TC. Statistiques à deux variables

Niveau terminale maths complémentaires, Probabilités et statistiques, Statistiques à deux variables

Nuage de points. Point moyen.

Série statistique à deux variables

Dans une population, on étudie deux caractères quantitatifs $x$ et $y$ .

Dans cet exemple, les deux séries sont : le rang de l’année et le nombre de naissances de jumeaux comme dans le tableau ci-dessous.

Définition:

Dans un repère, le nuage de points associé à la série statistique est l’ensemble des points de coordonnées $(x_i;y_i)$ .

Par exemple les points $(0;11483)$ , $(1;11479483)$ , $(2;11431)$ , …

Le point moyen de ce nuage est le point $G$ de coordonnées $\bar x$ et $\bar y$ où $\bar x$ est la moyenne des $x_i$ et $\bar y$ est la moyenne des $y_i$ .

Exercice n°1 : voici la série à deux variables :

Représenter dans un repère le nuage de points.

a. A l’aide de la TI 83 Premium CE.

b. A l’aide de Géogébra.

Lors de l’ouverture de la fenêtre Géogébra, cliquer à droite sur Tableur.

Saisir les valeurs de $x$ dans la colonne $A$ et les valeurs de $y$ dans la colonne $B$ .

On sélectionne les deux colonnes $A$ et $B$ .

On clique sur le deuxième onglet en haut à partir de la gauche.On clique dans le menu déroulant sur statistiques à deux variables.

Le graphique apparaît à droite.

2. Déterminer les coordonnées du point moyen noté $G$ .

a. A l’aide de la TI 83 Premium CE.

b. A l’aide de Géogébra.

On a déjà obtenu la représentation graphique à la question 1.b.

On clique sur le premier onglet en haut à droite de l’écran symbolisé par $\Sigma X$ .Au milieu apparaît une colonne Statistiques. Les coordonnées de G sont les deux premières moyennes.

Exercice n°2 : Le tableau ci-dessous donne le nombre de pages visitées, exprimé en milliers, durant chacune des
quatre semaines suivant l’ouverture d’un site internet.

Représenter dans un repère le nuage de points.

a. A l’aide de la TI 83 Premium CE.

b. A l’aide de Géogébra.

Lors de l’ouverture de la fenêtre Géogébra, cliquer à droite sur Tableur.

Saisir les valeurs de $x$ dans la colonne $A$ et les valeurs de $y$ dans la colonne $B$ .

On sélectionne les deux colonnes $A$ et $B$ .

On clique sur le deuxième onglet en haut à partir de la gauche.On clique dans le menu déroulant sur statistiques à deux variables.

Le graphique apparaît à droite.

2. Déterminer les coordonnées du point moyen noté $G$ .

a. A l’aide de la TI 83 Premium CE.

b. A l’aide de Géogébra.

On a déjà obtenu la représentation graphique à la question 1.b.

On clique sur le premier onglet en haut à droite de l’écran symbolisé par $\Sigma X$ .Au milieu apparaît une colonne Statistiques. Les coordonnées de G sont les deux premières moyennes.

Ajustement affine d’un nuage de points.

Droite d’ajustement affine.Droite des moindres carrés.

Définition :

Lorsque les points d’un nuage sont sensiblement alignés, réaliser un ajustement affine revient à tracer une droite qui passe au plus près des points du nuage.

Propriété :

La droite des moindres carrés a pour équation $y=ax+b$ avec $a=\frac{cov(x,y)}{var(x)}$ et $b=\bar y-a\bar x$ .

Pour calculer $cov(x,y)$ qui est la covariance des séries statistiques $x$ et $y$ , on applique la formule suivante :

cov(x,y)=\frac{(x_1-\bar x)(y_1-\bar y)+(x_2-\bar x)(y_2-\bar y)+…+(x_n-\bar x)(y_n-\bar y)}{n}

On reprend l’exercice n°1 avec les naissances de jumeaux. On va déterminer l’équation de la droite des moindres carrés avec la calculatrice TI-83 Premium :

On reprend l’exercice n°1 avec les naissances de jumeaux. On va déterminer l’équation de la droite des moindres carrés avec Géogébra.

On reprend où on en était arrivés à l’exercice 1 question 2.b.

En bas de l’écran, sous Modèle d’ajustement, il y a un cadre. Cliquer sur le petit triangle et sélectionner Linéaire dans le menu déroulant.

Exercice n°3 : Une machine est achetée $3000$ euros.
Le prix de revente $y$ , exprimé en euros, est donné en fonction du nombre $x$ d’années d’utilisation par
le tableau suivant :

Représenter dans un repère le nuage de points.

2. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, une équation de la droite d’ajustement affine de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés (on donnera les coefficients sous forme décimale, arrondis au centième).
Tracer cette droite sur le graphique précédent.

Coefficient de corrélation.

Définition : coefficient de corrélation linéaire

Le coefficient de corrélation linéaire d’une série statistique de variables $x$ et $y$ est le nombre $r$ défini par :

$r=\frac{cov(x,y)}{\sigma(x)\sigma(y)}$ .

