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TC.Problème n°1 (optimisation)

Sommaire

Enoncé du problème

 ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 3 et AC = 6.

M est un point variable sur le segment [AB]

On construit le rectangle AMNP tels que N et P se trouvent respectivement sur les segments [BC] et [AC] .

Où placer le point M pour que l’aire du rectangle AMNP soit la plus grande possible ?

Construction de la figure à l’aide du logiciel Géogébra

Construire la figure dans la fenêtre Géogébra ci-dessous :

correction

Résolution géométrique à l’aide du logiciel Géogébra

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Résolution graphique à l’aide d’une courbe obtenue avec le  logiciel Géogébra en ajustant un nuage de points

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Résolution algébrique

  1. On pose x la distance AM, le but du paragraphe 1 est d’exprimer l’aire de AMNP en fonction de x.

a. Appliquer le théorème de THALES dans le triangle ABC et en déduire la distance MN en fonction de x.

correction

b. Montrer alors que l’aire de AMNP vaut -2x^{2}+6x 

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2) On note f(x)=-2x^{2}+6x pour x\in [0;3]

a) Calculer f'(x) 

correction

b) Etudier le signe de f'(x)  pour x\in [0;3]

correction

c) En déduire le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle  [0;3]. Puis répondre à la question posée.

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©2020 – Math’O karé SAS

1. Construction de la figure à l’aide du logiciel Géogébra.

Je place le point A dans le repère en cliquant gauche sur le deuxième onglet en haut de la page en partant de la gauche et en cliquant gauche sur point dans le menu déroulant, puis je clique gauche dans le repère pour placer A ( géogébra nomme les points par défaut : A, B, C , … dans l’ordre chronologique d’apparition ).

Je place le point B dans le repère en cliquant gauche sur le deuxième onglet en haut de la page en partant de la gauche et en cliquant gauche sur point dans le menu déroulant, puis je clique gauche dans le repère pour placer B ( géogébra nomme les points par défaut : A, B, C , … dans l’ordre chronologique d’apparition ). Comme AB=3, se déplacer horizontalement de trois graduations vers la droite.

Je place le point C dans le repère en cliquant gauche sur le deuxième onglet en haut de la page en partant de la gauche et en cliquant gauche sur point dans le menu déroulant, puis je clique gauche dans le repère pour placer C ( géogébra nomme les points par défaut : A, B, C , … dans l’ordre chronologique d’apparition ). Comme AC=6, se déplacer verticalement de six graduations vers la haut.

Je place le point M sur le segment [AB]

Il faut d’abord tracer le segment [AB]

  1.Je trace le segment [AB] dans le repère en cliquant gauche sur le troisième onglet en haut de la page en partant de la gauche et en cliquant gauche sur Segment dans le menu déroulant, puis je clique gauche dans le repère sur le point A puis sur le point B.

  2. Je place le point M sur le segment [AB]

dans le repère en cliquant gauche sur le deuxième onglet en haut de la page en partant de la gauche et en cliquant gauche sur point sur Objet dans le menu déroulant, puis je clique gauche dans le repère n’importe où sur le segment [AB] pour placer M ( géogébra nomme les points par défaut : A, B, C , … dans l’ordre chronologique d’apparition donc celui-ci est baptisé D).

On souhaite le renommer : se positionner  sur le point nouvellement construit, cliquer  droit, sélectionner renommer dans le menu déroulant et taper le nouveau nom, ici M.

Je place le point N sur le segment [BC]

Il faut d’abord tracer le segment [BC]

  1.Je trace le segment [BC] dans le repère en cliquant gauche sur le troisième onglet en haut de la page en partant de la gauche et en cliquant gauche sur Segment dans le menu déroulant, puis je clique gauche dans le repère sur le point B puis sur le point C.

  2. Je trace la droite perpendiculaire à (AB) passant par M en cliquant gauche sur le quatrième onglet en haut de la page en partant de la gauche et en cliquant gauche sur Perpendiculaire dans le menu déroulant, puis je clique gauche dans le repère sur le point M et sur la droite (AB) pour tracer la droite perpendiculaire .

  3. Je place le point N qui est à l’intersection la droite perpendiculaire à (AB) passant par M et segment  [BC] dans le repère en cliquant gauche sur le deuxième onglet en haut de la page en partant de la gauche et en cliquant gauche sur Intersection dans le menu déroulant, puis je clique gauche dans le repère sur la droite perpendiculaire à (AB) passant par M et sur le segment  [BC]

Si on souhaite le renommer : se positionner  sur le point nouvellement construit, cliquer  droit, sélectionner renommer dans le menu déroulant et taper le nouveau nom, ici N.

Je place le point P sur le segment [AC]

Il faut d’abord tracer le segment [AC]

  1.Je trace le segment [AC] dans le repère en cliquant gauche sur le troisième onglet en haut de la page en partant de la gauche et en cliquant gauche sur Segment dans le menu déroulant, puis je clique gauche dans le repère sur le point A puis sur le point C.

