(x)=\frac{1}{x}$	$\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[$	$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$
racine carrée	$f(x)=\sqrt{x}$	$]0;+\infty[$	$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$
exponentielle	$f(x)=e^x$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=e^x$
sinus	$f(x)=sin(x)$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=cos(x)$
cosinus	$f(x)=cos(x)$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=-sin(x)$
logarithme népérien	$f(x)=ln(x)$	$]0;+\infty[$	$f'(x)=\frac{1}{x}$

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Dérivées et opérations

Dérivées et fonctions composées

Dérivées des fonctions de référence