Je calcule u_{n+1}-u_n et j’étudie son signe .
Si le signe est +, u_{n+1}-u_n\geq 0 et la suite (u_n) est croissante.
Si le signe est –, u_{n+1}-u_n\leq 0 et la suite (u_n) est décroissante.
Exemple
Etudier les variations de la suite (u_n) définie de façon explicite par u_n=n^2-4n+3 .
1.Conjecture à l’aide de la calculatrice.
Avant de se lancer dans les calculs, il paraît judicieux de programmer sa calculatrice et d’observer.
Que ce soit avec le tableur ou le graphique, on constate que la suite (u_n) est croissante à partir du rang 2.
2. Etude des variations de la suite (u_{n}) par le calcul.
On va d’abord calculer u_{n+1}-u_n en remplaçant u_{n+1} par (n+1)^2-4(n+1)+3 et u_{n} par n^2-4n+3
u_{n+1}-u_n=((n+1)^2-4(n+1)+3)-(n^2-4n+3)
\hspace{1.6cm}=(n^2+2n+1-(4n+4)+3)-(n^2-4n+3)
\hspace{1.6cm}=n^2+2n+1-4n-4+3-n^2+4n-3
\hspace{1.6cm}=2n-3
Pour étudier le signe de 2n-3, on peut , par exemple, utiliser un résultat de seconde connu pour étudier le signe de ax+b:
a=2 , b=-3 et -\frac{b}{a}=-\frac{(-3)}{2}=\frac{3}{2}
On fait le tableau de signes sur [0;+\infty[
En réalité, n est un entier naturel, donc 2n-3 est positif pour n\geq 2.
Et donc la suite (u_n) est croissante à partir du rang 2.