Propriété :

Le coefficient de corrélation linéaire d’une série statistique $r$ vérifie $-1\leq r\leq 1$ .

si $r=- 1$ ou $r= 1$ alors les points du nuage sont quasiment alignés et l’ajustement affine est adapté.
si $r= 0$ les points sont très dispersés autour de la droite et l’ajustement affine n’est pas adapté.

Exercice n°4 : voici une série à deux variables :

Déterminer $r$ , le coefficient de corrélation linéaire de cette série statistique et tracer la droite d’ajustement affine de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés.

Ajustement et changement de variable.

Exercice n°5 :

Un centre d’appel comptait en 2001 soixante-six employés. Le tableau ci-dessous donne l’évolution
du nombre d’employés en fonction du rang de l’année.

On cherche à étudier l’évolution du nombre $y$ d’employés en fonction du rang $x$ de l’année.
Une étude graphique montre qu’un ajustement affine ne convient pas.
On pose alors $z=\sqrt y -3$
1. Recopier et compléter le tableau suivant (on donnera les résultats sous forme décimale, arrondis au centième)

2. Représenter le nuage de points $M_i(x_i;z_i)$ associé à cette série statistique, dans le plan muni
d’un repère orthonormal d’unité graphique 1 cm.
Un ajustement affine vous paraît-il approprié ? Justifier la réponse.

3. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, une équation de la droite d’ajustement affine de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés (on donnera les coefficients sous forme décimale, arrondis
au centième).
Tracer cette droite sur le graphique précédent.

4. En utilisant cet ajustement, à partir de quelle année peut-on prévoir que l’effectif de ce centre
d’appel dépassera 900 employés ?

Exercice n°6 ES Antilles 2008

Le tableau suivant donne l’évolution du nombre d’adhérents d’un club de rugby de 2001 à 2006.

On cherche à étudier l’évolution du nombre $y$ d’adhérents en fonction du rang $x$ de l’année.
Partie A : un ajustement affine.
1. Dans le plan muni d’un repère orthogonal d’unités graphiques : 2 cm pour une année sur
l’axe des abscisses et 1 cm pour 20 adhérents sur l’axe des ordonnées, représenter le nuage de
points associé à la série $(x_i;y_i)$

2. Déterminer une équation de la droite d’ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés et la tracer sur le graphique précédent (aucune justification n’est exigée, les
calculs seront effectués à la calculatrice et les coefficients seront arrondis à l’unité).

3. En supposant que cet ajustement reste valable pour les années suivantes, donner une estimation du nombre d’adhérents en $2007$ .

Partie B : un ajustement exponentiel.
On pose z = ln y.
1. Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs de zi au millième.

2. Déterminer une équation de la droite d’ajustement de $z$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés (aucune justification n’est exigée, les calculs seront effectués à la calculatrice et les coefficients seront arrondis au millième).

3. En déduire une approximation du nombre d’adhérents $y$ en fonction du rang $x$ de l’année.

4. En prenant l’approximation $y\approx 57.1e^{0.224x}$ et en supposant qu’elle reste valable pour les années suivantes, donner une estimation du nombre d’adhérents en $2007$ .

Partie C : comparaison des ajustements.
En $2007$ , il y a eu $280$ adhérents. Lequel des deux ajustements semble le plus pertinent ?
Justifier la réponse.

Exercice n°7 : centres étrangers juin 2008 ES

Une association organise chaque année un séjour qui s’adresse à des adultes handicapés. À sa création en $1997$ , dix adultes handicapés sont partis durant cinq jours. Ainsi, on dira qu’en $1997$ le nombre de « journées participant » est de $5\times 10$ soit $50$ .
Le tableau suivant donne le nombre de « journées participant » de $1997$ à $2004$ . L’année $1997$ a le rang $0$ .

On représente les données à l’aide ce nuage de points :

On considère qu’un ajustement affine n’est pas pertinent. L’allure du nuage suggère de chercher un ajustement de $y$ en $x$ de la forme $y = k ln(ax +b)$ où $k, a, b$ sont trois nombres réels.
Pour cela on pose $z_i= e^{\frac{y_i}{100}}$

Dans cette question les calculs seront effectués à la calculatrice. Aucune justification n’est demandée. Les résultats seront arrondis au centième.
1.a. Recopier et compléter le tableau suivant :

b. Représenter le nuage de points associé à la série $(x_i;z_i)$ dans un repère orthonormal.

c. Donner les coordonnées du point moyen.

d. Déterminer une équation de la droite $D$ d’ajustement affine de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. Représenter la droite $D$ sur le graphique.

e. Sachant que $z_i=e^{\frac{y_i}{100}}$ déterminer l’expression de $y$ en fonction de $x$ .

2. On suppose que l’évolution du nombre de « journées participant » se poursuit dans un futur
proche selon le modèle précédent.
Estimer, à l’unité près, quel serait le nombre de « journées participant » prévu pour l’année
$2007$ .