  2. Je trace la droite perpendiculaire à (AC) passant par N en cliquant gauche sur le quatrième onglet en haut de la page en partant de la gauche et en cliquant gauche sur Perpendiculaire dans le menu déroulant, puis je clique gauche dans le repère sur le point N et sur la droite (AC) pour tracer la droite perpendiculaire .

  3. Je place le point P qui est à l’intersection la droite perpendiculaire à (AC) passant par N et segment  [AC] dans le repère en cliquant gauche sur le deuxième onglet en haut de la page en partant de la gauche et en cliquant gauche sur Intersection dans le menu déroulant, puis je clique gauche dans le repère sur la droite perpendiculaire à (AC) passant par N et sur le segment  [AC]

Si on souhaite le renommer : se positionner  sur le point nouvellement construit, cliquer  droit, sélectionner renommer dans le menu déroulant et taper le nouveau nom, ici P.

Je trace le rectangle AMNP en cliquant gauche sur le cinquième onglet en haut de la page en partant de la gauche puis dans le menu déroulant , je clique gauche sur Polygone puis dans le repère je clique gauche  sur A, M, N , P et encore sur A.

Lorsque la figure est finie, il faut ensuite faire disparaître les étiquettes inutiles et les objets inutiles. Pour cela cliquer droit sur l’objet dans le repère ou dans la colonne Algèbre à gauche et décocher soit la case Afficher l’objet, soit la case Afficher l’étiquette.

Il faut déterminer où placer M pour que l’aire de AMNP soit la plus grande possible.

Je mesure la distance AM  en cliquant gauche sur le huitième  onglet en haut de la page en partant de la gauche puis dans le menu déroulant , je clique gauche sur Distance ou longueur puis dans le repère je clique gauche  sur le point A puis sur le point M.

Je mesure l’aire de AMNP en cliquant gauche sur le huitième  onglet en haut de la page en partant de la gauche puis dans le menu déroulant , je clique gauche sur aire puis dans le repère je clique gauche  sur polygone AMNP.

Je fais bouger le point M en cliquant sur le premier onglet en haut de la page en partant de la gauche puis dans le menu déroulant, je clique gauche sur Déplacer, puis dans le repère je clique gauche sur le point M et je le déplace sur le segment [AB]. 

La mesure de l’aire de AMNP varie, l’aire la plus grande est 4.5, elle est atteinte quand la valeur de AM se rapproche de 1.5. C’est-à-dire que M est le milieu du segment [AB].

Nous allons essayer de modéliser le problème en ajustant un nuage de points par la courbe d’une fonction.

On reprend le fichier géogébra précédent.

  1. Capture des valeurs de la distance AM et de l’aire de AMNP dans un tableur.

Je fais apparaître un tableur en cliquant gauche sur le dernier onglet en haut de la page en partant de la gauche (il est symbolisé par trois traits horizontaux) et en cliquant gauche sur Affichage dans le menu déroulant puis sur tableur.

Pour remplir la première colonne du tableur par des valeurs de AM, on clique gauche sur la cellule A1 puis on clique gauche sur AM=… dans le graphique et on clique sur Enregistrer dans tableur dans le menu déroulant.

Pour remplir la deuxième colonne du tableur par des valeurs de l’aire de AMNP, on clique gauche sur la cellule B1 puis on clique gauche sur Aire de AMNP=… dans le graphique et on clique sur Enregistrer dans tableur dans le menu déroulant.

On fait ensuite bouger le point M sur tout le segment [AB] en en cliquant gauche sur le premier onglet en haut de la page en partant de la gauche et en cliquant gauche sur Déplacer dans le menu déroulant. Puis dans le graphique on clique gauche sur le point M et on le déplace sur le segment [AB] en faisant deux, trois fois l’aller-retour. Le tableur se remplit tout seul.

2. Affichage du nuage de points

Pour afficher un nuage de points à partir d’un tableur, il faut :

  1. sélectionner les deux colonnes en même temps en cliquant sur le A en haut de la colonne puis sur le B sans relâcher la pression sur la souris ou le pavé tactile.
  2. Cliquer gauche sur le deuxième onglet en partant de la gauche en haut de la page et cliquer gauche sur Statistiques à deux variables. 
  3. Pour modifier les paramètres d’affichage du repère, on clique sur la roue crantée située en haut à gauche du nuage de points. Puis on clique gauche sur graphe situé en haut à gauche du nuage de points. Ensuite on coche Afficher grille et on décoche Dimensions automatiques. Il ne reste plus qu’à choisir ses propres valeurs. AM varie entre 0 et 3 et l’aire varie entre 0 et 4.5, donc on peut prendre xMin:-0.5, xMax:3, xpas:1, yMin:-0.5, yMax:5, ypas:1
  4. On obtient un nuage de points situé sur une parabole qui est la courbe d’une fonction du second degré ( on dit aussi fonction polynôme du second degré). On essaye de déterminer cette fonction  en cliquant droit sur Fonction polynôme dans le modèle déroulant situé dans la case sous modèle d’ajustement en bas à gauche du nuage de points et en cliquant .

Le point de la courbe situé le plus haut a pour coordonnées (1.5;4.5) donc l’aire maximale de AMNP est 4.5, elle est atteinte pour AM=1.5 c’est-à-dire que M est le milieu de [AB].

B, M, A et B, N, C sont alignés dans cet ordre. De plus (MN)\parallel (AC) . On peut appliquer le théorème de Thalès et écrire :

\frac{BM}{BA}=\frac{BN}{BC}=\frac{MN}{AC}

On remplace les distances connues.

\frac{3-x}{3}=\frac{BN}{BC}=\frac{MN}{6}

Donc : \frac{MN}{6}=\frac{3-x}{3}

L’inconnue est MN donc le 6 à gauche n’est pas à sa place. Le contraire de diviser par 6 est multiplier par 6. Je multiplie par 6 de chaque côté.

MN=\frac{3-x}{3}\times6

Avant de multiplier à droite, je regarde si je peux simplifier. 3 et 6 sont des multiples de 3, je simplifie par 3.

MN=2(3-x)\\MN=6-2x

 

 

Pour calculer l’aire du rectangle, on utilise la formule.

Aire de AMNP= AM\times MN

AMNP= x\times(6-2x) AMNP= 6x-2x^{2} AMNP= -2x^{2}+6x

 

 

Soit la fonction f définie sur [0;3] par f(x)=-2x^2+6x

On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est la somme de deux termes :

-2x^2 et 6x.

La dérivée d’une somme est la somme des dérivées d’après le tableau n°1 ci-dessous

Il faut donc calculer les dérivées des deux termes -2x^2  et 6x en utilisant les tableaux n°1 et n°2 .

(-2x^2)’=-2(x^2)’ d’après la 2ème formule du tableau n°1 et (x^2)’=2x d’après la 3ème formule du tableau n°2.

Donc (-2x^2)’=-2\times 2x=-4x

(6x)’=6(x)’ d’après la 2ème formule du tableau n°1 et (x)’=1 d’après la 2ème formule du tableau n°2.

Donc (6x)’=6\times 1=6

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)= (-2x^2+6x)’\\f'(x)= (-2x^2)’+(6x)’\\f'(x)= -2(x^2)’+6(x)’\\f'(x)= -2\times 2x+6\times 1\\f'(x)= -4x+6

 

On veut étudier le signe de f'(x)=-4x+6.

On utilise la deuxième ligne du tableau ci-dessous : la quantité est de la forme ax+b.

  1. de nombres positifs alors la quantité est positive.
  2. de nombres négatifs alors la quantité est négative.
  3. de nombres de signes contraires ou indéterminés alors on ne peut pas conclure

On peut factoriser et étudier le signe d’un produit

On peut résoudre la quantité >0 

…

On utilise le tableau suivant :

On utilise le résultat du cours suivant :

si \Delta>0

si \Delta=0

si \Delta<0

La quantité est toujours positive.

Exemples : les quantités x^2 , (2x+5)^4 sont toujours positives

La quantité est du signe de ce qui est élevé à la puissance.

Exemple : la quantité x^3 est du signe de x, la quantité (2x-1)^5 est du signe de 2x-1.

On étudie le signe de chacun des facteurs et on fait un tableau de signes comme en seconde.

On étudie le signe du numérateur, celui du dénominateur et on fait un tableau de signes comme en seconde.

On calcule la dérivée, on étudie son signe et on fait le tableau de variations. Ensuite, sur la dernière ligne du tableau de variations, on lit le signe de la quantité.  

On résout l’inéquation quantité > 0 et on détermine pour quelles valeurs de x la quantité est positive. On déduit ensuite les valeurs de x pour lesquelles la quantité est négative

a=-4  donc le signe de a est négatif .

b=6

-\frac{b}{a}=-\frac{6}{-4}=\frac{3}{2}

On en déduit le tableau de signes suivant

 

 

 

 

On utilise la question précédente pour remplir la ligne du signe de f'(x).

On calcule f(0), f(\frac{3}{2}) et f(3) pour compléter la troisième ligne.

f(0)=-2\times 0^2+6\times 0=0

f(\frac{3}{2})=-2\times (\frac{3}{2})^2+6\times \frac{3}{2}=\frac{9}{2}\\f(3)=-2\times 3^2+6\times 3=0

Le maximum est \frac{9}{4}, il est atteint pour x=\frac{3}{2}.

L’aire est donc maximale quand M est le milieu du segment [AB].

 

 

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.